指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结文档格式.doc

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③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：

分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质

①aras=ar+s（a>

0,r、s∈Q）;

②（ar）s=ars（a>

③（ab）r=arbs（a>

0,b>

0,r∈Q）;

.

3．指数函数的图象与性质

y=ax

a>

1

0<

a<

图象

定义域

R

值域

（0，+）

性质

（1）过定点（0，1）

（2）当x>

0时，y>

1;

x<

0时,0<

y<

（2）当x>

0时，0<

0时,y>

（3）在（-，+）上是增函数

（3）在（-，+）上是减函数

如图所示，是指数函数

（1）y=ax,

（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？

提示：

在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>

d1>

1>

a1>

b1,∴c>

d>

b。

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数

1、对数的概念

（1）对数的定义

如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。

（2）几种常见对数

对数形式

特点

记法

一般对数

底数为

常用对数

底数为10

自然对数

底数为e

2、对数的性质与运算法则

（1）对数的性质（）：

①，②，③，④。

（2）对数的重要公式：

①换底公式：

；

②。

（3）对数的运算法则：

如果，那么

①；

②；

③；

④。

3、对数函数的图象与性质

（1）定义域：

（0,+）

（2）值域：

（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）

（4）当时，；

当时，

（5）在（0,+）上为增函数

（5）在（0,+）上为减函数

确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系

作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0<

c<

d<

1<

b.

4、反函数

指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。

（三）幂函数

1、幂函数的定义

形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数

幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

2、幂函数的图象

在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，，y=x-1方法：

可画出x=x0；

当x0>

1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2，y=x，，y=x-1；

当0<

x0<

1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x-1，，y=x，y=x2，y=x3。

3、幂函数的性质

y=x

y=x2

y=x3

y=x-1

[0，）

奇偶性

奇

偶

非奇非偶

单调性

增

x∈[0，）时，增；

x∈时，减

x∈（0,+）时，减；

x∈（-,0）时，减

定点

（1，1）

4