全国研究生数学建模竞赛B题Word文档下载推荐.docx
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VCSEL的L-I模型
L-I模型，即激光器的工作电流与输出光功率强度关系模型（L：
light，表示光功率强度，也可以表示为P；
I：
Intensityofcurrent，表示工作电流）。
激光器是将电能转换成光能的半导体器件，能量转换的过程，也是电子的电能转换为光子的光能的过程，在转换过程中，伴随着电子的运动，半导体器件会产生一定的热量。
从能量守恒的角度看，转化为热能的能量越多（发热导致能量浪费了），器件温度越高，那么转化为光能的能量越少（输出光功率越低），可以利用的能量就越少。
国际上很多研究机构对VCSEL的L-I建模问题做了大量研究，目前有一个L-I经验公式获得了大多数人的认可。
附录1给出了该公式及其一种参数化表达，请你们根据附件提供的文件名为“L-I-20C.mat”的L-I实测数据（数据在室温20℃下采集，载入matlab后将获得4个变量：
P:
光功率，I:
实测驱动电流，U：
实测电压，Ta：
实测温度）和附录1中的表1给出的一组经验值，完成如下工作：
a）确定模型参数，根据模型画出10℃，20℃，30℃，……，90℃等温度下的L-I曲线（横坐标是电流强度，纵坐标是光功率）。
b）假定当电信机房里VCSEL激光器在直流输入时输出的平均光功率低于2mW时，用户的光猫无法检测到信号。
那么，根据建立的L-I模型推测：
电信机房里VCSEL激光器工作的环境温度最多不能高于多少摄氏度，才能保证用户可以正常使用网络？
2问题2：
L-I模型的改进
分析问题1中模型的精度和误差产生的原因，提出你们的改进，根据改进模型画出10℃，20℃，30℃，……，90℃等温度下的L-I曲线，并与问题1中L-I曲线进行比较。
你们也可以采用完全不同的方法得到更好的L-I模型。
3问题3：
VCSEL的带宽模型（小信号响应模型）
VCSEL的传输带宽越宽，用户上网的网速也就越快。
为了适应未来的高速传输网络需求，期望设计出具有更宽带宽的激光器。
带宽模型，通常也称为小信号响应模型，就是给器件输入不同频率的幅度非常小的信号（注意与L-I模型不同，这里幅度小，而且含多个频率，对应S21曲线横坐标是频率，纵坐标是光功率幅度），获得对应频率点输出信号的幅度（功率）；
这里“不同频率”是从0频到指定频率按一定步长进行扫描，例如从0开始以0.5GHz为步长，扫描到30GHz。
在无线通信中，器件带宽通常采用幅度3dB衰减位置的信号带宽来衡量——即3dB带宽。
在光纤通信中，由于系统可用幅度衰减范围更大，通常采用幅度10dB衰减位置的信号带宽进行衡量——10dB带宽。
附件中名为“S21_5.mat”的文件给出了一组VCSEL激光器小信号幅频响应曲线数据和相应的驱动电流、输出光功率数据，将数据载入MATLAB将获得4个变量：
I_b=7.5，表示偏置电流为7.5mA；
Ta=20表示测试的环境温度是20℃；
f表示S21曲线的频率，单位为Hz；
S21表示S21曲线的幅度，单位为dB，请你们：
a）建立恰当的激光器小信号幅频响应参数模型，给出参数构成及其确定方法，画出不同环境温度和不同偏置电流下的带宽响应曲线（即S21曲线），其中一条必须是20℃下7.5mA偏置电流的仿真输出曲线。
b）利用你们的带宽模型，分析激光器的温度和激光器的偏置电流对器件带宽曲线的影响。
c）假定激光器工作环境温度可以采用某些措施让它固定在20℃（例如，通信设备商通常的做法是将激光器放到精密的恒温箱中进行测试。
若将激光器放在室内环境测试，随着测试时间的变成，激光器本身会发热导致激光器表面及其周边环境温度升高，而恒温箱则可以保证其表面和周边环境温度恒定不变），偏置电流固定在7.5mA，那么，如果要获得更宽带宽的激光器设计方案，还可以通过什么手段实现？
d）改变激光器的某些参数可以发现一些有趣的问题，比如激光器在3dB范围内的部分频率处幅度可能会高于0频位置。
请问，改变哪些参数会有这种现象？
在实际应用中，我们希望这部分带宽曲线越平坦越好，那么如何设计这些参数可以实现我们的目的？
附录2给出了一种基于速率方程的建模方法，你们可以在确认其推导正确的基础上提出参数估计方法并根据题目提供的数据确定合适的参数以完善模型。
你们还可以对推导过程进行完善或者改进，以得到更为精确的模型。
图2某激光器S21曲线
对于S21曲线的一些基本说明：
假定图1是实验室在不同条件下（不同测试环境温度，不同偏置电流）测试到某型号激光器的三条S21曲线（幅频响应曲线）。
图中横坐标为频率，纵坐标为不同频率对应的幅度，-10dB幅度位置的虚线表示所关注的对应的频率大小（带宽）。
从图中可以看到，①号曲线对应的横坐标频率（带宽）约13GHz，②号曲线对应的横坐标频率（带宽）约22GHz，③号曲线对应的横坐标频率（带宽）大于25GHz。
即三条S21曲线中，③号曲线的-10dB带宽最大。
4问题4：
VCSEL带宽模型的改进
开放性探索问题：
是否有更好的带宽模型建模方式，使得模型运算速度更快？
或者在相同的温度和偏置电流下，可以获得更宽的3dB（或10dB）带宽?
如果有，请给出建模方案，包括可能的数学公式，不同温度和偏置电流下的带宽响应曲线，并与问题3的模型进行比较。
5附录1：
激光器L-I模型
一般认为，VCSEL的各参数间满足如下规律：
（1）
其中：
：
激光器输出的光功率，在L-I中光功率也用L来表示，即L-I也可以写成P-I
：
注入到激光器的外部驱动电流，包含外部加载的偏置电流Ib和信号电流，在无信号时为偏置电流Ib
L-I曲线的斜率，从能量转换角度看，斜率对应于转换效率（L-I曲线横坐标是电流I，纵坐标是出光功率P，斜率越高，相同电流I对应的输出光功率越高，相同电能转换为的光能越多，即转换效率越高）；
与温度相关
阈值电流；
激光器电流超过该值则激光发光；
与载流子数和温度相关
载流子数
假设：
1.转换效率受温度影响较小，即近似于常数；
2.
其中为常数，是与温度相关的经验热偏置电流（即激光器内部的偏置电流，随激光器温度的变化而变化，有别于外部人为加载的激光器偏置电流Ib）。
这样
（1）式可以简化为
（2）
将表示为：
（3）
式中的温度受外界环境温度和自身的温度影响，自身的温度与器件产生的瞬时功率相关，即受V-I特性（电压-电流特性）影响：
（5）
：
VCSEL热阻抗
热时间常数
环境温度
偏置电流Ib（输入电流）
输入电压
式
（2）-（5）就是VCSEL的一种经验模型，其中的参数需要根据实验数据确定，表1给出的仅是一组（并非最佳）参考初值：
表1L-I模型初值设置即模型参数提取
参数
参考初值
单位
0.5
-
0.3E-3
A
2.6E3
℃/W
1.246E-3
-2.545E-5
A/K
2.908E-7
A/K2
-2.531E-10
A/K3
1.022E-12
A/K4
6附录2：
基于速率方程的带宽模型推导
将偏置电流和注入激光器的外部驱动电流代入激光器速率方程，得到：
（6）
VCSEL输出的光功率与光子数成正比，假定比例因子为
（7）
：
时间
注入效率；
或转换效率；
物理常量，电子电量，1.6×
10-19库伦
透明载流子数，当载流子数N大于透明载流子数的时候，激光器有源区发生粒子束反转，满足产生激光的其中一个条件
注入的外部驱动电流；
Ioff（T）：
与温度相关的偏置电流
载流子复合寿命
光子寿命（p:
Photon,光子）
增益系数，激光产生的阈值条件，增益大于总损耗；
光子数
受激辐射耦合系数
增益压缩因子
VCSEL的小信号响应建模的思路为：
1.求出稳态下的电流、载流子数、光子数；
稳态，即无驱动信号情况下，激光器中的电流为直流信号，此时电流是稳定的，载流子数、光子数也都是稳定的；
2.加载小信号（小信号为信号幅度非常小的信号，不同频率处的信号幅度不同，因此小信号是与频率相关的小幅度信号），可以假定小信号引入了与频率相关的电流、载流子数、光子数，数学表达可以写成：
，，
3.给VCSEL加载上小信号后，原来速率方程中的电流、载流子数、光子数则表示为稳态下的值与小信号下引入信号变化的值的和。
（8）
其中，，，足够小。
可以根据前面所有材料提到的数学表达式（主要为等式和等式）推导出VCSEL的小信号响应模型数学表达式。
【下面是小信号响应数学表达式推导的过程】
当外部驱动电流保持恒定，载流子数N与光子数S将在一段时间的瞬态后达到稳定状态，此时N和S对时间求导为0（稳态下，载流子和光子数变化为0），那么等式可以写为
（9）
（10）
现在研究在已知输出光功率情况下激光器中载流子的浓度问题。
将关系式带入等式，此时求出的N为稳态下载流子浓度，记为，等式中的第二个等式得到
（11）
其中，为通过仪器测量到的激光器的实测出光功率，为参数。
根据实测光功率和参数值，从等式可以计算出激光器中载流子浓度。
根据计算出来的载流子浓度可以进一步计算激光器中用于转换成光能的激光器驱动电流和激光器中稳态下理论上可计算处的光子数。
将和等式计算出的载流子浓度带入等式中，求出的电流即为根据速率方程从理论上所计算出的激光器发光的驱动电流
（12）
根据计算出的稳态下载流子浓度，从等式可以计算稳态下理论上的光子数
（13）
在通常的VCSEL激光器中，，根据等式得到理论计算出的激光器稳态工作时的光子数
（14）
值得考虑的问题是：
此处如果不做简化，是否可以得到更准确的计算结果？
根据前面介绍知道，激光器输出光功率与光子数成正比，比例因子为，那么根据理论计算出的光子数可以计算出理论上的出光功率
（15）
至此，我们已经计算出了激光器理论的出光功率和理论上的驱动电流的值，
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