数列的函数特征教学设计Word文件下载.doc

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二、教学重难点

重点：

会根据数列的分类判断数列的单调性．（重点）

难点：

会用函数的相关知识解决数列的最大（小）项等问题．（难点）

二、教学过程

（一）、知识回顾

1、数列的定义：

一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列

2、数列的一般形式可以写成

简记为数列{},其中数列的第1项也称首项是数列的第n项，也叫数列的通项

3、数列的分类

项数有限的数列，称为“有穷数列”；

项数无限的数列，称为“无穷数列”

4、通项公式：

如果数列{}的第n项与n之间的函数关系可以用一个式子表示成,那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应的函数解析式

5、两个特殊的数列

①、求数列9，99,999,9999，…的通项公式.

②、正负交替数列，要记住两个常数,如果首项为正用,首项为负

（二）、探究新知

1、数列的实质

【实质】从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集{1，2，…n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。

数列是一种特殊的函数

数列

↓

函数

项数

↓

自变量

项

↓

函数值

通项公式

解析式

2、数列的图像表示

画图时，两条坐标轴的单位长度可不同。

描点（n,）

①、数列3，4,5,6,7,8,9图像（略）②、数列1，，，，…

③、数列2100，,2100，2100,2100,2100，…

图象特点

（1）、它们都是一群孤立点，不需要把点连成线；

（2）、从图像可以看出该数列是递增数列（或递减数列及常数列）

一般地，一个数列{},如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即，那么这个数列叫作递增数列;

如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即，那么这个数列叫作递减数列；

如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列。

（三）、想一想：

如何利用数列的单调性求数列的最大项和最小项

1、数列与函数

（1）数列可以看成以正整数集N＋（或它的有限子集{1,2，3，…，n}）为定义域的函数an＝f（n），当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数y＝f（x），如果f（i）（i＝1,2,3，…）有意义，那么我们就可以得到一个数列：

f

（1），f

（2），f（3），…，f（n）….

（2）任一数列都是函数，但任一函数并不都是数列．数列的图像是一系列孤立的点，而函数的图像一般是连续的，不间断的．

2、数列单调性的判定方法

（1）作差比较法

①若恒成立，则数列{}是递增数列；

②若恒成立，则数列{}是递减数列；

③若恒成立，则数列{}是常数列．

（2）作商比较法

①若，则当时，数列{}是递增数列；

当时，数列{}是递减数列；

②若，则当时，数列{}是递增数列；

③若，则当时，数列{}是常数列；

（3）、函数法：

将通项公式转化为函数的形式，通过判断函数的单调性来确定数列的单调性．

（四）、例题解析

1、判断数列的增减性

例3、判断下列无穷数列的增减性

（1）、2，1，0，-1，…，3-n，…；

（2）、，，，…，，…

[思路探索]由题目可获取以下主要信息：

已知数列的通项公式，作出数列增减性的判断．解答本题可用定义求解，也可用函数知识求解。

规律方法　判断数列增减性的方法主要有三种：

①作差比较法；

②作商比较法；

③函数单调性法．

【训练1】已知数列的通项公式是

（1）你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？

（2）该数列中有负数项吗？

2、数列的图像

例4、作出数列，，，，…，，…的图像，并分析数列的增减性。

规律方法　数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为（n，an）描点画图，就可以得到数列的图像．因为它的定义域是正整数集N＋（或它的有限子集{1,2，3，…，n}），所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．

【训练2】画出下列数列的图像，并判断数列的增减性．

（1）2,4,6,8,10，…；

（2）＝－2n＋5.

3、数列中的最大（小）项问题

例5、已知数列的通项公式，试问数列有没有最大项?

若有，求最大项和最大项的项数；

若没有，说明理由。

【题后反思】已知数列的通项公式求数列的最大（小）项，其实质是求函数的最大（小）值，但要注意函数的定义域，本题我们可以利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项．

【训练3】若数列的通项公式，数列的最大项为第x项，最小项为为第y项。

则x+y等于（）

A，3B，4C，5D，6

追本溯源：

函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数集（或它的有限子集{1,2,3，…，n}）的特殊函数．故对于数列的单调性的判断一般要通过比较与的大小来判断，若，则数列为递增数列，若，则数列为递减数列．

课堂练习P8练习1,2

课堂小结：

递增数列、递减数列、常数列的概念；

利用函数图像和比较法判定数列增减性的方法；

如何判断数列的增减性和求数列中的最大项和最小项；

布置作业P9习题1——1A组5，6

课后反思