数列与函数结合的综合问题Word下载.doc
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,求通项?
(3)在条件
(2)下,令,求数列的前项和?
分析:
由题知:
,所以,所以可求得:
例3:
函数;
(1)求的反函数;
(2)数列满足:
,且,求数列的通项公式;
(1)由题知:
;
(2)
(3)
例4、设函数,
(1)证明:
对一切,f(x)+f(1-x)是常数;
(2)记,求,并求出数列{an}的前n项和。
解:
∵,∴=
∴2=∴=∴Sn==
二、利用抽象函数的性质得递推关系:
是上不恒为零的函数,且对任意都有:
,
(1)求与的值;
(2)判断的奇偶性;
(3)若,,求数列的前项和?
简析:
(1);
(2),再令,所以为奇函数;
(2)当时,,令函数,所以有:
,所以有:
,得;
又因为:
,所以:
,。
例2、已知函数具有下列性质:
(1)当n一定,记求的表达式
(2)对
(1)
即又
,即,由n为定值,
则数列是以为首项,为公比的等比数列,
由于
(2),
欲证,
只需证明,
只需证明
已知函数是定义在上的函数,且满足。
设,且有:
(1)求证:
(2)若对于任意的恒成立,求的取值范围。
(1)由于,所以有,也有:
由:
,得,令,也即有:
,由错位相减得出:
(2)由,所以:
,又因为,所以是等比数列,有,又,所以有了:
,设有:
所以是单调递减的。
也当时,取得最大值,由题有:
。
练习:
已知函数f(x)定义在区间(-1,1)上,,且当x,y∈(-1,1)
时,恒有,又数列{an}满足,设.
(1)证明:
f(x)在(-1,1)上为奇函数;
(2)求f(an)的表达式;
(3)是否存在自然数m,使得对任意n∈N,都有成立,若存在,求出m的最小值;
若不存在,请说明理由.
讲解 (1)紧扣奇函数的定义,选择特殊值.令x=y=0,则f(0)=0,再令x=0,得f(0)-f(y)=f(-y),所以f(-y)=-f(y),y∈(-1,1),故f(x)在(-1,1)上为奇函数.
(2)
即 ,
∴{f(an)}是以-1为首项,2为公比的等比数列,从而有f(an)=-2n-1.
(3)先求的表达式,得
若恒成立(n∈N+),则,
即
∵n∈N+,∴当n=1时,有最大值4,故m>
4.又∵m∈N,∴存在m=5,使得对任意n∈N+,都有成立.
评注 递推数列是高考的热点题型,而本题将函数、数列、不等式融为一体,其综合度比较大,覆盖的知识点比较多,当中的"恒成立"又是高考的热门话题,还请读者多多总结该题型的解法技巧.由函数与数列综合是高考试题的一个亮点。
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