双曲线经典试题Word下载.doc
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倒数.由此可知,解本题须用双曲线的第二定义.
【解析】双曲线的右焦点F(6,0),离心率
右准线为.作于N,交双曲线右支于P,
连FP,则.此时
为最小.
在中,令,得取.所求P点的坐标为.
(2)渐近线——双曲线与直线相约天涯
对于二次曲线,渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.
双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交,这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多,所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.
【例3】过点(1,3)且渐近线为的双曲线方程是
【解析】设所求双曲线为
点(1,3)代入:
.代入
(1):
即为所求.
【评注】在双曲线中,令即为其渐近线.根据这一点,可以简洁地设待求双曲线为,而无须考虑其实、虚轴的位置.
(3)共轭双曲线——虚、实易位的孪生弟兄
将双曲线的实、虚轴互易,所得双曲线方程为:
.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同;
它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样;
它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.
【例4】两共轭双曲线的离心率分别为,证明:
=1.
【证明】双曲线的离心率;
双曲线的离心率.
∴.
(4)等轴双曲线——和谐对称与圆同美
实、虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线,等轴双曲线的对称性可以与圆为伴.
【例5】设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦,求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.
【证明】如图设等轴双曲线方程为,
直线CD:
y=m.代入
(1):
.故有:
取双曲线右顶点.那么:
.即∠CBD=90°
同理可证:
∠CAD=90°
●通法特法妙法
(1)方程法——为解析几何正名
解析法的指导思想是函数方程思想,其主要手段是列、解方程、方程组或不等式.
【例6】如图,和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该
双曲线左支的两个交点,且△是等边三角形,则双
曲线的离心率为()
(A)(B)(C)(D)
【解析1】设AB交x轴于M,并设双曲线半焦距为c,∵△是等边三角形,∴点代入双曲线方程:
.化简得:
(∵e>1,∴及舍去)故选D.
【解析2】连AF1,则△AF1F2为直角三角形,且斜边F1F2之长为2c.令由直角三角形性质知:
∵.
∵e﹥1,∴取.选D.
【评注】即使是解析法解题,也须不失时机地引入几何手段.
(2)转换法——为解题化归立意
【例7】直线过双曲线的右焦点,斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上,则双曲线的离心率e的范围是()
A.e>
B.1<
e<
C.1<
D.e>
【分析】就题论题的去解这道题,确实难以下手,那就
考虑转换吧.其一,直线和双曲线的两支都有交点不好掌握,
但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二,因为已知直线
的斜率为2,所以双曲线的两条渐近线中,倾斜角为钝角的
渐近线肯定与之相交,只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与
之相交.故有如下妙解.
【解析】如图设直线的倾斜角为α,双曲线渐近线
的倾斜角为β.显然。
当β>α时直线与双曲线的两
个交点分别在左右两支上.由
∵双曲线中,故取e>
.选D.
(3)几何法——使数形结合带上灵性
【例8】设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点,若,则的面积为()
A. B. C. D.
【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是:
.设;
于是,
故知△PF1F2是直角三角形,∠F1PF2=90°
∴.选B.
【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形,是事前
不曾想到的吧?
可是,这一美妙的结果不是每个考生都能
临场发现的.
将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维
能力,这正是命题人的高明之处.
(4)设而不求——与借舟弃舟同理
减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例:
【例9】双曲线的一弦中点为(2,1),则此弦所在的直线方程为()
A.B.C.D.
【解析】设弦的两端分别为.则有:
∵弦中点为(2,1),∴.故直线的斜率.
则所求直线方程为:
,故选C.
“设而不求”具体含义是:
在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤,只要有可能,可以用虚设代替而不必真地去求它.
但是,“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用,也会出漏子.请看:
【例10】在双曲线上,是否存在被点M(1,1)平分的弦?
如果存在,求弦所在的直线方程;
如不存在,请说明理由.
如果不问情由地利用“设而不求”的手段,会有如下解法:
【错解】假定存在符合条件的弦AB,其两端分别为:
A(x1,y1),B(x2,y2).那么:
∵M(1,1)为弦AB的中点,
∴
故存在符合条件的直线AB,其方程为:
这个结论对不对呢?
我们只须注意如下两点就够了:
其一:
将点M(1,1)代入方程,发现左式=1-<1,故点M(1,1)在双曲线的外部;
其二:
所求直线AB的斜率,而双曲线的渐近线为.这里,说明所求直线不可能与双曲线相交,当然所得结论也是荒唐的.
问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.
【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由
这里,故方程
(2)无实根,也就是所求直线不合条件.
此外,上述解法还疏忽了一点:
只有当时才可能求出k=2.若.说明这时直线与双曲线只有一个公共点,仍不符合题设条件.
结论;
不存在符合题设条件的直线.
(5)设参消参——换元自如地阔天宽
一道难度较大的解析几何综合题,往往牵涉到多个变量.要从中理出头绪,不能不恰当地处理那些非主要的变量,这就要用到参数法,先设参,再消参.
【例11】如图,点为双曲线的左焦点,左准线交轴于点,点P是上的一点,已知,且线段PF的中点在双曲线的左支上.
(Ⅰ)求双曲线的标准方程;
(Ⅱ)若过点的直线与双曲线的左右
两支分别交于、两点,设,当
时,求直线的斜率的取值范围.
【分析】第(Ⅰ)问中,线段PF的中点M
的坐标是主要变量,其它都是辅助变量.注意到
点M是直角三角形斜边的中点,所以利用中点公式是设参消参的主攻方向
第(Ⅱ)中,直线的斜率是主要变量,其它包括λ都是辅助变量.斜率的几何意义是有关直线倾斜角θ的正切,所以设置直线的参数方程,而后将参数λ用θ的三角式表示,是一个不错的选择.
【解析】
(Ⅰ)设所求双曲线为:
.其左焦点为F(-c。
0);
左准线:
由,得P(,1);
由
FP的中点为.代入双曲线方程:
根据
(1)与
(2).所求双曲线方程为.
(Ⅱ)设直线的参数方程为:
.代入得:
当,方程(3)总有相异二实根,设为.
已知直线与双曲线的左右两支分别交于、两点,∴
,.于是:
.注意到在上是增函数,
(4)代入(5):
∵双曲线的渐近线斜率为,故直线与双曲线的左右两支分别交必须
.综合得直线的斜率的取值范围是.
双曲线
1已知中心在原点,顶点A1、A2在x轴上,离心率e=的双曲线过点P(6,6)
(1)求双曲线方程
(2)动直线l经过△A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N,问是否存在直线l,使G平分线段MN,证明你的结论
解
(1)如图,设双曲线方程为=1由已知得,解得a2=9,b2=12所以所求双曲线方程为=1
(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0),∴其重心G的坐标为(2,2)
假设存在直线l,使G(2,2)平分线段MN,设M(x1,y1),N(x2,y2)则有
,∴kl=∴l的方程为
y=(x-2)+2,由,消去y,整理得x2-4x+28=0∵Δ=16-4×
28<0,∴所求直线l不存在
2.已知双曲线,问过点A(1,1)能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点,并且A为线段PQ的中点?
若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由。
错解设符合题意的直线存在,并设、
则
(1)得因为A(1,1)为线段PQ的中点,所以将(4)、(5)代入(3)得
若,则直线的斜率所以符合题设条件的直线存在。
其方程为剖析在(3)式成立的前提下,由(4)、(5)两式可推出(6)式,但由(6)式不能推出(4)(5)两式,故应对所求直线进行检验,上述错解没有做到这一点,故是错误的。
应在上述解题的基础上,再由
得根据,说明所求直线不存在。
3已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线于A、B两点,且
(1)求直线AB的方程;
(2)若过N的直线l交双曲线于C、D两点,且,那么A、B、C、D四点是否共圆?
为什么?
解:
(1)设直线AB:
代入得(*)
令A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是方程的两根∴且
∵∴N是AB的中点∴
∴k=1∴AB方程为:
y=x+1
(2)将k=1代入方程(*)得或由得,∴,∵∴CD垂直平分AB∴CD所在直线方程为
即代入双曲线方程整理得令,及CD中点则,,∴,
|CD|=,,即A、B、C、D到M距离相等
∴A、B、C、D四点共圆