三次函数零点存在性探讨Word文件下载.doc

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一.知识准备

三次函数的导函数，记，设的两根为，则可以得出下面结论：

（一）图像研究

的图象

（二）零点研究

结合三次函数的图象，我们可以得出以下结论：

性质若三次曲线与x轴有三个交点，则且；

若三次曲线与x轴有两个交点，则且；

若三次曲线与x轴有一个交点，则且或。

二．链接高考

题一（2014年高考课标1理科卷第11题）

已知函数若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）

分析该题的核心条件是“在唯一的零点，且”，作以下分析：

第一步时显然不符合题意；

第二步时，求导，令，解得。

由性质我们可以得出该三次函数有一个零点，即为且，即。

结合该三次函数图象以及特殊点（0,1）分析可得；

第三步解不等式组可得，选C。

总结本题的切入点即为三次函数有唯一零点，在具体的解题过程中，应该充分把握函数的特殊点，并结合函数的图像加以分析，可以取得事半功倍的效果。

无独有偶，在2015年的江苏卷中，再次出现了三次函数的零点存在性问题，许多考生在解题时束手无策，关键还是对三次函数的图象以及零点存在的条件把握不到位。

题二（2015高考题江苏卷第19题）

已知函数.

（1）试讨论的单调性；

（2）若（实数是与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值.

分析第

（1）题是常规题，着重考虑求导以后对参数a的讨论。

第

（2）题许多学生会感觉参数混乱，事实上把握住三次函数有三个零点的等价条件，并将其转化成关于的四次不等式问题，结合多项式不等式的解集与对应方程的解的关系，整个题目就迎刃而解了。

简解

（1）

当时，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在，上单调递增，在上单调递减．

（2）第一步函数有三个不同的零点等价于，即不等式，由题可得该四次不等式的解集为；

第二步令，讨论该函数的图象。

的导函数为，，其中恒成立，即有两解；

第三步依次分析的图象,由图象可得，即可求得

总结本题的第一问是讨论含参的三次函数的单调性，对其导函数二次函数的根的情况作为最终研究对象加以分析可得；

第二问利用三次函数三个零点的等价关系，巧妙的引入一个新的函数进行讨论，突出了转化的思想，同时再次体现了三次函数作为导函数出现对该题的重大意义，导函数的工具性作用亦是发挥得淋漓尽致。

利用上述性质讨论三次函数的零点存在性问题十分便捷，但是在研究中结合三次函数的图象必不可少，因此熟练掌握三次函数的图象走势十分重要，尤其研究三次函数在定区间上的零点问题时，更应该兼顾极值点处的函数值以及定区间上的图象分布，以下题目作为练习可供大家深入研究。

题三（2015新课标全国卷高考题第21题）

已知函数，.

（1）当为何值时，轴为曲线的切线；

（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数。

三次函数的导函数的特殊性决定了它在高考中的重要地位，回顾三次函数在高考中的考点，可以说是涉及了三次函数图象，切线，极值，最值，单调性，零点等方方面面的内容，深入研究就会发现“又一村”。

学习时需要兼顾导函数的性质，充分渗透数形结合，分类讨论的思想，把图形量化从而达到出其不意的效果。