圆的方程Word下载.doc
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对上式配方可得:
(i)当时,原方程表示一个点;
(ii)当时,原方程不表示任何图形;
(iii)当时,原方程表示一个圆,其圆心为,半径为.
2、圆的一般方程
.
对二元二次方程,配方可得:
因而,当时,我们把方程叫作圆的一般方程.
3、圆的标准方程与圆的一般方程之间的互化
(1)圆的一般方程化为圆的标准方程:
把圆的一般方程:
(注意隐含条件:
)配方可得圆的标准方程:
;
(2)圆的标准方程化为圆的一般方程:
把圆的标准方程:
展开可得圆的一般方程:
三、点与圆的位置关系
1、平面内一点与圆的位置关系的判定
已知圆的方程为,显然圆心为,半径为,那么平面内一点与圆的位置关系有:
(1)点在圆上;
(2)点在圆内;
(3)点在圆外.
2、平面内一点到圆上的点的最大距离与最小距离
平面内一点到圆上的点的最大距离为;
点到圆上的点的最小距离为(其中,为圆的圆心,为圆的半径).
四、确定圆的方程的方法
确定圆的方程的重要方法是待定系数法.
1、如果已知条件中圆心的位置易于确定,则可以选择圆的标准方程列方程组、求系数,即列出关于、、的方程组,求出、、的值,或直接求出圆心及半径.
一般步骤如下:
Step1:
根据题意,设所求圆的标准方程为;
Step2:
根据已知条件,建立关于、、的方程组;
Step3:
求解这个方程组,并把它们代入前面所设的方程中去,整理后,即可得到所要求的圆的方程.
【注】运用待定系数法去求圆的标准方程时,应尽量利用圆的几何性质去确定其圆心及半径,这样的话,将会大大减少计算量.一般可以利用圆心的三个几何性质:
①圆心在过切点且垂直于切线的直线上;
②圆心在某一条弦的垂直平分线上;
③圆心在圆的任意一条直径上,且为直径的中点.
2、如果已知条件中圆心的位置不确定或难以确定,则可以选择圆的一般方程列方程组、求系数.在圆的一般方程中,含有三个相互独立的参数、、,因此,必须具备三个独立的条件才能通过列出关于、、的方程组,求出、、的值,最终确定出圆的一般方程.
一般步骤如下:
根据题意,设所求圆的一般方程为;
五、圆的直径式方程的求法
设、是圆的某条直径的两个端点,为圆上任意异于点、的一点,则,即,于是有,而,,,故有,此即圆的直径式方程.
六、常见的圆系方程
1、过定直线与定圆的交点的圆系方程
过定直线:
和定圆的交点的圆系方程为.
2、过两圆的交点的圆系方程
过两圆和的交点的圆系方程为,特别地,当时,该方程表示两圆公共弦所在直线的方程.
【例题解析】
题型1圆的定义
1、若方程表示圆,则_______.
解:
方程表示圆
(ⅰ)若,则原方程即为,亦即,表示圆;
(ⅱ)若,则原方程即为,亦即
这里,.
由于
因此,方程不表示任何图形。
故
题型2圆心到直线的距离
2、圆的圆心到直线的距离为1,则_______.
圆的标准方程为,圆心为(1,4)
圆心(1,4)到直线的距离为1
题型3圆的标准方程和一般方程
3、经过坐标原点和点,且圆心在直线上的圆的方程为_______.
,OP中点为
OP的中垂线方程为,即
所求圆的圆心在直线上,而弦OP的中垂线也过圆心
联立可得,此即所求圆的圆心为(4,-3)
又圆的半径
故圆的方程为
4、经过点,且圆心在直线上的圆的方程为_______.
,AB中点为
AB的中垂线方程为,即
所求圆的圆心在直线上,而弦AB的中垂线也过圆心
联立可得,此即所求圆的圆心为(-2,-1)
5、若圆心在轴上、半径为的位于轴左侧,且与直线相切。
则的方程为_______.
设圆心为,由题意知,
与直线相切
圆心到直线的距离等于半径
于是有,舍去
故的方程为
6、已知圆的半径为,圆心在直线上,且圆被直线所截得的弦长为。
则圆的标准方程为_______.
由于半径、半弦、弦心距构成一个直角三角形
因此弦心距
又所求圆的圆心在直线上
所以可设所求圆的圆心为
于是有
故所求圆的标准方程为
7、经过,两点,且在轴上所截得的弦长为6的圆的方程为_______.
设所求圆的方程为
由于圆过,两点
因此①,②
又圆被轴所截得的弦长为6,设该弦左端点为,右端点为
则
由得,
于是由,有③
由①②③得,或
故所求圆的方程为或
8、经过,两点,且在轴上所截得的弦长为的圆的方程为_______.
又圆被轴所截得的弦长为,设该弦上顶点为,下顶点为
,
题型4与圆的有关的最值问题
9、在圆内,过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD。
则四边形ABCD的面积为_______.
圆,即,圆心为,半径
圆内过点的最长弦为,
最短弦为.
【方法总结】
(ⅰ)直径是圆内最长弦;
在所有过圆内某点的弦当中,垂直于过该点的直径的弦最短。
下证:
证明:
而,当且仅当“”时,“”成立。
这表明,当取得最小值时,.
又是圆内过点的直径
(2)对角线互相垂直的四边形的面积等于其对角线乘积的一半。
10、已知实数满足方程.
(1)求的最大值和最小值;
(2)求的最大值和最小值;
(3)求最大值和最小值.
方程,即表示圆,该圆圆心为,半径
(1)令,则
当直线与圆相切时,其斜率取得最大值和最小值
故,
(2)令,则
(3)表示圆上的点与坐标原点之间的距离的平方
由平面几何知识知,在坐标原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值
由于坐标原点到圆心的距离为2
因此;
【方法总结】与圆有关的最值问题,可借助图形,利用数形结合求解。
一般地:
(ⅰ)形如的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;
(ⅱ)形如的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;
(ⅲ)形如的最值问题,可转化为两点之间的距离的平方的最值问题。
题型5圆的参数方程的应用
11、
(1)把圆的参数方程(为参数)化为标准方程;
(2)若实数,满足,求的最大值.
(1)由得,
(2)将圆的一般方程变形为标准方程
于是该圆的参数方程为(为参数)
于是
故的最大值为
题型6与圆的有关的综合问题
12、曲线:
,下列说法中不正确的是()
A.曲线关于原点对称
B.曲线关于直线对称
C.曲线是封闭的,且封闭图形的面积大于
D.曲线与曲线:
有四个交点,这四个交点构成的图形是正方形
对于A:
设是曲线:
上任意一点
设点为点关于坐标原点的对称点
点也在曲线:
上
故曲线关于原点对称
对于B:
设点为点关于直线,即的对称点
故曲线关于直线对称
对于C:
于是有,,
故曲线:
不是封闭图形(是封闭图形的话,、的取值范围是有限区间)
对于D:
显然,曲线:
与曲线:
都关于坐标原点、轴、轴对称,并且它们有四个交点,分别为,而这四个交点恰好是一个正方形的四个顶点
故这四个顶点构成的图形是正方形
注:
点关于直线的对称点为
证:
设,为点关于直线的对称点
于是,
故,即点关于直线的对称点为
13、已知两点,,若经过点A和点B,且与轴相切的圆有且只有一个,求的值及圆的方程.
由题意可设所求圆的方程为()
则由该圆过,两点,有
(ⅰ)当时,方程即为
此时所求圆的方程为
(ⅱ)当时,由方程有唯一解,有
即
而,所以
代入方程中,得
故当时,所求圆的方程为;
当时,所求圆的方程为.
14、设,,若,则的取值范围为_________.
(法一)曲线,,即,表示圆心为,半径的下半圆周(不包含两个端点,)
直线:
,即,可以看作是由直线上下平移个单位得到的(具体而言,当时,由直线向上平移个单位得到;
当时,由直线向下平移个单位得到)
当直线:
过点时,有
,,即下半圆周,相切时,圆心到直线:
的距离
又曲线:
,与直线:
有公共点
故,即的取值范围为
(法二)对于曲线:
,即下半圆周,,
令,
则点,是曲线上的点
曲线:
方程在上有解
又
(1)当曲线:
与直线:
有且仅有一个公共点时,可求得的取值范围为。
解法如下:
曲线,,即,表示圆心为,半径的下半圆周(不包含两个端点,)
,即下半圆周,相切时,圆心到直线:
有且仅有一个公共点
故或,即的取值范围为
(2)当曲线:
有两个公共点时,可求得的取值范围为。
有两个公共点
15、若直线:
有公共点,则的取值范围为_________.
(法一)曲线:
,即,表示圆心为,半径的上半圆周(包含两个端点,)
,即上半圆周