排列组合经典:涂色问题Word文档下载推荐.doc
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⑤
⑥
例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域,且相邻两个区域不能同色。
依题意只能选用4种颜色,要分四类:
(1)②与⑤同色、④与⑥同色,则有;
(2)③与⑤同色、④与⑥同色,则有;
(3)②与⑤同色、③与⑥同色,则有;
(4)③与⑤同色、② 与④同色,则有;
(5)②与④同色、③与⑥同色,则有;
所以根据加法原理得涂色方法总数为5=120
例3、如图所示,一个地区分为5个行政区域,
2
4
3
1
5
现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,
现有4种颜色可供选择,则不同的着方法共有多少种?
分析:
依题意至少要用3种颜色
1)当先用三种颜色时,区域2与4必须同色,
2)区域3与5必须同色,故有种;
3)当用四种颜色时,若区域2与4同色,
4)则区域3与5不同色,有种;
若区域3与5同色,则区域2与4不同色,有种,故用四种颜色时共有2种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有+2=24+224=72
3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论,从某两个不相邻区域同色与不同色入手,分别计算出两种情形的种数,再用加法原理求出不同涂色方法总数。
例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内,每个区域涂一种颜色,相邻两个区域涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?
可把问题分为三类:
(1)四格涂不同的颜色,方法种数为;
(2)有且仅两个区域相同的颜色,
(3)即只
有一组对角小方格涂相
同的颜色,涂法种数为
;
5)两组对角小方格分别涂相同的颜色,涂法种数为,
因此,所求的涂法种数为
4、根据相间区使用颜色的种类分类
A
B
C
D
E
F
例5如图,6个扇形区域A、B、C、D、E、F,现给这6个区域着色,要求同一区域涂同一种颜色,相邻的两个区域不得使用同一种颜色,现有4种不同的颜色可解
(1)当相间区域A、C、E着同一种颜色时,
有4种着色方法,此时,
B、D、F各有3种着色方法,
此时,B、D、F各有3种着色方法
故有
种方法。
(2)当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时,有种着色方法,此时B、D、F有种着色方法,故共有种着色方法。
(3)当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有种着色方法,此时B、D、F各有2种着色方法。
此时共有种方法。
故总计有108+432+192=732种方法。
说明:
关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。
如:
如图,把一个圆分成个扇形,每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色,要求相邻扇形不同色,有多少种染色方法?
解:
设分成n个扇形时染色方法为种
(1)当n=2时、有=12种,即=12
(2)当分成n个扇形,如图,与不同色,与不同
色,,
与不同色,共有种染色方法,但由于与
邻,所以应排除与同色的情形;
与同色时,可把、看成一个扇形,与前个扇形加在一起为个扇形,此时有种染色法,故有如下递推关系:
二.点的涂色问题
方法有:
(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论,
(2)根据相对顶点是否同色分类讨论,(3)将空间问题平面化,转化成区域涂色问题。
例6、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是多少?
解法一:
满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
(1)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点S,再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点,此时只能A与C、B与D分别同色,故有种方法。
(2)若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S,再从余下的四种颜色中任选两种染A与B,由于A、B颜色可以交换,故有种染法;
再从余下的两种颜色中任选一种染D或C,而D与C,而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可,故有种方法。
(3)若恰用五种颜色染色,有种染色法
综上所知,满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
解法二:
设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行,对S、A、B染色,有种染色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色,这影响到D点颜色的选取方法数,故分类讨论:
S
C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一),D应与A(C)、S不同色,有3种选择;
C与A不同色时,C有2种选择的颜色,D也有2种颜色可供选择,从而对C、D染色有种染色方法。
由乘法原理,总的染色方法是
解法三:
可把这个问题转化成相邻区域不同色问题:
如图,
对这五个区域用5种颜色涂色,有多少种不同的涂色方法?
二.线段涂色问题
对线段涂色问题,要注意对各条线段依次涂色,主要方法有:
a)根据共用了多少颜色分类讨论
b)根据相对线段是否同色分类讨论。
例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边,每条边只涂一种颜色 ,且使相邻两边涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?
(1)使用四颜色共有种;
(2)使用三种颜色涂色,则必须将一组对边染成同色,故有种,
(3)使用二种颜色时,则两组对边必须分别同色,有种
因此,所求的染色方法数为种
解法二:
涂色按AB-BC-CD-DA的顺序进行,对AB、BC涂色有种涂色方法。
由于CD的颜色可能与AB同色或不同色,这影响到DA颜色的选取方法数,故分类讨论:
当CD与AB同色时,这时CD对颜色的选取方法唯一,则DA有3种颜色可供选择CD与AB不同色时,CD有两种可供选择的颜色,DA也有两种可供选择的颜色,从而对CD、DA涂色有种涂色方法。
由乘法原理,总的涂色方法数为种
例8、用六种颜色给正四面体的每条棱染色,要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色,问有多少种不同的涂色方法?
解:
(1)若恰用三种颜色涂色,则每组对棱必须涂同一颜色,而这三组间的颜色不同,故有种方法。
(2)若恰用四种颜色涂色,则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色,但组与组之间不同色,故有种方法。
(3)若恰用五种颜色涂色,则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色,故有种方法。
(4)若恰用六种颜色涂色,则有种不同的方法。
综上,满足题意的总的染色方法数为种。
三.面涂色问题
例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的6个面涂色,每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色,则不同的涂色方案共有多少种?
显然,至少需要3三种颜色,由于有多种不同情况,仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论
根据共用多少种不同的颜色分类讨论
(1)用了六种颜色,确定某种颜色所涂面为下底面,则上底颜色可有5种选择,在上、下底已涂好后,再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面,则其余3个面有3!
种涂色方案,根据乘法原理
(2)共用五种颜色,选定五种颜色有种方法,必有两面同色(必为相对面),确定为上、下底面,其颜色可有5种选择,再确定一种颜色为左侧面,此时的方法数取决于右侧面的颜色,有3种选择(前后面可通过翻转交换)
(3)共用四种颜色,仿上分析可得
(4)共用三种颜色,
例10、四棱锥,用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上,要求相邻不同色,有多少种涂法?
R
P
这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题,如右图,区域1、2、3、4相当于四个侧面,区域5相当于底面;
根据共用颜色多少分类:
(1)最少要用3种颜色,即1与3同色、2与4同色,此时有种;
(2)当用4种颜色时,1与3同色、2与4两组中只能有一组同色,此时有;
故满足题意总的涂色方法总方法交总数为
例11.用三种不同的颜色填涂如右图3方格中的9个区域,要求
每行、每列的三个区域都不同色,则不同的填涂方法种数共有(D)
A、48、B、24C、12D、6
四、染色模型在“立几”中的计数问题应用
在近几年的高考试题和各地模拟试题中频繁出现以“立几”中的点、线、面的位置关系为背景的计数问题,这类问题题型新颖、解法灵活、多个知识点交织在一起,综合性强,能力要求高,有一定的难度,它不仅考查相关的基础知识,而且注重对数学思想方法和数学能力的考查。
现结合具体例子谈谈这种问题的求解策略。
1.直接求解
例1:
从平面上取6个点,从平面上取4个点,这10个点最多可以确定多少个三棱锥?
解析:
利用三棱锥的形成将问题分成平面上有1个点、2个点、3个点三类直接求解共有个三棱锥
例2:
在四棱锥P-ABCD中,顶点为P,从其它的顶点和各棱的中点中取3个,使它们和点P在同一平面上,不同的取法有()
A.40B.48C.56D.62种
满足题设的取法可以分成三类
(1)在四棱锥的每一个侧面上除P点外取三点有种不同取法;
(2)在两个对角面上除点P外任取3点,共有种不同取法;
(3)过点P的每一条棱上的3点和与这条棱异面的棱的中点也共面,共有种不同取法,故共有40+8+8=56种
评注:
这类问题应根据立体图形的几何特点,选取恰当的分类标准,做到分类不重复、不遗漏。
2.结合“立几”概念求解
例3:
空间10个点无三点共线,其中有6个点共面,此外没有任何四个点共面,则这些点可以组成多少个四棱锥?
3.结合“立几”图形求解
例4.如果把两条异面直线看作“一对”,那么六棱锥的棱和底面所有的12条直线中,异面直线有():
A.12B.24C.36D.48
解析:
例5.用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点,共可得多少个四棱锥?
分类:
以棱柱的底面为棱锥的底面;
以棱柱的侧面为棱锥的底面
以棱柱的对角面为棱锥的底面
以图中(梯形)为棱锥的底面
4.构造几何模型求解
例6.在正方体的8个顶点的所有连线中,有多少对异面直线?
与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个?
(05年湖北)以平面六面体的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出两个三角形,则这两个三角