三角形全等之截长补短讲义及答案docx.docx
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三角形全等之截长补短（讲义）
>课前预习
1.尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
（1）已知线段d,b（Q>b）,作一条线段，使它等于G+b.
Iai
b
（2）已知线段a,b5>b）,作一条线段，使它等于a-b・
I°I
h.
2.想一想，证一证
已知：
如图，射线BM平分ZABC,点P为射线上一点，PD丄BC于点DBD二AB+CD,过点P作PE丄BA于点E.
求证：
Afi4E^APCD・
>知识点睛
截长补短：
题目中出现时，考虑截长补短；截长补短的作
用是
＞精讲精练
1.已知：
如图，在AABC中，Z1=Z2,ZB=2ZC.求证：
AC=AB+BD.
2.如图，在四边形ABCD屮，ZA=ZB=90°，点E为AB边上一点,且DE平分ZADC,CE平分乙BCD・
求证：
CD=AD+BC・
3.已知：
如图，在正方形ABCD中，AD=AB,ZB=ZD=ZBAD=90°fE,F分别为CD,BC边上的点，且ZEAF=45。
，连接EF・
求证：
EF=BF+DE.
4.已知：
如图，在△ABC屮，ZABC=60°,△ABC的角平分线ADfCE交于点
0・
求证：
AC=AE+CD.
C
5.已知：
如图，在AABC中，ZA=90°,AB=AC,平分ZABC,CE丄BD交BD的延长线于点E.
求证：
CE=-BD.
A
【参考答案】
＞课前预习
1.略
2.证明：
如图
•:
BM平分ZABC,PD丄BC,PEA.BA
:
.PE=PD,ZPEB=ZPDB=ZPDC=90°在RtAPBE和RtAPBD中，
[PE=PD
\PB=PB
・".RtAPBE^RtAPBO（HL）
:
.BE=BD
・・•BE二AB+AE
BD二AB+CD
:
.AE=CD
在和△PCD中
AE=CD
＜ZPEA=ZPDC
PE=PD
:
.'PAEQ'PCD（SAS）
＞知识点睛
线段间的和差倍分；
把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系.
＞精讲精练
1.补短法：
证明：
如图，延长AB到E,使BE=BD,连接DE・
AZE=Z3
TZABC是的一个外角
•••ZABC=ZE+Z3
:
.ZABC=2ZE
TZABC=2ZC
A
1
B/
//
:
.ZE=ZC
在△人。
£和厶ADC屮
ZE=ZC
Z1=Z2
AD=AD
:
./\ADE^/\ADC（AAS）
:
.AE=AC
:
.AC=AB+BE
=AB+BD
截长法：
证明：
如图，在AC上截取AF=AB,连接DF・在△ABD和中人
严肚12
AD=AD
:
.HABD9HAFD（SAS）BD
:
.ZB=ZAFD,BD=FD
ZB=2ZC
:
.ZAFD=2ZC
・・・ZAFD是ADFC的一个外角
・•・ZAFD=ZC+ZFDC
:
.ZFDC=ZC
・•・DF=FC
:
.BD=FC
:
.AC=AF+FC
=AB+BD
2.
证明：
如图，在DC上截取DF=DA,连接EF・
C
TDE平分ZADC,CE平分上BCD
AZ1=Z2,Z3=Z4
在和中
AD=FD
DE=DE:
.（SAS）
・•・ZA=ZDFE
JZA=ZB=90°
・・・ZDFE=ZCFE=ZB=90°在△CFE和ACBE中
ZCFE=ZB
CE=CE/.ACEF^ACBE（AAS）
・・・CF=CB
:
.CD=DF+FC
=AD+BC
3.证明：
如图，延长FB到G,使BG=DE,连接AG・
・・・ZABC=ZD=90°
:
.ZABG=ZD=90°
在△ABG和中
AB=AD
BG=DE」
:
.△ABG竺/\ADE（SAS）G
AZ3=Z2,AG=AE
IZBAD=Z\+Z2+ZEAF
=90°
ZEAF=45。
AZ1+Z2=45°
AZ1+Z3=45°
即：
ZGAF=ZEAF=45°
在和AGAF中
AE=AG
AF=AF
AAEAF^AGAF（SAS）
・•・EF=GF
:
.EF=B®BF二BF+DE
4.证明：
如图，在AC上截取AF二AE,连接OF.
TADCE分别是的角平分线
B
AZ1=Z2,Z3=Z4在△AEO和△AFO中
AE=AF
AO=AO
:
.（SAS）
AZ5=Z6
在中，ZB二60。
•••Z1+Z2+Z3+Z4二120。
AZ2+Z3=60°
VZ5是厶AOC的一个外角
AZ5=Z2+Z3=60°
AZ8=Z5=60°
Z6=Z5=60°
Z7=180°-Z5-Z6=60°
Z.Z7=Z8
在ACFO和△CDO屮
Z3=Z4
Z7=Z8
/.ACFO^ACPO（ASA）
・•・CD=CF
:
.AC=AF+CF
=AE+CD
5.证明：
如图，延长CE交84的延长线于F.
•・・CE_LBD
AZBEC=ZBEF=90°
•・・3D平分ZABCZ
•SC尹
VZBAC=90°,ZBEC=90。
・・・Z1+Z4二90。
，Z3+Z5二90。
•・•Z4二Z5
・・・Z1=Z3
・・•ZBAC=90°
:
.ZBAD=ZCAF=90°
在△BAD和△C4F中
Z1=Z3
ABAD=ZCAF
•••△BAD竺△CAF（ASA）
:
.BD=CF
VCE=-CF
2
，.+
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