∴y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项符合．
（第8题）
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是折线段A－D－C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（C）
A．2个B．3个
C．4个D．5个
【解析】 分为三种情况：
①以BC为底时，有两个，是BC的垂直平分线与以B为圆心，BA为半径的圆的交点；
②以BP为底，C为顶点时，有两个，是以B为圆心，BA为半径的圆与以C为圆心，BC为半径的圆的交点；
③以CP为底，B为顶点时，没有．∵是以B为圆心，BA为半径的圆与以B为圆心，BC为半径的圆，∴没有交点．
综上所述，满足要求的点P有4个，即满足要求的点E有4个．
二、填空题
9．五个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数是4，唯一众数是5，则这五个正整数的和是17或18或19．
【解析】 5个数为2，3，4，5，5或1，2，4，5，5或1，3，4，5，5.
10．若关于x的方程kx2＋2（k＋1）x＋k－1＝0有实数根，则k的取值范围是k≥－．
【解析】 提示：
分k＝0和k≠0两种情况讨论．
11．A，B两地相距450km，甲，乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120km/h，乙车速度为80km/h，过t（h）后两车相距50km，则t的值是2或2.5．
【解析】 分相遇前和相遇后两种情况讨论．
①当甲，乙两车未相遇时，根据题意，得
120t＋80t＝450－50，解得t＝2；
②当两车相遇后，两车又相距50km时，
根据题意，得120t＋80t＝450＋50，解得t＝2.5.
12．已知一个等腰三角形的三边长是x2－7x＋10＝0的根，则这个三角形的周长等于6或15或12．
【解析】 方程的根为2和5，∴三边长为2，2，2或5，5，5或5，5，2.
13．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为70°，70°，40°或55°，55°，70°．
【解析】 当等腰三角形的底角的外角等于110°时，其底角为70°，顶角为180°－70°×2＝40°；当等腰三角形的顶角的外角等于110°时，其顶角为70°，底角为＝55°.
14．点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE交于点H.若BH＝AC，则∠ABC所对的弧长等于_πr或πr．
【解析】 分两种情况：
（1）如解图①.∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠H＋∠DBH＝90°，∠C＋∠DBH＝90°，
∴∠H＝∠C.
又∵∠BDH＝∠ADC＝90°，
∴△BHD∽△ACD，∴＝＝，
∴BD＝AD，∴∠ABC＝30°，
∴∠ABC所对的弧长所对的圆心角为30°×2＝60°，
∴∠ABC所对的弧长＝＝πr.
（第14题解）
（2）如解图②.同
（1）可得BD＝AD，∴∠ABD＝30°，
∴∠ABC＝150°，
∴∠ABC所对的弧长所对的圆心角为300°，
∴∠ABC所对的弧长＝＝πr.
（第15题）
15．如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD，BC交于点P，Q.若PQ＝AE，则AP等于1或2cm.
【解析】 如解图，过点P作PN⊥BC于点N.
（第15题解）
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝DC＝PN.
在Rt△ADE中，∵∠DAE＝30°，AD＝3，
∴DE＝AD·tan30°＝.
根据勾股定理，得AE＝＝2.
∵M为AE的中点，∴AM＝AE＝.
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，
∵
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），
∴DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，∠AED＝∠PQN＝60°.
∵AD∥BC，∴∠APM＝∠PQN＝60°，
∴∠PMA＝90°.
在Rt△AMP中，∵∠MAP＝30°，cos30°＝，
∴AP＝＝＝2（cm）．
由对称性得到AP′＝DP＝AD－AP＝3－2＝1（cm）．
综上所述，AP等于1cm或2cm.
16．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为6或2或4．
【解析】 分四种情况讨论：
（1）如解图①，当∠C＝60°，点P在线段AC上时，∠ABC＝30°.
∵∠ABP＝30°，
∴点P与点C重合，与条件相矛盾．
（第16题解①）
（第16题解②）
（2）如解图②，当∠C＝60°，点P在线段CA的延长线上时，∠ABC＝30°.
∵在Rt△ABC中，BC＝6，∠ABC＝30°，
∴AC＝BC＝3.
在△ABC和△ABP中，
∵
∴△ABC≌△ABP，AC＝AP＝3，
∴CP＝AC＋AP＝3＋3＝6.
（3）如解图③，当∠ABC＝60°，点P在线段AC上时，∠C＝30°.
∵在Rt△ABC中，BC＝6，∠C＝30°，
∴AB＝BC＝3.
∵∠ABP＝30°，
∴AP＝BP，∠PBC＝∠ABC－∠ABP＝30°＝∠C，
∴BP＝CP.
在Rt△ABP中，由勾股定理，得BP2＝AB2＋AP2，
∴BP2＝32＋，解得BP＝2.
∴CP＝BP＝2.
（第16题解③）
（第16题解④）
（4）如解图④，当∠ABC＝60°，点P在线段CA的延长线上时，∠C＝30°.
∵∠ABP＝30°，∠ABC＝60°，
∴△PBC是直角三角形．
∵∠C＝30°，∴BP＝CP.
在Rt△PBC中，由勾股定理，得CP2＝BP2＋BC2，
∴CP2＝＋62，解得CP＝4.
综上所述，CP的长为6或2或4.
（第17题）
17．如图，已知函数y＝2x和函数y＝的图象交于A，B两点，过点A作AE⊥x轴于点E.若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点P的坐标是（0，－4），（－4，－4）或（4，4）．
【解析】 如解图，∵△AOE的面积为4，
（第17题解）
∴S△AOE＝OE·AE＝4，∴OE·AE＝8，
∴xy＝8，∴k＝8.
∴反比例函数的表达式为y＝.
∵函数y＝2x和函数y＝的图象交于A，B两点，
∴2x＝∴x＝±2.
当x＝2时，y＝4；当x＝－2时，y＝－4，
∴A，B两点的坐标分别是（2，4），（－2，－4）．
∵以点B，O，E，P为顶点的平行四边形共有3个，
∴满足条件的点P有3个，分别为点P1（0，－4），P2（－4，－4），P3（4，4）．
三、解答题
（第18题）
18．如图，直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？
若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】
（1）设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c.
∵直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（0，3）．
又∵抛物线经过A，B，C三点，点C的坐标为（3，0），
∴解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
（2）∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，
∴该抛物线的对称轴为x＝1.
设点Q的坐标为（1，m），则AQ＝，BQ＝，AB＝.
当AB＝AQ时，＝，解得m＝±，
∴点Q的坐标为（1，）或（1，－）；
当AB＝BQ时，＝，解得m1＝0，m2＝6，
∴点Q的坐标为（1，0）或（1，6），
但当点Q的坐标为（1，6）时，点A，B，Q在同一条直线上，∴舍去；
当AQ＝BQ时，＝，解得m＝1，
∴点Q的坐标为（1，1）．
∴抛物线的对称轴上存在点Q（1，），（1，－），（1，0），（1，1），使△ABQ是等腰三角形．
19．已知在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.
（第19题）
（1）如图①，连结AF，CE.求证：
四边形AFCE为菱形，并求AF的长．
（2）如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停
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