第八章弯曲切应力Word下载.docx
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（d）
考虑到有
（8-1）
式中是处平行于中性轴以外面积对中性轴的静矩。
面上距中性轴位置处的最大切应力发生在切于截面边界线处。
设其切线与对称轴的夹角为，如图8-1e所示，则
（8-2）
最大弯曲切应力发生在横截面的中性轴处，该处的正应力为零。
因此，最大切应力作用点处于纯剪切应力状态，所以弯曲切应力强度条件为
（8-3）
对于等截面直梁，上式变成
（8-4）
对于短梁，支座附近有较大集中力作用的梁或者某些薄壁结构组合梁，则不仅要考虑弯曲正应力强度条件，还应同时考虑弯曲切应力强度条件。
必须指出，对于工字形、槽形、箱形和T形等由端部翼缘和中间腹板组合面成的薄壁截面梁，在翼缘与腹板的交界处，正应力和切应力值均较大，这种在正应力和切应力联合作用下的强度计算问题将在第八章中讨论。
1．矩形截面
（8-5）
2．圆形截面
（8-6）
3．薄壁圆环形截面
（8-7）
8.2开口薄壁杆的弯曲切应力与弯曲中心
从前面的讨论可以知道，对于截面有对称轴的杆件，当横向载荷作用在对称平面时，才会使杆件发生平面弯曲。
对于横截面无对称轴的杆件，也同样存在在何处作用横向力使杆件发生平面弯曲的问题。
以图8-2所示的槽钢悬臂梁为例，由试验证实，当外力沿方向通过形心作用时，梁将同时产生弯曲与扭转变形。
只有外力通过某一点时，梁才只发生弯曲变形，点称为截面的弯曲中心。
由此可见，在横向力作用下的梁仅发生平面弯曲的条件是外力平行于形心主惯性轴，且通过弯曲中心。
图8-2开口薄壁杆的弯曲中心
开口薄壁杆的抗扭刚度较小，其抗扭转能力弱，较小的扭矩就会产生较大的扭转切应力，同时还将因约束扭转引起附加正应力和切应力。
实体杆件和闭合薄壁杆件的抗扭刚度较大，且弯曲中心通常在截面形心附近，所以当横向力通过形心时所产生的扭矩不大，扭转变形可以忽略。
因此本节主要讨论开口薄壁杆的弯曲切应力和弯曲中心问题。
首先讨论开口薄壁杆弯曲切应力的计算。
图8-3a是在横向力作用下的开口薄壁杆。
力通过截面的弯曲中心，杆件只发生弯曲而无扭转，即截面上只有弯曲正应力和弯曲切应力，而无扭转切应力。
根据切应力互等定理，考虑截面为薄壁的特点，弯曲切应力与截面周边相切且沿壁厚均匀分布。
设、轴为截面的形心主惯性轴，力平行于轴，轴为中性轴。
从杆中截出长的一微块，如图8-3a、b所示。
侧面和上的面积为，其上弯曲正应力的轴向合力由下两式分别计算
图8-3开口薄壁杆的横截面上的切应力
式中是侧面对轴的静矩。
纵向面上的合内力是，把以上诸力代入方向的力平衡方程有
经整理后得出
式中是横截面上的平行于轴的剪力。
是纵向面上的切应力，由切应力互等定理知，它也就是横截面上点的切应力
（8-8）
的指向如图8-3b所示，据此可绘出横截面上切应力的分布。
下面讨论确定弯曲中心的基本方法。
横截面上微内力的合力为。
为确定作用线的位置，可选取截面内任一点为力矩中心（图8-3c）。
根据合力矩定理有
（8-9）
式中是对点的力臂。
是微内力对点的力臂，从上式中可解出，就确定了的作用线位置。
同理，利用合力矩定理，可得到作用线位置的方程
（8-10）
式中是对点的力臂，是在横截面上产生的切应力。
由上式解出就确定作用线位置。
因为、都通过弯曲中心，两者的交点就是弯曲中心。
表8-1给出了工程中常用一些截面的弯曲中心位置。
表8-1几种截面的弯曲中心位置
截
面
形
状
弯曲
中心
位置
两狭长矩形中线的交点
与形心重合
8.3等强度梁
抗弯截面模量与外力产生的弯矩成正比的梁称为弯曲等强度梁。
这样的梁按下式计算
（8-11）
一、宽度不变而高度变化的梁
弯曲等强度梁任意截面上的最大正应力均等于许用应力，例如，图8-4所示宽度不变而高度变化的悬臂梁为一等强度梁，其中可由公式（8-11）求出。
因此，由
（8-12）
解得
（8-13）
可见，梁的高度按照抛物线规律变化，其最大值在固定端，为
（8-14）
按照（8-12）式，在加力点，。
这时，应按剪切强度条件确定该处的截面高度，即
（8-15）
因此解得
（8-16）
抛物线外形的梁，从节约材料的角度看总是有利的，由于制造工艺复杂，除精密机械采用外，实际上很少应用。
图8-4
二、高度不变而宽度变化的梁
在工程上经常采用一种等高度而变宽度的弯曲等强度梁（图8-5）
图8-5
梁宽的变化规律，由（8-11）式求得。
这时，
（8-17）
由此得到线性关系：
（8-18）
当时有，
（8-19）
上述理论用近似地计算汽车以及其他车辆上经常使用的叠板弹簧；
也具有足够的精确度。
在厂房建筑广泛使用的“鱼腹梁”，实际上就是宽度不变而高度变化的等强度梁。
三、圆截面等强度梁
在悬臂梁端作用集中载荷的等强度梁。
（8-20）
（8-21）
梁截面直径沿轴线的变化规律为三次抛物线，考虑到加工的方便及结构上的要求，常用阶梯形状的变截面梁来代替理论上的等强度梁。
8.4例题编程
例8.1由木板胶合而成的梁如图8.1a所示。
试求胶合面上沿轴单位长度内的剪力。
图8-6
已知：
，，。
求：
。
解：
●建模
梁受内力：
、。
从梁中取出长为的微段,其两端截面上的弯矩分别为和。
再从微段中取出平放的木板如图8.1所示。
若胶合面上沿轴单位长度内的剪力为,则平放木板的前、后两个侧面上的剪力总共为。
建立平衡方程。
解方程求出胶合面上沿轴单位长度内的剪力。
●Maple程序
>
restart:
#清零。
F[N1]:
=M/Iz*S[z]:
#左侧面上的内力系合力。
F[N2]:
=（M+dM）/Iz*S[z]:
#右侧面上的内力系合力。
eq1:
=F[N2]-F[N1]-2*q[tau]*dx=0:
#的微段。
solve（{eq1},{q[tau]}）;
#解方程。
q[tau]:
=1/2*S[z]*dM/Iz/dx:
#胶合面上沿轴单位长度内的剪力。
=subs（dM=F[s]*dx,q[tau]）;
#代换。
答：
胶合面上沿轴单位长度内的剪力。
例8.2简支梁如图8－2所示。
，。
梁上的载荷为，材料的许用应力为，。
试选择适用的工字钢型号。
图8.7
，，，，。
梁受力：
、、、、。
计算支座约束力。
建立剪力方程。
建立弯矩方程。
找出最大剪力。
找出最大弯矩。
计算最大弯曲切应力。
计算最大弯曲正应力。
根据强度条件建立不等式。
解不等式求出抗弯截面系数。
根据抗弯截面系数选择满足正应力的工字钢型号。
然后再校核切应力条件若不满足再选择更大的截面。
alias（[sigma]=sigma[xy]）:
#变量命名。
=FA[x]=0:
#梁，。
eq2:
=FB*L-F*a-F*（L-a）-q*L*L/2=0:
eq3:
=FA[y]+FB-2*F-q*L=0:
solve（{eq1,eq2,eq3},{FA[x],FA[y],FB}）:
#解方程组。
FA[x]:
=0:
FA[y]:
=F+1/2*q*L:
FB:
#支座约束力。
Fs:
=x->
piecewise（x<
a,FA[y]-q*x,
x<
L-a,FA[y]-q*x-F,
L,FA[y]-q*x-F-F）:
#剪力方程。
=normal（Fs（x））:
#有理式的标准化。
Fs1:
=F+1/2*q*L-q*x:
#第一段剪力方程。
Fs2:
=1/2*q*L-q*x:
#第二段剪力方程。
Fs3:
=-F+1/2*q*L-q*x:
#第三段剪力方程。
Fsmax:
=subs（x=0,Fs1）:
#最大剪力。
M:
a,FA[y]*x-1/2*q*x^2,
L-a,FA[y]*x-1/2*q*x^2-F*（x-a）,
L,FA[y]*x-1/2*q*x^2-F*（x-a）-F*（x-L+a））:
#弯矩方程。
=normal（M（x））:
M1:
=x*F+1/2*x*q*L-1/2*q*x^2:
#第一段弯矩方程。
M2:
=1/2*x*q*L-1/2*q*x^2+F*a:
#第二段弯矩方程。
M3:
=-x*F+1/2*x*q*L-1/2*q*x^2+F*L:
#第三段弯矩方程。
Mmax:
=subs（x=L/2,M2）:
#最大弯矩。
tau[max]:
=（Fsmax*Sz）/（Iz*b）:
#最大切应力。
=normal（tau[max]）:
sigma[max]:
=Mmax/Wz:
#最大正应力。
=normal（sigma[max]）:
ineq4:
=sigma[max]<
=sigma[xy];
#强度条件
L:
=2:
a:
=0.2:
F:
=200*10^3:
q:
=10*10^3:
#已知条件。
sigma[xy]:
=160*10^6:
#已知条件。
plot（Fs,x=0..L）;
#绘剪力图。
plot（M,x=0..L）;
#绘弯矩图。
solve（{ineq4},{Wz}）;
#解不等式求出最小抗弯截面系数。
tau1[max]:
=subs（Iz=0.189*Sz,b=0.0075,tau[max]）;
#选№22a工字钢。
tau2[max]:
=subs（Iz=0.187*Sz,b=0.0095,tau[max]）;
#选№22b工字钢。
tau3[max]:
=subs（Iz=0.216*Sz,b=0.008,
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