高中数学 第二章 统计 21 随机抽样 211 简单随机抽样教学案 新人教A版必修3Word下载.docx
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计算法则
除法
减法
终止条件
余数为0
减数与差相等
最大公约数的选取
最后一步中的除数
最后一步中的减数
计算特点
步骤较少,运算复杂
步骤较多,运算简单
相同点
同为求两个正整数最大公约数的方法,都是递归过程
3.秦九韶算法
把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改写成如下形式:
f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,…,vn=vn-1x+a0,这种求n次多项式f(x)的值的方法叫秦九韶算法.
1.用更相减损术求98与63的最大公约数时,需做减法的次数为( )
A.4 B.5
C.6D.7
解析:
选C (98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7),∴共进行6次减法.
2.用“辗转相除法”求得168与486的最大公约数是( )
A.3B.4
C.6D.16
选C 486=168×
2+150,168=150×
1+18,150=18×
8+6,18=3×
6,故168与486的最大公约数为6.
3.有关辗转相除法下列说法正确的是( )
A.它和更相减损之术一样是求多项式值的一种方法
B.基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m=nq+r,直至r<
n为止
C.基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m=nq+r(0≤r<
n),反复进行,直到r=0为止
D.以上说法皆错
选C 辗转相除法和更相减损之术都是求最大公约数的方法,故A错,而C中0≤r<
n且除到r=0为止,C对.B错,故选C.
4.已知多项式f(x)=4x5+3x4+2x3-x2-x-,用秦九韶算法求f(-2)等于( )
A.-B.
C.D.-
选A ∵f(x)=((((4x+3)x+2)x-1)x-1)x-,∴f(-2)=-.
求最大公约数
[典例] 求228与1995的最大公约数.
[解] 法一:
(辗转相除法)1995=8×
228+171,228=1×
171+57,171=3×
57,
所以228与1995的最大公约数为57.
法二:
(更相减损术)1995-228=1767,1767-228=1539,
1539-228=1311,1311-228=1083,
1083-228=855,855-228=627,
627-228=399,399-228=171,
228-171=57,171-57=114,
114-57=57.
辗转相除法计算次数少,步骤简捷,更相减损术计算次数多,步骤复杂,但是更相减损术每一步的计算都是减法,比做除法运算要简单一些,一般当数较小时可以考虑用更相减损术,当数较大时可以考虑用辗转相除法.
[活学活用]
用辗转相除法和更相减损术求1515与600的最大公约数,需要运算的次数分别为( )
A.4,15 B.5,14
C.5,13D.4,12
选B 辗转相除法:
1515=600×
2+315;
600=315×
1+285,315=285×
1+30,285=30×
9+15,30=15×
2,故最大公约数为15,且需计算5次.用更相减损术:
1515-600=915,915-600=315,600-315=285,315-285=30,285-30=255,255-30=225,225-30=195,195-30=165,165-30=135,135-30=105,105-30=75,75-30=45,45-30=15,30-15=15.故最大公约数为15,且需计算14次.
秦九韶算法的应用
[典例] 用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1,当x=2时的值.
[解] 根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:
f(x)=8x7+5x6+0·
x5+3·
x4+0·
x3+0·
x2+2x+1=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1.
而x=2,所以有
v0=8,
v1=8×
2+5=21,
v2=21×
2+0=42,
v3=42×
2+3=87,
v4=87×
2+0=174,
v5=174×
2+0=348,
v6=348×
2+2=698,
v7=698×
2+1=1397.
所以当x=2时,多项式的值为1397.
应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题
(1)要正确将多项式的形式进行改写.
(2)计算应由内向外依次计算.
(3)当多项式函数中间出现空项时,要以系数为零的齐次项补充.
用秦九韶算法写出当x=3时,f(x)=2x5-4x3+3x2-5x+1的值.
解:
因为f(x)=((((2x+0)x-4)x+3)x-5)x+1,
v0=2,v1=2×
3+0=6,v2=6×
3-4=14,v3=14×
3+3=45,v4=45×
3-5=130,v5=130×
3+1=391,
所以f(3)=391.
进位制
[典例]
(1)把二进制数101101
(2)化为十进制数为________.
(2)将十进制数458转化为四进制数为________.
(3)比较85(9)和210(6)的大小.
[解析]
(1)101101
(2)=1×
25+0×
24+1×
23+1×
22+0×
21+1×
20=32+8+4+1=45,
所以二进制数101101
(2)转化为十进制的数为45.
(2)
所以458=13022(4).
答案:
(1)45
(2)13022(4)
(3)解:
因为85(9)=5+8×
9=77,
210(6)=0+1×
6+2×
62=78,
而78>
77,所以210(6)>
85(9).
十进制数转化为其他进制数的方法步骤
(1)将101111011
(2)转化为十进制的数;
(2)将235(7)转化为十进制的数;
(3)将137(10)转化为六进制的数;
(4)将53(8)转化为二进制的数.
(1)101111011
(2)=1×
28+0×
27+1×
26+1×
25+1×
23+0×
22+1×
20=379(10).
(2)235(7)=2×
72+3×
71+5×
70=124(10).
(3)
∴137(10)=345(6).
(4)53(8)=5×
81+3×
80=43(10).
∴53(8)=101011
(2).
[层级一 学业水平达标]
1.用辗转相除法求294和84的最大公约数时,需要做除法运算的次数是( )
A.1 B.2
C.3D.4
选B 294=84×
3+42,84=42×
2,故需要做2次除法运算.
2.三位四进制数中的最大数等于十进制数的( )
A.63B.83
C.189D.252
选A 三位四进制数中的最大数为333(4),则333(4)=3×
42+3×
41+3=63.
3.把389化为四进制数,则该数的末位是( )
A.1B.2
选A 由389=4×
97+1,97=4×
24+1,24=4×
6+0,6=4×
1+2,1=4×
0+1,389化为四进制数的末位是第一个除法代数式中的余数1.
4.在对16和12求最大公约数时,整个操作如下:
16-12=4,12-4=8,8-4=4.由此可以看出12和16的最大公约数是( )
A.4B.12
C.16D.8
选A 根据更相减损术的方法判断.
[层级二 应试能力达标]
1.4830与3289的最大公约数为( )
A.23 B.35
C.11D.13
选A 4830=1×
3289+1541;
3289=2×
1541+207;
1541=7×
207+92;
207=2×
92+23;
92=4×
23;
∴23是4830与3289的最大公约数.
2.用辗转相除法求72与120的最大公约数时,需要做除法次数为( )
A.4B.3
C.5D.6
选B 120=72×
1+48,
72=48×
1+24,
48=24×
2.
3.用更相减损术求459与357的最大公约数,需要做减法的次数为( )
A.4B.5
选B 459-357=102,357-102=255,255-102=153,153-102=51,102-51=51,所以459与357的最大公约数为51,共做减法5次.
4.下列各数,化为十进制后,最大的为( )
A.101010
(2)B.111(5)
C.32(8)D.54(6)
选A 101010
(2)=1×
21+0×
20=42,111(5)=1×
52+1×
51+1×
50=31,32(8)=3×
81+2×
80=26,54(6)=5×
61+4×
60=34.
故转化为十进制后,最大的是101010
(2).
5.阅读程序框图,利用秦九韶算法计算多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,当x=x0时,框图中A处应填入________.
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,先用秦九韶算法改为一次多项式,
f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
f1=an;
k=1,f2=f1x0+an-1;
k=2,f3=f2x0+an-2;
…;
归纳得第k次fk+1=fkx0+an-k.故A处应填an-k.
an-k
6.三进制数2012(3)化为六进制数为abc(6),则a+b+c=________.
2012(3)=2×
33+0×
32+1×
31+2×
30=59.
三进制数2012(3)化为六进制数为135(6),∴a+b+c=9.
9
7.三位七进制数表示的最大的十进制数是______