高等数学电子教案Word文档格式.docx
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1．变量可分离的方程
（1）方程形式：
dydydx=p（x）q（y）（q（y）≠0）通解?
p（x）dx+c?
q（y）=
（注：
在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）
（2）方程形式：
m1（x）n1（y）dx+m2（x）n2（y）dy=0
通解?
m1（x）
m2（x）dx+?
n2（y）n1（y）dy=c（m2（x）≠0,n1（y）≠0）
2．变量可分离方程的推广形式
（1）齐次方程
y
x
dy
dxdy?
y?
=f?
dx?
x?
令则=u，=u+xdu
dx=f（u）
?
f（u）-u
dxdu=?
dxx+c=ln|x|+c
（2）=f（ax+by+c）（a≠0,b≠0）
令ax+by+c=u，
则du
dx=a+bf（u）
a+bf（u）=?
dx
dydu=x+c?
a1x+b1y+c1?
=f（3）?
dx?
a2x+b2y+c2?
①当?
=a1
v?
?
a1+b1?
a1u+b1v?
u?
属于齐次方程情形?
=fv?
a2u+b2v?
a+b2?
2u?
b1
b2
b1=0情形，令a2a1=
令u=a1x+b1y，
属于变量可分离方程情形。
三．一阶线性方程及其推广
1．一阶线性齐次方程
dx+p（x）y=0
-?
p（x）dx它也是变量可分离方程，通解公式y=ce
2．一阶线性非齐次方程
dx+p（x）y=q（x），（c为任意常数）
用常数变易法可求出通解公式
令y=c（x）e-?
p（x）dx
代入方程求出c（x）
则得y=e
p（x）dx[?
q（x）e?
p（x）dxdx+c]
3．贝努利方程
把原方程化为dz
再按照一阶线性非齐次方程求解。
4．方程：
dy
dx=1
q（y）-p（y）x
可化为dx
dy+p（y）x=q（y）
以y为自变量，x为未知函数
四．全微分方程及其推广（数学一）
1．全微分方程
p（x,y）dx+q（x,y）dy=0，满足
通解：
u（x,y）=c，
其中u（x,y）满足du（x,y）=p（x,y）dx+q（x,y）dy
求u（x,y）的常用方法。
第一种：
凑全微分法
p（x,y）dx+q（x,y）dy==du（x,y）
把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。
x2+y2?
；
（1）xdx+ydy=d?
2?
x2-y2?
（2）xdx-ydy=d?
q?
x=?
p?
y
（3）ydx+xdy=d（xy）；
（4）ydx+xdy
xy
xdx+ydyx+y22=d（lnxy）；
（5）?
122?
=d?
lnx+y?
（）
（6）xdx-ydy
x-y22?
lnx-y?
（7）xdy-ydx
x2?
=d?
（8）ydx-xdy
y2?
y?
=darctan?
=darctan?
x?
（9）ydx-xdyx+y22（10）xdy-ydxx+y22
（11）ydx-xdy
1x-y?
=dln?
x+y?
2
1x+y?
2x-y?
（12）xdy-ydxx+y22
（13）xdx+ydy
（x
（x2+y2））2?
1?
=d-2?
22x+y?
22x-y?
=darctanx+y?
（14）xdx-ydy2-y22（15）xdx+ydy1+x+y（（22））2（）（16）xdx-ydy
1+x-y222?
=darctanx-y?
第二种：
特殊路径积分法（因为积分与路径无关）
【篇二：
高等数学电子教案8】
第八章空间解析几何与向量代数
教学目的：
2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。
3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
4、掌握平面方程和直线方程及其求法。
5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
6、会求点到直线以及点到平面的距离。
7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。
9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
教学重点：
1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；
2、两个向量垂直和平行的条件；
3、平面方程和直线方程；
4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；
5、点到直线以及点到平面的距离；
6、常用二次曲面的方程及其图形；
7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；
8、空间曲线的参数方程和一般方程。
教学难点：
1、向量积的向量运算及坐标运算，数量积和向量积的运算；
2、平面方程和直线方程及其求法；
3、空间曲线在坐标面上的投影
4、点到直线的距离；
5、二次曲面图形；
6、旋转曲面及柱面的方程。
主要外语词汇：
vector,mold,directioncape,directioncosine,thequantityaccumulate，thevectoraccumulate,curvedfacesquaredistance,revolvecurvedface，pillarnoodles,curves,equations,plane,straightline.
辅助教学情况：
多媒体课件第四版和第五版（修改）
参考教材：
同济大学《高等数学》第五版
81向量及其线性运算
一、教学目的与要求：
1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
2．掌握向量的线性运算、掌握单位向量、方向余弦、两向量的夹角、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。
二、重点（难点）：
向量的运算
三、主要外语词汇：
vector,mold,directioncape,directioncosine.
一、向量概念
向量：
既有大小,又有方向,这一类量叫做向量.
在数学上,用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.
向量的符号:
以a为起点、b为终点的有向线段所表示的向量记作ab.向量可用粗体字母表示,也可用上加箭头书写体字母表示,例如,a、r、v、f或a、r、v、f.
自由向量:
由于一切向量的共性是它们都有大小和方向,所以在数学上我们只研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量,简称向量.因此,如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a=b.相等的向量经过平移后可以完全重合.
向量的模:
向量的大小叫做向量的模.
向量a、a、ab的模分别记为|a|、|a|、|ab|.
单位向量:
模等于1的向量叫做单位向量.
零向量:
模等于0的向量叫做零向量,记作0或0.零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的.
向量的平行:
两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行,记作a//b.零向量认为是与任何向量都平行.
当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上.因此,两向量平行又称两向量共线.
类似还有共面的概念.设有k（k≥3）个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果k个终点和公共起点在一个平面上,就称这k个向量共面.
二、向量的线性运算
1．向量的加法
向量的加法:
设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b.
三角形法则
平行四边形法则:
当向量a与b不平行时,平移向量使a与b的起点重合,以a、b为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b.
cccb
aa→→→→→→→→→→b
b
（1）交换律a+b=b+a;
（2）结合律（a+b）+c=a+（b+c）.
由于向量的加法符合交换律与结合律,故n个向量a1,a2,?
an（n≥3）相加可写成
a1+a2+?
+an,
并按向量相加的三角形法则,可得n个向量相加的法则如下:
使前一向量的终点作为次一向量的起点,相继作向量a1,a2,?
an,再以第一向量的起点为起点,最后一向量的终点为终点作一向量,这个向量即为所求的和.
负向量:
设a为一向量,与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量,记为-a.
2.向量的减法:
我们规定两个向量b与a的差为
b-a=b+（-a）.
即把向量-a加到向量b上,便得b与a的差b-a.
特别地,当b=a时,有
a-a=a+（-a）=0.
a-babab-a
显然,任给向量ab及点o,有
ab=ao+ob=ob-oa,
因此,若把向量a与b移到同一起点o,则从a的终点a向b的终点b所引向量ab便是向量b与a的差b-a.
三角不等式:
由三角形两边之和大于第三边的原理,有
|a+b|≤|a|+|b|及|a-b|≤|a|+|b|,
其中等号在b与a同向或反向时成立.
3．向量与数的乘法
向量与数的乘法的定义:
1a=a,（-1）a=-a.→→→→→→
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