定积分在几何中的简单应用教学设计Word格式文档下载.docx
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新型的教学方式;
新型的呈现方式。
三.
教材分析
定积分的应用是在学生学习了定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义之后,对定积分知识的总结和升华,通过用定积分解决一些简单的面积问题,初步感受定积分在解决数学问题与实际问题中的作用,体会导数与定积分之间的内在联系。
四.
教学目标
【知识与技能目标】通过本节课的探究,学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积,能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。
【过程与方法目标】探究过程中通过数形结合的思想,加深对知识的理解,同时体会到数学研究的基本思路和方法。
【情感、态度与价值观目标】探究式的学习方法能够激发学生的求知欲,培养学生对学习的浓厚兴趣;
探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法,培养学生勇于探索和实践的精神;
探究过程中对学生进行数学美育的渗透,用哲学的观点指导学生自主探究。
五.
教学重点难点
【教学重点】应用定积分解决平面图形的面积,使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。
【教学难点】如何恰当选择积分变量和确定被积函数。
六.
教学方法
教学方法是“问题诱导——启发讨论——探索结果”、“直观观察——抽象归纳——总结规律”的一种研究性教与学的方法,过程中注重“诱、思、探、练”的结合,从而引导学生转变学习方式。
采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习,形成师生互动的教学氛围。
六
教
学
过
程
师生活动
设计意图
(一)课前准备:
复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义.
(二)情景引入:
展示精美的大桥油画,讲述古代数学家的故事及伟大发现:
拱形的面积
【课件展示】课题:
油画图片
问:
桥拱的面积如何求解呢?
答:
……
【学生活动】本环节安排学生讨论,自主发现解决问题方向——定积分跟面积的关系,
(三)新课讲授:
【热身训练】练习1.计算2.计算
【学生活动】思考口答
【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案.
【热身训练】练习3.用定积分表示阴影部分面积
图1图2
【学生活动】回忆并口答图1的答案;
引导学生由X为积分变量的定积分类型来发现以Y为积分变量的另一种定积分类型。
【得出结论】定积分表示曲边梯形面积的两种类型.
【板书】配合学生探究的进展书写推理的过程.
【课件展示】
图1选择X为积分变量,曲边梯形面积为
图2选择Y为积分变量,曲边梯形面积为
【问题探究】
【课件展示】探究由曲线所围平面图形的面积解答思路
【学生活动】思考、探究、讨论
【展示结论】
【教师简单点评】探索到的结论一定可行吗?
这就需要通过实践来检验。
【例题实践】例1.计算由曲线与所围图形的面积.
【师生活动】探究解法的过程.
1.找到图形----画图得到曲边形.
2.曲边形面积解法----转化为曲边梯形,做出辅助线.
3.定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.
4.计算定积分.
【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程.
【课件展示】解答过程
解:
作出草图,所求面积为图中阴影部分的面积.
解方程组得到交点横坐标为
及
曲边梯形OABC曲边梯形OABD
【例题实践】例2.计算由与所围图形的面积.
【师生活动】讨论探究解法的过程
1.找到图形----画图得到曲边形.
2.曲边形面积解法----转化为曲边梯形,做出辅助线.
3.定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.
问题:
表示不出定积分.
探讨:
X为积分变量表示不到,那换成Y为积分变量呢?
4.计算定积分.
【板书】根据师生探究的思路
板书重要分析过程.
作出草图,所求面积为
图中阴影部分的面积
解方程组得到交点坐标为(2,-2)及(8,4)
选y为积分变量
【抽象归纳】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤
【学生活动】学生根据例题探究的过程来归纳
【教师简单点评】帮助学生修改、提炼,强调注意注意选择y型积分变量时,要把函数变形成用y表示x的函数.
【课件展示】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤:
1.画草图,求出曲线的交点坐标.
2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积.
3.根据图形特点选择适当的积分变量.(注意选择y型积分变量时,要把函数变形成用y表示x的函数)
4.确定被积函数和积分区间.
5.计算定积分,求出面积.
【巩固练习】
练习4.计算由曲线与及轴所围平面图形的面积.
【学生活动】学生分组合作完成
【成果展示】邀请同学们把自己的成果展示给大家,发现这道题目有多种解答方法,过程中解决学生在解题过程中暴露出来的各种问题。
S2
S1
S22
2
4
8
O
x
A:
B:
C:
【师生活动】此题为一题多解,解体的大方向分为选X做积分变量和选Y做积分变量.
遇到一题多解时,你会想到什么?
找最简单的解法.
以次题为例,如何寻找最简解法?
我们熟悉X做积分变量的类型;
做辅助线时,尽量将曲边形转化成我们熟悉的平面图形,如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合的图形.
练习5.计算由曲线与及、
所围平面图形的面积.
【学生活动】学生独立思考
【成果展示】邀请一位同学把自己的成果展示给大家
【师生活动】解答思路清晰,表达正确
此题还有其他解法吗?
所以只算一个S,取2倍就可以了.
【教师点评】做的漂亮,解题时要注意发现题目的特征,联系我们以前的知识将问题化简后再解答,提高效率.
【应用提升】
如图,一桥拱的形状为抛物线,已知该抛物线拱的高为常数h,
宽为常数b.
求证:
抛物线拱的面积
【师生活动】探究解题方法
1.建立平面直角坐标系确定抛物线方程
2.求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤
如何建立平面直角坐标系会使得抛物线方程的求解简单
以抛物线的顶点为坐标原点建立坐标系.
【学生活动】学生独立求解抛物线方程.
【成果展示】投影学生练习
如图建立平面直角坐标系,
可设抛物线方程为,
代抛物线上一点入方程,
则有解得,所以抛物线方程为.
【教师点评】在投影中与全班同学一起点评学生的练习.
【师生活动】探究、并在投影中完成该题
所求图形有什么特点?
左右对称;
可以解答一半取2倍.
【成果展示】在黑板上与学生共同完成
设一半的面积为S,则有
(四).互动小结
本节课我们做了什么探究活动呢?
用定积分解曲边形面积。
如何用定积分解决曲边形面积问题呢?
1.画草图,求出曲线的交点坐标.
2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积.
3.根据图形特点选择适当的积分变量.(注意选择y型积分变量时,要把函数变形成用y表示x的函数)
4.确定被积函数和积分区间.
5.计算定积分,求出面积.
解答曲线所围的平面图形面积时须注意什么问题?
选择最优化的积分变量;
根据图形特点选择最优化的解题方法.
体会到什么样的数学研究思路及方法呢?
从问题出发,联系相关知识,探究出解决问题的思路,通过实践的检验得到一般方法,通过练习巩固,通过应用提升。
(五).作业课本P67 A组 1. P68 B组 3. 创新训练No.13
培养学生复习的学习习惯。
激发学生们的求知欲和探索欲,设下悬念,以激发学生的探索激情,为后面作开启性的铺垫。
复习定积分的几何意义
培养学生用发展、联系的哲学思想解决问题
培养学生乐于尝试、敢于创新的精神。
通过探究,发现并掌握数学学科研究的基本过程与方法
巩固了学生的作图能力,在寻找曲边梯形的过程中提高了学生的想象能力。
完成了一般理论和具体问题的有机结合,初步达到了识记的目标,突显了教学重点。
使学生懂得如何灵活选择积分变量,确定被积函数,通过该题突破教学难点。
探索到的结果通过实践,学生都得到了一些解题心得,及时指导学生进行抽象归纳,便是探究的阶段小结,得到解题的一般方法。
趁学生们还沉浸在成功的喜悦之中,探索欲望高涨的时候,适时给学生扩大成就感的机会。
所以准备了巩固练习,目的在于巩固解题方法、由一题多解锻炼学生的发散思维
体现了对称的思想和分类思想,培养学生的观察能力和分析思考问题的严密性,在此过程中进行了数学美育的渗透。
把本节课的探究活动推向高潮,解决了前面设下的悬念的同时,实现了生活中的实际问题与抽象数学的完美结合。
巩固定积分解题的基本方法和步骤。
提问式的课堂小结,目的在于调动学生积极参与梳理知识的过程,培养学生在探究之后整合知识的能力。
作业即是探究活动的一种延续。
教学设计
选送学校:
南海九江中学
林洁