山东省2014届高三理科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编5：数列Word下载.doc

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x≤1,则﹣1<

x﹣1<

0,得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1,

若1<

x≤2,则0<

x﹣1≤1,得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1

若2<

x≤3,则1<

x﹣1≤2,得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2

若3<

x≤4,则2<

3,得f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3

以此类推,若n<

x≤n+1（其中n∈N）,则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n,

下面分析函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点

很显然,它们有两个交点（0,1）和（1,2）,

由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸,故它们只有这两个交点.

然后①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象,

取x≤0的部分,可见它们有且仅有一个交点（0,0）.

即当x≤0时,方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0.

②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1<

x≤0的部分,再同时向上和向右各平移一个单位,

即得f（x）=2x﹣1和y=x在0<

x≤1上的图象,显然,此时它们仍然只有一个交点（1,1）.

即当0<

x≤1时,方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1.

③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0<

x≤1上的图象,继续按照上述步骤进行,

即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1<

x≤2上的图象,显然,此时它们仍然只有一个交点（2,2）.

即当1<

x≤2时,方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2.

④以此类推,函数y=f（x）与y=x在（2,3],（3,4],（n,n+1]上的交点依次为（3,3）,（4,4）,（n+1,n+1）.

即方程f（x）﹣x=0在（2,3],（3,4],（n,n+1]上的根依次为3,4,n+1.

综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为

0.,1,2,3,4,

其通项公式为,选 B．

．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）在各项均为正数的等比数列中,则 （　　）

A．4 B．6 C．8 D．

【答案】C

【解析】在等比数列中,,所以

选 C．

．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）已知为等差数列,若 （　　）

A．24 B．27

C．15 D．54

【答案】B在等差数列中,由得,即,所以,选 B．

．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知等比数列满足,则的值为 （　　）

A． B．1 C．2 D．

【解析】由,得,即,所以.所以,选 B．

．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知等差数列的前n项和为,满足 （　　）

【答案】D在等差数列中,,所以,即,选 D．

．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理 （　　）

A．）如果等差数列中,,那么等于 （　　）

A．21 B．30 C．35 D．40

【解析】在等差数列中,由得.所以,选 C．

．（山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学（理））如果等差数列中,,那么等于 （　　）

【解析】由得.所以,选 C．

．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）设是等差数列的前项和,,则 （　　）

【答案】C由得,即,所以,选 C．

．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））在等比数列{an}中,·

且前n项和,则项数n等于 （　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【解析】在等比数列中,又解得或.当时,,解得,又所以,解得.同理当时,由解得,由,得,即,综上项数n等于5,选 B．

二、填空题

．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设直线与两坐标轴围成的三角形的面积为Sn,则S1+S2++S2012的值为

【答案】

【解析】当时,.当时,,所以三角形的面积,所以.

．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）现有一根n节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为10cm,最下面的三节长度之和为114cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项,则n=___________.

【答案】16设对应的数列为,公差为.由题意知,,.由得,解得,即,即,解得,所以,即,解得.

．（【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学）对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式:

22=1+332=1+3+542=1+3+5+7

23=3+533=7+9+11

24=7+9

此规律,54的分解式中的第三个数为_____

【答案】125

【解析】由题意可知,,,所以54的分解式中的第三个数为.

．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）下面图形由小正方形组成,请观察图1至图4的规律,并依此规律,写出第个图形中小正方形的个数是___________.

【解析】,所以,,等式两边同时累加得,即,所以第个图形中小正方形的个数是.

．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）对正整数n,设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为,则的前n项和是_____________.

【解析】曲线,曲线导数为,所以切线效率为,切点为,所以切线方程为,令得,,即,所以,所以,是以2为首项,为公比的等比数列,所以.

．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）等比数列,,前项和为____________.

【解析】在等比数列中,,所以.

．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）根据下面一组等式

可得______________________.

【解析】;

;

由归纳推理可知.

．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）对大于l的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:

23,,,,仿此,若m3的“分裂数”中有一个是59,则m的值为______________.

【答案】8

即13=1,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,m增加1,累加的奇数个数便多1,我们不难计算59是第30个奇数,若它是m的分解,则1至m-1的分解中,累加的奇数一定不能超过30个,故可列出不等式,进行求解,由且,解得.

．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）如图,一个类似杨辉三角的数阵,请写出第行的第2个数为______.

【答案】每行的第二个数构成一个数列,由题意知,所以

等式两边同时相加得

所以.

三、解答题

．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）等差数列中,.

（Ⅰ）求数列的通项公式;

（Ⅱ）设,求数列的前n项和.

【答案】解:

（Ⅰ）设数列

且

解得

所以数列

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

所以

所以

两式相减得10分

．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知,数列满足,数列满足;

又知数列中,,且对任意正整数,.

（Ⅰ）求数列和数列的通项公式;

（Ⅱ）将数列中的第项,第项,第项,,第项,删去后,剩余的项按从小到大的顺序排成新数列,求数列的前项和.

又由题知:

令,则,

若,则,,所以恒成立

若,当,不成立,所以

（Ⅱ）由题知将数列中的第3项、第6项、第9项删去后构成的新数列中的奇数列与偶数列仍成等比数列,首项分别是,公比均是

．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）（本小题满分】2分）

某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产

线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护

费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25%

（I）设第n年该生产线的维护费用为,求的表达式;

（Ⅱ）若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前n年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线?

【答案】

．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知数列{}的前n项和满足,设.

（I）求证:

数列{}是等差数列,并求数列{}的通项公式;

（II）按以下规律构造数列{},具体方法如下:

第n项bn由相应的{}中2n-1项的和组成,求数列{}的通项.

．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）

已知各项均不相等的等差数列的前5项和为成等比数列.

（1）求数列的通项公式;

（2）设为数列的前n项和,问是否存在常数m,使,若存在,求m的值;

若不存在,说明理由.

．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）等比数列满足的前n项和为,且

（I）求;

（II）数列的前n项和,是否存在正整数m,,使得成等比数列?

若存在,求出所有的值;

若不存在,请说明理由.

（本小题满分12分）

解:

（Ⅰ）,所以公比

得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

于是

假设存在正整数,使得成等比数列,则

可得,所以

从而有,,

由,得

此时.

当且仅当,时,成等比数列

．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和Sn,且满足:

a2·

a4=65,a1+a5=18.

（1）若1<

i<

21,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项,求i的值;

（2）设,是否存在一个最小的常数m使得b1+b2++bn<

m对于任意的正整数n均成立,若存在,求出常数m;

．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知数列,,,记,

（）,若对于任意,,,成等差数列.

（Ⅰ）求