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1、 1变量可分离的方程 （1）方程形式： dydydx=p（x）q（y）（q（y）0） 通解?p（x）dx+c ?q（y）= （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：m1（x）n1（y）dx+m2（x）n2（y）dy=0 通解?m1（x） m2（x）dx+?n2（y）n1（y）dy=c （m2（x）0,n1（y）0） 2变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 y x dy dxdy?y?=f ? dx?x? 令 则=u， =u+xdu dx=f（u） ?f（u）-u dxdu=?dxx+c=ln|x|+c （2）=f（ax+by+c）

2、（a0,b0） 令ax+by+c=u， 则du dx=a+bf（u）a+bf（u）=?dx dydu=x+c ?a1x+b1y+c1? =f （3） ?dx?a2x+b2y+c2? 当?=a1 v? a1+b1?a1u+b1v?u?属于齐次方程情形 ?=f v?a2u+b2v?a+b 2?2u? b1 b2 b1=0情形， 令a2a1= 令u=a1x+b1y， 属于变量可分离方程情形。 三一阶线性方程及其推广 1一阶线性齐次方程 dx+p（x）y=0 -?p（x）dx 它也是变量可分离方程，通解公式y=ce 2一阶线性非齐次方程 dx+p（x）y=q（x） ，（c为任意常数） 用常数变易法可求

3、出通解公式 令y=c（x）e-?p（x）dx 代入方程求出c（x） 则得y=ep（x）dx?q（x）e?p（x）dxdx+c 3贝努利方程 把原方程化为dz 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4方程：dy dx=1 q（y）-p（y）x 可化为dx dy+p（y）x=q（y） 以y为自变量，x为未知函数 四全微分方程及其推广（数学一） 1全微分方程 p（x,y）dx+q（x,y）dy=0，满足 通解：u（x,y）=c， 其中u（x,y）满足du（x,y）=p（x,y）dx+q（x,y）dy 求u（x,y）的常用方法。 第一种：凑全微分法 p（x,y）dx+q（x,y）dy= =du（x,y） 把

4、常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。x2+y2?； （1）xdx+ydy=d ?2?x2-y2? （2）xdx-ydy=d ?q?x=?p?y （3）ydx+xdy=d（xy）；（4）ydx+xdy xy xdx+ydyx+y22=d（lnxy）； （5）?122?=d?lnx+y?（） （6）xdx-ydy x-y22?lnx-y? （7）xdy-ydx x2?=d ? （8）ydx-xdy y2? y?=d arctan ?=d arctan? x? （9）ydx-xdyx+y22 （10）xdy-ydxx+y22 （11）ydx-xdy1x-y?=d ln ? x+y?

5、21x+y? 2x-y? （12）xdy-ydxx+y22 （13）xdx+ydy （x （x2+y2）2?1? =d -2? 22x+y? 22x-y?=d arctanx+y? （14）xdx-ydy2-y22 （15）xdx+ydy1+x+y（22）2（） （16）xdx-ydy 1+x-y222?=d arctanx-y? 第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关）【篇二：高等数学电子教案8】 第八章 空间解析几何与向量代数 教学目的： 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。 3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌

6、握用坐标表达式进行向量运算的方法。 4、掌握平面方程和直线方程及其求法。 5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 6、会求点到直线以及点到平面的距离。 7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。 9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 教学重点： 1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算； 2、两个向量垂直和平行的条件； 3、平面方程和直线方程； 4、平面与平面、平面与直

7、线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件； 5、点到直线以及点到平面的距离； 6、常用二次曲面的方程及其图形； 7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； 8、空间曲线的参数方程和一般方程。 教学难点： 1、向量积的向量运算及坐标运算，数量积和向量积的运算； 2、平面方程和直线方程及其求法； 3、空间曲线在坐标面上的投影 4、点到直线的距离； 5、二次曲面图形； 6、旋转曲面及柱面的方程。 主要外语词汇： vector, mold, direction cape, direction cosine, the quantity accumulate，the vector accumulate,

8、 curved face square distance, revolve curved face，pillar noodles, curves, equations, plane, straight line. 辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改） 参考教材： 同济大学高等数学第五版 8 1 向量及其线性运算 一、教学目的与要求： 1 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2 掌握向量的线性运算、掌握单位向量、方向余弦、两向量的夹角、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 二、重点（难点）：向量的运算 三、主要外语词汇：vector,mold,directio

9、n cape ,direction cosine. 一、向量概念 向量：既有大小, 又有方向, 这一类量叫做向量. 在数学上, 用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的符号: 以a为起点、b为终点的有向线段所表示的向量记作ab. 向量可用粗体字母表示, 也可用上加箭头书写体字母表示, 例如, a、r、v、f或a、r、v、f. 自由向量: 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向, 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量, 并称这种向量为自由向量, 简称向量. 因此, 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a

10、和b是相等的, 记为a = b. 相等的向量经过平移后可以完全重合. 向量的模: 向量的大小叫做向量的模. 向量a、a、ab的模分别记为|a|、|a|、|ab|. 单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量. 零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或0. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的. 向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a与b平行, 记作a / b. 零向量认为是与任何向量都平行. 当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线. 类似还有共面的概念. 设有k（k3

11、）个向量, 当把它们的起点放在同一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面. 二、向量的线性运算 1向量的加法 向量的加法: 设有两个向量a与b, 平移向量使b的起点与a的终点重合, 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和, 记作a+b, 即c=a+b . 三角形法则 平行四边形法则: 当向量a与b不平行时, 平移向量使a与b的起点重合, 以a、b为邻边作一平行四边形, 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b. c ccb a a bb（1）交换律a+b=b+a; （2）结合律（a+b）+c=a+（b+c）. 由于向量的加法符合交换律与结合律, 故n

12、个向量a1, a2, ?, an（n 3）相加可写成 a1+a2+ ?+an, 并按向量相加的三角形法则, 可得n个向量相加的法则如下: 使前一向量的终点作为次一向量的起点, 相继作向量a1, a2, ?, an, 再以第一向量的起点为起点, 最后一向量的终点为终点作一向量, 这个向量即为所求的和. 负向量: 设a为一向量, 与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量, 记为-a. 2.向量的减法: 我们规定两个向量b与a的差为 b-a=b+（-a）. 即把向量-a加到向量b上, 便得b与a的差b-a. 特别地, 当b=a时, 有 a-a=a+（-a）=0. a- b a b a b-a 显然, 任给向量ab及点o, 有 ab=ao+ob=ob-oa, 因此, 若把向量a与b移到同一起点o, 则从a的终点a向b的终点b所引向量ab便是向量b与a的差b-a . 三角不等式: 由三角形两边之和大于第三边的原理, 有 |a+b|a|+|b|及|a-b|a|+|b|, 其中等号在b与a同向或反向时成立. 3向量与数的乘法 向量与数的乘法的定义: 1a=a, （-1）a=-a.