解分式方程的特殊方法与技巧Word格式.docx

1、 （2）换元法 为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易，使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程 用换元法解分式方程的一般步骤: （i）设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； （i）解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；（iii）把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值; （v）检验做答. 注意:（1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基

2、本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。 （）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解,不能用换元法解的,再用去分母法。 （3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。 二、例题精析: 例1解分式方程:。分析：解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。解:方程两边都乘以x（x+2），约去分母，得 x4-x=2（x2）+x（+2） 整理后,得2x 解这个方程,得x0, x2=-4, 代入公分母检验:当1=0时，（+）=（0）0, x=0是增根； 当2=4时，x（x）=4（-2）0, x=-4是原方程的根。故原方程的根是=

3、-4。 例解方程:分析:本题中各个分式的分子与分母是同次多项式,故从中析出一个整数来（用拆分分式的方法）， ；考虑方程中有四个分式，可以移项后利用公式把分式拆项,将方程化简。 解： 即 ，移项，整理，得 , 即 , 亦即 去分母,得（6）（x-5）=（x-9）（x-8），去括号,整理,得x. 经检验，是原方程的根。 原方程的根是x=7。例解方程。 解法：方程两边都乘以（x+）（+5）（x+2）（+3），去分母,得 （+3）2（x5）（x2）-（x4）2（x+2）（+3） =（+1）（+4）（x+5）（x+3）-（x+2）（x+4）（x+5） 即x+14=， , 经检验知是原方程的解。解法：方程

4、两边分别通分，得 ， 即, （+5）（x+4）=（x2）（x+3）解得 。 解法3:利用拆分分式的方法将原来的方程变形。 原方程可化为 即:, 两边分别通分,得,解之,得。 例解方程。 解：设,则原方程变形为y2-5+6=0, 解得1=2,y2=， 由2,解得x1=4; 由,解得2=.经检验x=4, x=3,都是原方程的根。例5用换元法解方程. 解：设2x2+=y,于是原方程变为 ,整理,得-y=0 解得y1=5, y=-1. 当y=5时，即x2+3x5, 解得x11, , 当y-1时,2x+31,解得x3=1， , 经检验,都是原方程的根。 原方程的根为。 例6.解方程。 分析：利用方程左边

5、结构特点,构造一元二次方程来解。解：设,所以原方程变形为：y+=7， 整理得：y-7y+10=0解得y=2, y2=5,当12时，即, 1=, x2=； 当y=5时, 即x25x=0 （0,此方程无实根）经检验,x1=0, x2=是原方程的解。 例7解方程. 分析:此方程初看起来容易把,，而实际上 ， 所以.但是,就是说原方程可变形为 ,变形后才可用换元法解此方程。原方程可化为 即, 设，则原方程可化为:22-3y5=0解得y1=-, y=, 当y=-时，,去分母整理，得x2x+= 解这个方程,0, 方程无解。 当 时， 去分母整理,得2x2-5+20 解得1=2, ， 经检验，x12, 都是

6、原方程的根。 原方程的根是x12, 。注意:切勿把。 例8若分式方程有增根，求a的值。 分析：将方程的两边同乘以最简公分母（x+2）（x）， 得（x+）12（2）（x-2）=0,若分式方程有增根x=2,则x=一定是整式方程（x+2）1（x2）（x2）=0的根，代入之即可求出a。解：原分式方程去分母，得a（x2）+1+2（2）（）=0 把x2代入所得方程,得4a+1+0=0, a=, 当 a=-时， x=2是原分式方程的增根。 测试 选择题 .方程x-=-的根的情况是（ ） 、只有一解x= B、任意实数都是解 C、无解 D、解为x用换元法解方程 +=，下列变形正确的是（ ）A、设y,原方程变形为

7、y+ = ，去分母得2+5y2=0B、设 =,原方程变形为y -1=，去分母得22-7y+2C、设=y，原方程变形为 + = ,去分母得y5y+3= D、设 =,原方程变形为 + ，去分母得y-5y+6= .如果设y= -,则对于方程（5）2-30，下面变形正确的是（ ） A、22y8= B、2y-=0 、y2+2y-13= 、y2-2y-2 4若x=1是方程的增根,则m的值为（c） A、1 B、 -1 C、3 D、3 .方程会产生增根,则的值为（） A、 B、- 、1或-2 D、以上都不对。 6.方程=0的根是（ ） 、- B、2 、-1或2 D、或-2 7.使分式方程产生增根的k的值是（

8、） A、0 B、或2 C、1 、2 8用换元法解方程 ,设，则方程变形为（ ）。 A、y+5y38 B、y2+5y40=0 C、6y25y-26=0 D、62y0=0 .方程的根为（ ）A、=2 B、x= 、3 、=-5,或x=3 1.某项工程，甲独做需a天，乙独做需天,甲、乙合做完成任务需要的天数是（）。A、 B、 、+b D、答案与解析 答案：1、C2、D3、 、C5、C 6、B 、 9、D 10、D 解析: 1、答案：选。 移项，整理得x=，但当x=2时，分母-2=0,则x=2为增根，原方程无解。 2、答案:2选D。 3、答案：选B。 原方程 整理得:, 设 原方程变为：y+y-3=。

9、.答案:选C。 原方程两边乘以（x-1）（x）得： x2-4+2+x-=m即: 2x+2x-=则x是方程2x2-7-0的根,代入x=1得： +7m=0, m-3.答案：两边乘以x（x） 得x2x-2-a0,若原方程有增根，则有增根x1或x=0,而x=1或x是整式方程x+22-=0的两根,将x=1或x=0代入整式方程得=1或a=2，选C。 6答案:由,去分母得（1）（x2）=得x=-1或=2，经检验,=-1是增根，则原方程的根为=2。 .答案：选A。 分式方程的增根为x=或x=-2,而x=或x=-2，一定是去分母得到的整式方程的解。 原方程两边乘以（x-2）（x+2）得x2-x242x+2k2

10、整理得：（k2+2）=4-2k2, , 则：， 解得：k=0 8.答案:选D。 分析：原方程变形为，则原方程变形为6（2-）+5-8=0,整理得:y2+y-0=09.答案: 方程两边乘以x-4得12x+4x24即:x22x5=0, 解得：1=-5或x23， 经检验,=-5或x都是原方程的根。1.答案： 整个工程看成整体1,则甲，乙的工作效率分别为 ，则合作工作效率为，则甲，乙合作用的时间为。中考解析分式方程 考点讲解1解分式方程的基本思想方法是:把分式方程通过去分母或换元转化成整式方程，然后用解整式方程的方法去求解,但在转化过程中,可能会使分式方程增根,所以最后一定要验根。 2去分母法解分式方

11、程的步骤:（1）去分母,即方程两边同乘以各分母的最简公分母,约去分母，得到一个整式方程；（2）解这个整式方程;（3）验根。 3用换元法解分式方程的步骤：（1）根据分式方程中的特点设某一分式为另一未知字母;（2）写出符合原方程式的用新字母表示的变形方程;（3）解换元所得新方程，求得未知字母的值；（4）把新未知字母值代入第一步所设的分式,求得原方程未知数的值；（5）验根。 4分式方程验根的方法:（1）将解得整式方程的根代入原方程,使方程左右两边相等的未知数的值是原方程的根，否则是增根;（）将解得整式方程的根代入最简公分母中，如果不使最简公分母等于0,就是原方程的根，反之则为增根。 考题评析 1.（甘肃省）一组学生去春游,预计共需费用120元,后来又有2人参加进来,总费用不变，于是每人可少分摊3元，原来这组学生的人数是（） （A） （B）10 （C）12 （D）30 考点:分式方程的应用评析：该题是一列方程解的应用题，解决应用题的关键是找到等量关系,本题的等量关系有两个:一个是人数变化，前后的总费用不变，二是增加2人后,每人少分摊元。根据条件,依据第二个等量关系列方程比较容易解得此题,设