正余弦定理完美教案Word文档下载推荐.doc

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4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

5．解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：

.

典型例题

探究点一　正弦定理的应用

例1　

（1）在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°

，求角A、C和边c；

（2）在△ABC中，a＝8，B＝60°

，C＝75°

，求边b和c.

解题导引　已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：

在△ABC中．已知a、b和A，求B.若A为锐角，①当a≥b时，有一解；

②当a＝bsinA时，有一解；

③当bsinA<

a<

b时，有两解；

④当a<

bsinA时，无解．若A为直角或钝角，①当a>

b时，有一解；

②当a≤b时，无解．

解　

（1）由正弦定理＝得，sinA＝.

∵a>

b，∴A>

B，∴A＝60°

或A＝120°

当A＝60°

时，C＝180°

－45°

－60°

＝75°

，

c＝＝；

当A＝120°

－120°

＝15°

c＝＝.

综上，A＝60°

，c＝，

，C＝15°

，c＝.

（2）∵B＝60°

，∴A＝45°

由正弦定理＝＝，

得b＝＝4，c＝＝4＋4.

∴b＝4，c＝4＋4.

变式迁移1　

（1）在△ABC中，若tanA＝，C＝150°

，BC＝1，则AB＝________；

（2）在△ABC中，若a＝50，b＝25，A＝45°

，则B＝________.

探究点二　余弦定理的应用

例2　已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a2＋c2－b2＝ac.

（1）求角B的大小；

（2）若c＝3a，求tanA的值．

解　

（1）∵a2＋c2－b2＝ac，

∴cosB＝＝.

∵0<

B<

π，∴B＝.

（2）方法一　将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝a.

由余弦定理，得cosA＝＝.

A<

π，

∴sinA＝＝，

∴tanA＝＝.

方法二　将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，

得b＝a.

由正弦定理，得sinB＝sinA.

由

（1）知，B＝，∴sinA＝.

又b＝a>

a，∴B>

A，

∴cosA＝＝.

方法三　∵c＝3a，由正弦定理，得sinC＝3sinA.

∵B＝，∴C＝π－（A＋B）＝－A，

∴sin（－A）＝3sinA，

∴sincosA－cossinA＝3sinA，

∴cosA＋sinA＝3sinA，

∴5sinA＝cosA，

变式迁移2　

在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B＝，b＝，a＋c＝4，求a.

探究点三　正、余弦定理的综合应用

例3　在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）sin（A＋B），试判断该三角形的形状．

解题导引　利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．

解　方法一　∵（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）sin（A＋B）

⇔a2[sin（A－B）－sin（A＋B）]

＝b2[－sin（A＋B）－sin（A－B）]，

∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，

由正弦定理，得

sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，

∴sinAsinB（sinAcosA－sinBcosB）＝0，

∴sin2A＝sin2B，由0<

2A<

2π，0<

2B<

2π，

得2A＝2B或2A＝π－2B，

即△ABC是等腰三角形或直角三角形．

方法二　同方法一可得2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，

由正、余弦定理，即得

a2b×

＝b2a×

∴a2（b2＋c2－a2）＝b2（a2＋c2－b2），

即（a2－b2）（c2－a2－b2）＝0，

∴a＝b或c2＝a2＋b2，

∴三角形为等腰三角形或直角三角形．

变式迁移3　

在△ABC中，＝.

（1）证明：

B＝C；

（2）若cosA＝－，求sin的值．

课堂练习

一、选择题（每小题5分，共25分）

1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°

，则cosB等于（　　）

A．－ B. C．－ D.

2.在△ABC中AB＝3，AC=2，BC=，则等于（　　）

A．－ B．－ C. D.

3．在△ABC中，sin2＝（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（　　）

A．正三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形

4．（2011·

聊城模拟）在△ABC中，若A＝60°

，BC＝4，AC＝4，则角B的大小为（　　）

A．30°

B．45°

C．135°

D．45°

或135°

5．（2010·

湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°

c＝a，则（　　）

A．a>

b B．a<

b

C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．在△ABC中，B＝60°

，b2＝ac，则△ABC的形状为________________．

7．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinC＝________.

8．在锐角△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且BD∶DC∶AD＝2∶3∶6，则∠BAC的大小为________．

三、解答题（共38分）

9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，∙=3.

（1）求△ABC的面积；

（2）若b＋c＝6，求a的值．

10．（12分）在△ABC中，已知B＝45°

，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．

11．（14分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b2＋3c2－3a2＝4bc.

（1）求sinA的值；

（2）求的值

五课堂小结

1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用．

2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．

3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：

一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．

家庭作业

一、选择题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分）

1、在中，下列式子与相等的是（）

A、B、C、D、

2、在中，已知a=5，c=10，∠A＝30o，则∠B等于（）

A.105oB.60oC.15oD.105o或15o

3、在ΔABC中，∠A=450,∠B=600,a=2,则b=（）

A．B．2C．D．

4、不解三角形，确定下列判断中正确的是（）

A.，有两解B.,有一解

C.，有两解D.，无解

5、在中，,则是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.锐角三角形

6、在△ABC中，一定成立的等式是（）

A.asinA=bsinBB.acosA=bcosBC.asinB=bsinAD.acosB=bcosA

7、在中，若则等于（）

A、B、C、D、

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

1、在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°

，则A等于.

2、在，AB=则BC的长度是

3、在△ABC中，已知60°

，如果△ABC两组解，则x的取值

范围是.

4、已知的三边分别为a，b，c，且＝，那么角C＝.

5、已知△ABC中，A＝60°

，最大边和最小边是方程x2-9x＋8＝0的两个正实数根，那么

BC边长是________．

6、在中，若则.

7、在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝，则最大角的余弦值是________．

三、解答题（10分）（要求具体的解题过程，否则按错误处理）

1、在中，已知,解此三角形。

2、在△ABC中，a，b，c分别是三内角A、B、C的对边，且，

a2＋b2＝c2＋ab，求A．

参考答案

（1）　

（2）60°

或120°

解析　

（1）∵在△ABC中，tanA＝，C＝150°

∴A为锐角，∴sinA＝.

又∵BC＝1.

∴根据正弦定理得AB＝＝.

（2）由b>

a，得B>

A，由＝，

得sinB＝＝×

＝，

∵0°

<

180°

∴B＝60°

或B＝120°

解　由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB

＝a2＋c2－2accosπ

＝a2＋c2＋ac＝（a＋c）2－ac.

又∵a＋c＝4，b＝，∴a