一题多解激活解题思维Word文档格式.doc
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例题:
在等差数列{}中,若,则为()
A.m-nB.0C.D.
说明:
这是一道十分常见的数列求值题,阅读完题设,自然会联想、对比,根据题设,选择公式,通过拓展,建立与知识间的联系,实现解题与发展能力的双丰收。
思考1:
直接利用等差数列的通项公式,求出首项和公差d,然后求。
解1:
设等差数列的首项为,公差为d,根据等差数列的通项公式得:
解之得∴=m+n-1-(m+n-1)=0。
故选B。
点评:
这是一种直接的思维方式,思维形式简单、方便,但是解题过程不并一定简单。
思考2:
根据等差数列的通项公式知,当n>
m时,。
即用数列中的特定项来表示数列中的项。
在此基础上进一步变形可得:
,。
解2:
设等差数列的首项为和公差d。
∵∴。
∴。
该解法体现了巧变的思维特征,这种思维不受公式自身的限制,而是在理解公式概念的基础上,将所学的知识进一步升华,体现了思维的灵活性和创造性,这是一种能力的体现,也是高考的能力要求。
思考3:
根据数列的函数性,我们知道等差数列的通项是关于项数n的一次函数,若在直角坐标系描出点(n,),则点(n,)必在一次函数的图象上。
根据这一思想得以下解法。
解3:
∵,若令A(m,n),B(n,m),则点A,B关于直线y=x对称。
而直线AB的方程为y-m=-(x-n),即y=-x+(m+n),∴当x=m+n时,y=0。
这里展示的是一种纵向思维方式,体现了数形结合的思想,它告诉我们不仅要学会解题,更重要的是学会应用相关的知识进行解题,学会建立不同知识间的联系,学会创新思维,只有这样,才能发展自己的能力。
思考4:
进一步地继续审题,不难发现这里m和n是任意的正整数,不管它们的取值如何,只要满足,的值是不发生变化的;
再进一步想,不论{}是怎样的数列(等差),只要满足题设条件,其最终结果都是相同的。
既然如此何必舍近求远呢?
这里不妨取特殊的等差数列2,1,0,┄┄。
显然=0。
这里使用了一种走捷径的解题办法,也是解选择题的一种行之有效的方法。
体现了思维的灵活性。
总之,不管问题多么复杂,条件如何变化,只要我们理解题意,把握内涵,掌握知识间的联系,科学地使用所学的知识,任何问题都难不倒我们。