解分式方程的特殊方法与技巧Word格式.docx

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（2）换元法

为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易，使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程．

　用换元法解分式方程的一般步骤:

　（i）设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；

　（iｉ）解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；

　　（iii）把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值;

　（ｉv）检验做答.

　注意:

ﻫ　　

（1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。

它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。

　（２）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解,不能用换元法解的,再用去分母法。

ﻫ（3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。

　二、例题精析:

例1．解分式方程:

。

　　分析：

解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。

ﻫ　　解:

方程两边都乘以x（x+2），约去分母，得ﻫ　x＋4-x=2（x＋2）+x（ｘ+2）

整理后,得ｘ2＋４x＝０

解这个方程,得x１＝0,x2=-4,ﻫ　代入公分母检验:

ﻫ　　当ｘ1=0时，ｘ（ｘ+２）=０×

（0＋２）＝0,∴x=0是增根；

当ｘ2=－4时，x（x＋２）=－4×

（-４＋2）≠0,∴x=-4是原方程的根。

ﻫ　　故原方程的根是ｘ=-4。

　例２．解方程:

ﻫ　　分析:

本题中各个分式的分子与分母是同次多项式,故从中析出一个整数来（用拆分分式的方法），；

考虑方程中有四个分式，可以移项后利用公式把分式拆项,将方程化简。

　解：

　即，

　　移项，整理，得,

　即,

　亦即ﻫ　去分母,得（ｘ－6）（x-5）=（x-9）（x-8），去括号,整理,得x＝７.ﻫ 

经检验，ｘ＝７是原方程的根。

ﻫ 

∴　原方程的根是x=7。

　　例３．解方程。

ﻫ解法１：

方程两边都乘以（x+４）（ｘ+5）（x+2）（ｘ+3），去分母,得

（ｘ+3）2（x＋5）（x＋2）-（x＋4）2（x+2）（ｘ+3）ﻫ　=（ｘ+1）（ｘ+4）（x+5）（x+3）-（x+2）２（x+4）（x+5）ﻫ　即４x+14=０，　∴,

　经检验知　是原方程的解。

　　解法２：

方程两边分别通分，得

　，ﻫ即　,

　　∴（ｘ+5）（x+4）=（x＋2）（x+3）

　　解得。

解法3:

利用拆分分式的方法将原来的方程变形。

　原方程可化为

即:

ﻫ两边分别通分,得,

　　解之,得　。

　例４．解方程。

ﻫ　解：

设,　则原方程变形为y2-5ｙ+6=0,

　解得ｙ1=2,　y2=３，

　由＝2,解得x1=4;

由,解得ｘ2=３.

　　经检验x１=4,x２=3,都是原方程的根。

　　例5．用换元法解方程.

解：

设2x2+３ｘ=y,于是原方程变为,ﻫ　　整理,得ｙ２-４y－５=0

　解得y1=5,y２=-1.ﻫ　当y=5时，即２x2+3x＝5,ﻫ　解得x1＝1,,

　当y＝-1时,2x２+3ｘ＝－1,解得x3=－1，,ﻫ经检验,都是原方程的根。

∴原方程的根为。

　例6.解方程。

ﻫ　分析：

利用方程左边结构特点,构造一元二次方程来解。

ﻫ　　解：

设　,所以原方程变形为：

y+=7，ﻫ　整理得：

y２-7y+10=0ﻫ　　解得y１=2,y2=5,

　　当ｙ1＝2时，即,

　　∴ｘ1=０,x2=２；

ﻫ　当y２=5时,,

　即x2－5x＋９=0（Δ<

0,此方程无实根）ﻫ　　经检验,x1=0,x2=２是原方程的解。

例7．解方程.ﻫ　分析:

此方程初看起来容易把,，而实际上，

所以　.但是,就是说原方程可变形为,　变形后才可用换元法解此方程。

原方程可化为ﻫ即,ﻫ　设，　则原方程可化为:

2ｙ2-3y－5=0

　　解得y1=-１,y２=,ﻫ　当y=-１时，,ﻫ　　去分母整理，得x2＋x+１=０ﻫ解这个方程,∵Δ<

0,∴方程无解。

当ｙ＝时，，去分母整理,得2x2-5ｘ+2＝0

　解得ｘ1=2,，ﻫ经检验，x1＝2,都是原方程的根。

ﻫ　∴　原方程的根是x1＝2,。

ﻫ　　注意:

切勿把。

例8．若分式方程有增根ｘ＝２，求a的值。

ﻫ　分析：

将方程的两边同乘以最简公分母（x+2）（x－２），

　得ａ（x+２）＋1＋2（ｘ＋2）（x-2）=0,若分式方程有增根x=2,则x=２一定是整式方程ａ（x+2）＋1＋２（x＋2）（x－2）=0的根，代入之即可求出a。

　　解：

原分式方程去分母，得a（x＋2）+1+2（ｘ＋2）（ｘ－２）=0ﻫ　把x＝2代入所得方程,得4a+1+0=0,a=－,

　∴当a=-时，x=2是原分式方程的增根。

测试

　选择题

１.方程x-　=２-的根的情况是（　）

Ａ、　只有一解x=２　　B、任意实数都是解

　C、无解　　　　　　D、解为x≠２

　　２．用换元法解方程+　=，下列变形正确的是（）

　　A、设＝y,原方程变形为y+=，去分母得2ｙ２+5y＋2=0

　　B、设=ｙ,原方程变形为y＋-1=，去分母得2ｙ2-7y+2＝０

　　C、设=y，原方程变形为+=,去分母得y２－5y+3=０ﻫ　D、设=ｙ,原方程变形为+＝，去分母得y２-5y+6=０

　３.如果设y=-５,则对于方程（　－5）2＋-１3＝0，下面变形正确的是（）ﻫ　A、ｙ2－2y－8=０　　　B、ｙ２＋2y-３=0ﻫ　Ｃ、y2+2y-13=０　　Ｄ、y2-2y-2３＝０ 

　4．若x=1是方程的增根,则m的值为（c　）ﻫA、1　B、-1　C、－3　　　D、3

　５.方程会产生增根,则ａ的值为（ｃ　）ﻫA、１　　B、-２　　　Ｃ、1或-2　D、以上都不对。

　6.方程=0的根是（）　ﻫ　Ａ、-１　　　B、2　　　Ｃ、-1或2　D、１或-2

　7.使分式方程产生增根的k的值是（）ﻫ　A、0　　　B、０或2　　　C、1　　　Ｄ、2

8．用换元法解方程,　设，则方程变形为（）。

ﻫ　A、６y２+5y－38＝０　　　B、６y2+5y－40=0

　C、6y2＋5y-26=0D、6ｙ2＋５y－５0=0

９.方程的根为（）ﻫ　　A、ｘ=2　　　B、x=　　Ｃ、ｘ＝3　Ｄ、ｘ=-5,或x=3　

　1０.某项工程，甲独做需a天，乙独做需ｂ天,甲、乙合做完成任务需要的天数是（　）。

ﻫ　　A、　　B、　　Ｃ、ａ+b　D、

答案与解析

　答案：

1、C　2、D　3、Ｂ４、C　5、C6、B７、Ａ　８、Ｄ9、D10、D

　解析:

　1、答案：

选Ｃ。

ﻫ移项，整理得x=２，但当x=2时，分母ｘ-2=0,则x=2为增根，原方程无解。

2、答案:

2．选D。

ﻫ　3、答案：

选B。

　原方程ﻫ　整理得:

ﻫ 

设原方程变为：

y２+２y-3=０。

ﻫ４.答案:

选C。

ﻫ　原方程两边乘以（x-1）（x－２）得：

x2-4+ｘ2+２x-３=m即:

2x２+2x－７-ｍ=０ﻫ　　则x＝１是方程2x2＋２ｘ-7-ｍ＝0的根,代入x=1得：

　∴２+２－7－m=0,m＝-3.ﻫ　　５．答案：

　　两边乘以x（x－１）得x２＋2x-2-a＝0,

　　若原方程有增根，则有增根x＝1或x=0,而x=1或x＝０是整式方程x２+2ｘ－2-ａ=0的两根,将x=1或x=0代入整式方程　得ａ=1或a=－2，选C。

　6．答案:

　　由,去分母得（ｘ＋1）（x－2）=０　得x=-1或ｘ=2，经检验,ｘ=-1是增根，则原方程的根为ｘ=2。

ﻫ７.答案：

选A。

ﻫ　分式方程　的增根为x=２或x=-2,

　　而x=２或x=-2，一定是去分母得到的整式方程的解。

ﻫ　原方程两边乘以（x-2）（x+2）得x2-２ｘ-x2＋4＝ｋ2x+2k2

　整理得：

（k2+2）ｘ=4-2k2,

　∴　,ﻫ　则：

，ﻫ解得：

k=0．ﻫ8.答案:

选D。

分析：

原方程变形为，则原方程变形为6（ｙ2-２）+5ｙ-３8=0,整理得:

６y2+５y-５0=0．ﻫ 

　9.答案:

方程两边乘以x２-4　得1５＝2x+4＋x2－4　即:

x2＋2x－１5=0,

解得：

ｘ1=-5或x2＝3，经检验,ｘ=-5或x＝３都是原方程的根。

ﻫ　　1０.答案：

ﻫ整个工程看成整体1,则甲，乙的工作效率分别为，则合作工作效率为，则甲，乙合作用的时间为。

中考解析

分式方程

考点讲解

　　1．解分式方程的基本思想方法是:

把分式方程通过去分母或换元转化成整式方程，然后用解整式方程的方法去求解,但在转化过程中,可能会使分式方程增根,所以最后一定要验根。

ﻫ2．去分母法解分式方程的步骤:

（1）去分母,即方程两边同乘以各分母的最简公分母,约去分母，得到一个整式方程；

（2）解这个整式方程;

（3）验根。

　3．用换元法解分式方程的步骤：

（1）根据分式方程中的特点设某一分式为另一未知字母;

（2）写出符合原方程式的用新字母表示的变形方程;

（3）解换元所得新方程，求得未知字母的值；

（4）把新未知字母值代入第一步所设的分式,求得原方程未知数的值；

（5）验根。

ﻫ　4．分式方程验根的方法:

（1）将解得整式方程的根代入原方程,使方程左右两边相等的未知数的值是原方程的根，否则是增根;

（２）将解得整式方程的根代入最简公分母中，如果不使最简公分母等于0,就是原方程的根，反之则为增根。

　考题评析

1.（甘肃省）一组学生去春游,预计共需费用120元,后来又有2人参加进来,总费用不变，于是每人可少分摊3元，原来这组学生的人数是（）

（A）８　（B）10　（C）12　　（D）30

　考点:

分式方程的应用ﻫ　　评析：

该题是一列方程解的应用题，解决应用题的关键是找到等量关系,本题的等量关系有两个:

一个是人数变化，前后的总费用不变，二是增加2人后,每人少分摊３元。

根据条件,依据第二个等量关系列方程比较容易解得此题,设