直线与平面平面与平面垂直的性质Word格式.docx

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思考　

（1）如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？

（2）如果α⊥β，过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α吗？

答　

（1）正确.若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.

（2）错误.垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直.

题型一　直线与平面垂直的性质及应用

例1　如图，正方体A1B1C1D1-ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.

求证：

EF∥BD1.

证明　如图所示，

连接AB1、B1D1、B1C、BD，

∵DD1⊥平面ABCD，

AC⊂平面ABCD，

∴DD1⊥AC.

又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，

∴AC⊥平面BDD1B1，

又BD1⊂平面BDD1B1，

∴AC⊥BD1.

同理可证BD1⊥B1C，

又AC∩B1C＝C，

∴BD1⊥平面AB1C.

∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.

又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，

∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.

跟踪训练1　已知α∩β＝AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R.

QR⊥AB.

证明　如图，因为α∩β＝AB，

PO⊥β于点O，所以PO⊥AB.

因为PQ⊥α于点Q，所以PQ⊥AB.

因为PO∩PQ＝P，

所以AB⊥平面PQO.

因为OR⊥α于点R，所以PQ∥OR.

因为PQ与OR确定平面PQRO，

QR⊂平面PQRO，AB⊥平面PQRO，

所以AB⊥QR.

题型二　平面与平面垂直的性质及应用

例2　如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点.

（1）求证：

VB∥平面MOC；

（2）求证：

平面MOC⊥平面VAB；

（3）求三棱锥V－ABC的体积.

（1）证明　∵O，M分别为AB，VA的中点，

∴OM∥VB.

∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，

∴VB∥平面MOC.

（2）证明　∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.

又∵平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB.

∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.

（3）解　在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝，

∴AB＝2，OC＝1，

∴S△VAB＝AB2＝.

∵OC⊥平面VAB，

∴VC－VAB＝OC·

S△VAB＝×

1×

＝，

∴VV－ABC＝VC－VAB＝.

跟踪训练2　如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，过点A作AF⊥SB，垂足为F.求证：

BC⊥SA.

证明　因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，

AF⊂平面SAB，AF⊥SB，

所以AF⊥平面SBC.

又因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.

因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，

所以BC⊥平面SAB.

又因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.

题型三　线线、线面、面面垂直的综合应用

例3　如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.

（1）证明：

BE⊥平面BB1C1C；

（2）求点B1到平面EA1C1的距离.

（1）证明　过B作CD的垂线交CD于F，

则BF＝AD＝，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.

在Rt△BFE中，BE＝.

在Rt△CFB中，BC＝.

在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.

由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1，

又BB1∩BC＝B，所以BE⊥平面BB1C1C.

（2）解　三棱锥E－A1B1C1的体积

V＝AA1·

＝.

在Rt△A1D1C1中，A1C1＝＝3.

同理，EC1＝＝3，

A1E＝＝2.

故＝3.

设点B1到平面A1C1E的距离为d，

则三棱锥B1－A1C1E的体积

V＝·

d·

＝d，

从而d＝，d＝.

即点B1到平面EA1C1的距离为.

跟踪训练3　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB＝60°

，侧面PAD为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

AD⊥PB；

（2）若E为BC边上的中点，能否在PC棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？

并证明你的结论.

（1）证明　设G为AD的中点，连接PG，BG，如图.

因为△PAD为等边三角形，

所以PG⊥AD.

在菱形ABCD中，∠DAB＝60°

，

G为AD的中点，所以BG⊥AD.

又因为BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.

因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.

（2）解　当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.

如图，设F为PC的中点，则在△PBC中，EF∥PB.

在菱形ABCD中，GB∥DE，

而EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，

所以平面DEF∥平面PGB.

由

（1），得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，

所以平面PGB⊥平面ABCD.

所以平面DEF⊥平面ABCD.

条件开放型

例4　如图，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有A1C⊥B1D1？

（注：

写出一个你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形）

分析　→→

解　因为BD∥B1D1，所以要使A1C⊥B1D1，需A1C⊥BD.

又因为A1A⊥平面ABCD，A1A⊥BD，A1A∩A1C＝A1，

所以BD⊥平面A1AC.

因为AC⊂平面A1AC，所以AC⊥BD.

由以上分析，知要使A1C⊥B1D1，需使AC⊥BD或任何能推导出AC⊥BD的条件，如四边形ABCD是正方形、菱形等.

1.在空间中，下列命题正确的是（　　）

A.垂直于同一条直线的两直线平行B.平行于同一条直线的两个平面平行

C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行

2.关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：

①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；

②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；

③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；

④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.

其中真命题的序号是（　　）

A.①②B.③④C.①④D.②③

3.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（　　）

A.α∥γB.α⊥γ

C.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能

4.已知a、b为直线，α、β为平面.在下列四个命题中，正确的命题是________.

①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；

②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；

④若α∥b，β∥b，则α∥β.

5.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°

，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.

一、选择题

1.在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是（　　）

A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1

C.相交但不垂直D.相交且垂直

2.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则（　　）

A.PD⊂平面ABCB.PD⊥平面ABC

C.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC

3.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°

，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的投影H必在（　　）

A.直线AB上B.直线BC上

C.直线AC上D.△ABC内部

4.如图，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：

①SG⊥平面EFG；

②SE⊥平面EFG；

③GF⊥SE；

④EF⊥平面SEG.其中成立的有（　　）

A.①与②B.①与③C.②与③D.③与④

5.PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系不正确的是（　　）

A.PA⊥BCB.BC⊥平面PAC

C.AC⊥PBD.PC⊥BC

6.三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，O是顶点P在底面ABC上的射影，则（　　）

A.S△ABC＝S△PBC＋S△OBCB.S＝S△OBC·

S△ABC

C.2S△PBC＝S△OBC＋S△ABCD.2S△OBC＝S△PBC＋S△ABC

7.如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是（　　）

A.A′C⊥BDB.∠BA′C＝90°

C.CA′与平面A′BD所成的角为30°

D.四面体A′－BCD的体积为

二、填空题

8.设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：

①l⊥α；

②l∥β；

③α⊥β.若以其中两个作为前提条件，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中，正确命题的个数为_______.

9.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为________.

10.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为________.

11.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________.

三、解答题

12.如图所示，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点.

AP∥平面BEF；

BE⊥平面PAC.

13.在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.

（1）若AC⊥BC，证明：

直线BC⊥平面ACC1A1；

（2）设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？

请证明你的结论.

当堂检测答案

1.答案　D

解析　A项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；

B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；

C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；

D项正确.

2.答案　D