1、三角形全等之截长补短讲义及答案docx三角形全等之截长补短(讲义)课前预习1.尺规作图(不写作法,保留作图痕迹):(1)已知线段d, b(Qb),作一条线段,使它等于G+b.I a ib(2)已知线段a, b 5b),作一条线段,使它等于a-bI Ih .2.想一想,证一证已知:如图,射线BM平分Z ABC,点P为射线上一点, PD丄BC于点D BD二AB+CD,过点P作PE丄BA于点E.求证:Afi4EAPCD知识点睛截长补短:题目中出现 时,考虑截长补短;截长补短的作用是 精讲精练1. 已知:如图,在AABC 中,Z1 = Z2, ZB=2ZC. 求证:AC=AB+BD.2.如图,在四边形
2、ABCD屮,ZA=ZB=90,点E为AB边上一点,且DE平 分ZADC, CE平分乙BCD求证:CD=AD+BC3.已知:如图,在正方形ABCD中,AD=AB, ZB=ZD=ZBAD=90f E, F分别 为CD, BC边上的点,且ZEAF=45。,连接EF求证:EF=BF+DE.4.已知:如图,在ABC屮,ZABC=60, ABC的角平分线ADf CE交于点0求证:AC=AE+CD.C5.已知:如图,在AABC 中,ZA=90, AB=AC, 平分ZABC, CE丄BD 交 BD的延长线于点E.求证:CE=-BD.A【参考答案】课前预习1.略2.证明:如图: BM 平分 ZABC, PD丄B
3、C, PEA.BA:.PE=PD, Z PEB= Z PDB= Z PDC=90 在 RtAPBE 和 RtAPBD 中,PE = PDPB = PB.RtAPBERtAPBO (HL):.BE=BD BE二AB+AEBD 二 AB+CD:.AE=CD在和PCD中AE = CD ZPEA = ZPDCPE = PD:.PAEQPCD (SAS)知识点睛线段间的和差倍分;把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系.精讲精练1.补短法:证明:如图,延长AB到E,使BE=BD,连接DEAZE=Z3T ZABC是的一个外角 ZABC=ZE+Z3:.ZABC=2ZET ZABC=2ZCA1B/ /:.
4、ZE=ZC在人。和厶ADC屮ZE = ZCZ1 = Z2AD = AD:./ADE/ADC (AAS):.AE=AC:.AC=AB+BE=AB+BD截长法:证明:如图,在AC上截取AF=AB,连接DF 在ABD和中 人严肚 1 2 Z1 = Z2AD = AD:.HABD9HAFD (SAS) B D:.ZB=ZAFD, BD=FDZB=2ZC:.ZAFD=2ZCZAFD是ADFC的一个外角 ZAFD=ZC + ZFDC:.ZFDC=ZCDF=FC:.BD=FC:.AC=AF+FC=AB+BD2.证明:如图,在DC上截取DF=DA,连接EFCTDE平分ZADC, CE平分上BCDAZ1 = Z
5、2, Z3=Z4在和中AD = FD Z1 = Z2DE = DE :.(SAS) ZA=ZDFEJ ZA=ZB=90 Z DFE= Z CFE= Z B=90 在CFE和ACBE中ZCFE = ZB Z3 = Z4CE = CE /. ACEFACBE (AAS)CF=CB:.CD=DF+FC=AD+BC3.证明:如图,延长FB到G,使BG=DE,连接AG ZABC=ZD=90:.ZABG=ZD=90在ABG 和中AB = ADZABG = ZDBG = DE :.ABG竺 /ADE (SAS ) GAZ3=Z2, AG=AEI ZBAD=Z + Z2+ZEAF=90ZEAF=45。AZ1
6、+ Z2=45AZ1 + Z3=45即:ZGAF=ZEAF=45在和AGAF中AE = AGZEAF = ZGAFAF = AFA AEAFAGAF (SAS)EF=GF:.EF=BBF二BF+DE4.证明:如图,在AC上截取AF二AE,连接OF.TAD CE分别是的角平分线BAZ1=Z2, Z3=Z4 在AEO和AFO中AE = AFZ1 = Z2AO = AO:.(SAS)AZ5=Z6在中,ZB二60。 Z1 + Z2+Z3+Z4二 120。 A Z 2+Z 3=60VZ5是厶AOC的一个外角AZ5=Z2+Z3=60AZ8=Z5=60Z6=Z5=60Z7=180-Z5-Z6=60Z.Z7=Z8在ACFO和CDO屮Z3 = Z4co = coZ7 = Z8/. ACFOACPO (ASA)CD=CF:.AC=AF+CF=AE+CD5.证明:如图,延长CE交84的延长线于F.CE_LBDA ZBEC=ZBEF=903D平分ZABC ZSC尹V ZBAC=90, ZBEC=90。 Z1 + Z4二90。,Z3+Z5二90。 Z4 二 Z5Z1 = Z3 ZBAC=90:.ZBAD=ZCAF=90在BAD和C4F中Z1 = Z3AB=ACABAD = ZCAFBAD竺CAF (ASA):.BD=CFVCE=-CF2,.+
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