三角函数复习Word格式.doc

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【知识要点】

一、三角比

1、角的定义：

（1）终边相同的角：

①与表示终边相同的角度；

②终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；

③与表示终边共线的角（同向或反向）

（2）特殊位置的角的集合的表示：

位置

角的集合

在轴正半轴上

在轴负半轴上

在轴上

在坐标轴上

在第一象限内

在第二象限内

在第三象限内

在第四象限内

（3）弧度制与角度制互化：

①；

②；

③

（4）扇形有关公式：

②弧长公式：

；

③扇形面积公式：

（想象三角形面积公式）

（5）集合中常见角的合并：

（6）三角比公式及其在各象限的正负情况：

以角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴建立直角坐标系，在的终边上任取一个异

于原点的点，点到原点的距离记为，则：

注意：

对于任意，有．

（7）特殊角的三角比：

角度制

弧度制

1

无

除上述角度外，还有以下12个值应当注意，即：

/

（8）一些重要的结论：

（注意，如果没有特别指明，的取值范围是）

①角和角的终边：

角和角的终边

关于轴对称

关于原点对称

②的终边与的终边的关系：

的终边在第一象限；

的终边在第二象限；

的终边在第三象限；

的终边在第四象限

③与的大小关系：

的终边在直线右边（）；

的终边在直线左边（）；

的终边在直线上（）

④与的大小关系：

的终边在或；

，的终边在

2、三角比公式：

（1）诱导公式：

（诱导公式口诀：

奇变偶不变，符号看象限）

第一组诱导公式：

第二组诱导公式：

第三组诱导公式：

（周期性）（奇偶性）（中心对称性）

第四组诱导公式：

第五组诱导公式：

第六组诱导公式：

（轴对称）（互余性）

（2）同角三角比的关系：

倒数关系：

商数关系：

平方关系：

（3）两角和差的正弦公式：

两角和差的余弦公式：

两角和差的正切公式：

两角和差的正切公式的变形：

（4）二倍角的正弦公式：

二倍角的余弦公式：

二倍角的正切公式：

特殊三角公式：

降次公式：

常见公式变形：

万能置换公式：

；

半角公式：

常见角的变换：

；

．

（5）三倍角的正弦公式：

三倍角的余弦公式：

三倍角的正切公式：

（6）辅助角公式：

①版本一：

，其中．

②版本二：

3、正余弦函数的五点法作图：

以为例，令依次为，求出对应的与值，描点作图．

4、正弦定理和余弦定理：

（1）正弦定理：

为外接圆半径；

其中常见的结论有：

①，，；

②，，；

③；

④；

（2）余弦定理：

版本一：

版本二：

（3）任意三角形射影定理（第一余弦定理）：

5、与三角形有关的三角比：

（1）三角形的面积：

②；

③，为的周长，为内切圆半径．

（2）在中，

②若是锐角三角形，则；

⑤；

⑥；

；

⑦；

．

其中，第一组可以利用琴生不等式来证明；

第二组可以结合第一组及基本不等式证明．

（3）在中，角、、成等差数列．

（4）在中，角、、成等差数列，、、成等比数列是等边三角形．

（5）的内切圆半径为．

（6）的外接圆半径为．

6、仰角、俯角、方位角：

7、和差化积与积化和差公式（理科）：

（1）积化和差公式：

（2）和差化积公式：

；

．

二、三角函数

1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和性质：

定义域

值域

奇偶性

奇函数

偶函数

周期性

最小正周期

单调性

增；

减．

（）

增（）

最值

当时，；

图像

例1、求函数的周期、单调区间和最值．（当的系数为负数时，单调性相反）

解析：

周期，由函数的递增区间，可得

，即，

于是，函数的递增区间为．

同理可得函数递减区间为．

当，即时，函数取最大值5；

当，即时，函数取最大值．

例2、求函数的单调区间和最值．

解析：

由，可得，

然后画出的终边图，然后就可以得出：

当，即时，函数单调递增；

当，即时，函数单调递减．

同时，当，即时，函数取最大值12；

当，即时，函数取最小值.

注意：

当的系数为负数时，单调性的分析正好相反．

2、函数&

&

，其中：

（1）复合三角函数的基本性质：

其中

振幅

基准线

频率

相位

初相

（2）几个三角函数叠加后的函数的周期问题：

①几个正弦函数、余弦函数代数和的最小正周期，等于每个函数的最小正周期的分子的最小公倍数除以分母的最大公约数．②若是有理数，则函数最小正周期为两个函数与

的最小正周期的最小公倍数．③若，则函数的最小正周期为:

（3）函数与函数的图像的关系如下：

①相位变换：

当时，；

②周期变换：

③振幅变换：

④最值变换：

①函数和函数的变换情况同上；

②先左右平移，后左右伸缩；

先上下伸缩，后上下平移．

3、三角函数的值域：

（1）型：

设，化为一次函数在闭区间上求最值．

（2），型：

引入辅助角，化为．

（3）型：

设，化为二次函数求解．

（4）型：

设，则，化为二次函数在闭区间上求最值．

（5）型：

设，化为，用“Nike函数”或“差函数”求解．

（6）型：

方法一：

常数分离、分层求解；

方法二：

利用有界性，化为求解．

（7）型：

化为，合并，利用有界性，

求解．

（8），（不全为0）型：

利用降次公式，可得

，然后利用辅助角公式即可．

4、三角函数的对称性：

对称中心

对称轴方程

，

备注：

①和的对称中心在其函数图像上；

②和的对称中心不一定在其函数图像上．（有可能在渐近线上）

例3、求函数的对称轴方程和对称中心．

由函数的对称轴方程，，可得，，

解得，，

所以，函数的对称轴方程为，，

由函数的中心对称点，，可得，，

所以，函数的对称中心为，.

非奇非偶函数

在上是增函数

在上是减函数

点

5、反正弦、反余弦、反正切函数的图像和性质：

重要结论：

（1）先反三角函数后三角函数：

②．

（2）先三角函数后反三角函数：

③．

（3）反三角函数对称中心特征方程式：

③.

6、解三角方程公式：

【分节练习】

【真题链接】

【章节测试】

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