不等式1:性质和比大小-答案Word文档下载推荐.docx
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a>b⇔b<a;
(2)传递性:
a>b,b>c⇔a>c;
(3)可加性:
a>b⇔a+c>b+c,a>b,c>d⇒a+c>b+d;
(4)可乘性:
a>b,c>0⇒ac>bc;
a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;
(5)可乘方:
a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2);
(6)可开方:
a>b>0⇒>(n∈N,n≥2).
基本方法:
1.作差法:
作差法中变形是关键,常进行因式分解或配方.
2.待定系数法:
求代数式的范围时,先用已知的代数式表示目标式,再利用多项式相等的法则求出参数,最后利用不等式的性质求出目标式的范围.
3.常用性质
(1)倒数性质:
①a>b,ab>0⇒<;
②a<0<b⇒<;
③a>b>0,0<c<d⇒>;
④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.
(2)若a>b>0,m>0,则
①真分数的性质:
<;
>(b-m>0);
②假分数的性质:
>;
<(b-m>0).
例1.
已知a,b,c∈R,则“a>b”是“ac2>bc2”的( ).
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 a>b/⇒ac2>bc2,∵当c2=0时,ac2=bc2;
反之,ac2>bc2⇒a>b.
答案 B
例2.
给出下列命题:
①a>b⇒ac2>bc2;
②a>|b|⇒a2>b2;
③a>b⇒a3>b3;
④|a|>b⇒a2>b2.其中正确的命题是( ).
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
解析 当c=0时,ac2=bc2,∴①不正确;
a>|b|≥0,a2>|b|2=b2,∴②正确;
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)·
>0,∴③正确;
取a=2,b=-3,则|a|>b,但a2=4<b2=9,∴④不正确.
不等式性质的运用
1.同向可加性与同向可乘性可推广到两个或两个以上的不等式.
2.同向可加的应用:
由a<f(x,y)<b,c<g(x,y)<d,求F(x,y)的取值范围,可利用待定系数法解决,即设F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y),用恒等变形求得m,n,再利用不等式的性质求得F(x,y)的取值范围.
若-<
α<
β<
,则α-β的取值范围为 () .
【解析】因为-<
,-<
-β<
,
所以-π<
α-β<
π.
又α<
β,则α-β<
0,所以-π<
0.
已知-1<
2x-1<
1,则-1的取值范围是____________.
解析:
-1<
1⇒0<
x<
1⇒>
1⇒-1>
1,填(1,+∞).
例3.
已知函数f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f
(1)≤4.求f(-2)的取值范围.
[审题视点]可利用待定系数法寻找目标式f(-2)与已知式f(-1),f
(1)之间的关系,即用f(-1),f
(1)整体表示f(-2),再利用不等式的性质求f(-2)的范围.
解 f(-1)=a-b,f
(1)=a+b.f(-2)=4a-2b.
设m(a+b)+n(a-b)=4a-2b.
∴∴
∴f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f
(1)+3f(-1).
∵1≤f(-1)≤2,2≤f
(1)≤4,
∴5≤f(-2)≤10.
例4.
若α,β满足试求α+3β的取值范围.
解 设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.
由解得
∵-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,
∴两式相加,得1≤α+3β≤7.
做差、做商、特殊值比较大小
1.对于整式可采用作差法;
对于幂可采用作商法比较;
当不能直接下结论时,采用分类讨论.
2.题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小.
3.
(1)作差比较法的依据是“a-b>
0⇔a>
b”,步骤为:
①作差;
②变形;
③定号;
④下结论;
常采用配方,因式分解,有理化等方法变形;
(2)作商法的依据是“>
1,b>
0⇒a>
①作商;
③判断商与1的大小;
④下结论.
(3)特例法,对于选择、填空题可用特例法选出正确答案.
例1.【做差法】
(2011·
陕西)设0<a<b,则下列不等式中正确的是( ).
A.a<b<< B.a<<<b
C.a<<b< D.<a<<b
若0<x<1,a>0且a≠1,则|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小关系是
( ).
A.|loga(1-x)|>|loga(1+x)|
B.|loga(1-x)|<|loga(1+x)|
C.不确定,由a的值决定
D.不确定,由x的值决定