上海交通大学计算方法课件宋宝瑞CH7Word格式文档下载.docx

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等距节点求积公式

将区间[]等分，分点为，,

设利用插值公式

以代得

其中

注意与无关，具有一般性，称为系数

——公式。

特别的：

梯形公式：

（抛物形）公式：

公式：

由于对

是的计算值，用计算机算得，可以认为从而公式的理论值和实际计算值之差：

若，则有，方法是稳定的。

如果假设不成立，则函数值的计算误差可能积累，方法不稳定。

因为这个原因公式只能用于<

的场合。

一般求积公式：

（机械求积公式）

（）

系数不依赖于被积函数.

若（）式对精确成立，对不能精确成立，称公式（）有次代数精确度。

（一般认为越高越好）

由多项式插值理论知阶公式的代数精确度至少是次的，可证当时，其代数精确度至少为次。

如果（）式中的，为插值基，则称（）为插值型的。

定理：

（）至少有次代数精度（）是插值型的。

例：

公式的代数精度为次。

因为已知公式的代数精度至少为次，而

梯形公式的误差

设：

误差

公式的误差

三次代数精度，构造，

使

由于公式有次代数精确度，所以

插值余项（用差商表示）

复化公式及误差分析

由上述误差表达式可知，区间越小，绝对误差越小，复化梯形公式：

将积分区间等分，节点是

与的关系

记

记

复化公式

与

易验证：

又：

消去得

复化公式误差分析

：

若则，使（平均值）

类似的，

实际上，当可积，是一个和数。

当时，均收敛于。

稳定性，如果计算有误差，记

引起的误差小于稳定的。

当的光滑性达不到阶时，不一定成立，但是我们有：

所以只要可积，就有

复化梯形公式余项的精确化

公式

，

积分法

令则可以把写成，写成….当被积函数确定时，公式可写成：

其中为一些常数。

在中，以代，得：

，是比更好的近似，对比前面我们得到的与的关系，可知实际上就是。

类似地，我们可进一步写出：

更好，还可做

如此我们得到积分法程序：

1.取整数

2.（等分区间）

3.（平分区间）

4.

5.

6.停止

输出。

否则转（）

排成一个表

注意，积分中的加速收敛是以余项（）为基础的，若（）不成立，则不能用。

例如：

，因在不存在，不可以用积分加速

但

————————————————————————

（）

外推法

函数（未知量）。

越小，算代价越大。

如果已知

其中为常数，

则可令

具有最高代数精确度的积分

公式是在等距节点上的插值型积分

一般的任意节点上的插值型积分

如果其中基，则（）至少有次代数精确度，若有<

，不稳定。

是否能适当选，使（）的代数精确度尽可能高，且对稳定？

设是在[]上关于权的正交多项式序列

（）式有次代数精确度

证明：

由于（）至少有次代数精确度，可得.

同时我们指出，（）不可能有次代数精度，实际上只需设此时（）式左边，右边.矛盾。

以正交多项式零点为节点的插值型求积公式是具有最高代数精确度的公式，称为积分公式。

定理求积公式的系数

令

优点，用较少的点得到较高精度，稳定

缺点，要用事先造好的正交多项式点表，低阶信息高阶不能用。

特别适用于多重积分。