第1章 13 第2课时 利用组合数公式解应用题.docx

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第1章13第2课时利用组合数公式解应用题

第2课时　利用组合数公式解应用题

1．能用组合数计算公式解决一些简单的应用问题．（重点）

2．掌握常见组合问题的求解方法．（难点）

3．在实际应用过程中区分排列与组合．（易混点）

[小组合作型]

无限制条件的组合问题

　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？

（1）任意选5人；

（2）甲、乙、丙三人必需参加；

（3）甲、乙、丙三人不能参加；

（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加．

【精彩点拨】　本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题．

【自主解答】　

（1）从中任取5人是组合问题，共有C＝792种不同的选法．

（2）甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C＝36种不同的选法．

（3）甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法．

（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：

先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C种选法．共有CC＝378种不同的选法．

解答简单的组合问题的思考方法

1．弄清要做的这件事是什么事．

2．选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题．

3．结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果．

[再练一题]

1．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．

（1）现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？

（2）选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？

【解】　

（1）从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C＝＝45.

（2）可把问题分两类：

第1类，选出的2名是男教师有C种方法；第2类，选出的2名是女教师有C种方法，即C＋C＝21（种）．

有限制条件的组合问题

　高二

（1）班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．

（1）其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？

（2）其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？

（3）恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？

（4）至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？

（5）至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？

【精彩点拨】　可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼．使用两个计数原理解决．

【自主解答】　

（1）从余下的34名学生中选取2名，

有C＝561（种）．

∴不同的取法有561种．

（2）从34名可选学生中选取3名，有C种．

或者C－C＝C＝5984种．

∴不同的取法有5984种．

（3）从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC＝2100种．

∴不同的取法有2100种．

（4）选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有选取方式N＝CC＋C＝2100＋455＝2555种．

∴不同的取法有2555种．

（5）选取3名的总数有C，因此选取方式共有N＝C－C＝6545－455＝6090种．

∴不同的取法有6090种．

常见的限制条件及解题方法

1．特殊元素：

若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．

2．含有“至多”“至少”等限制语句：

要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．

3．分类讨论思想：

解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．

[再练一题]

2．“抗震救灾，众志成城”，在我国“四川5·12”抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：

（1）抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？

（2）至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？

（3）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？

【解】　

（1）分步：

首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C＝90（种）抽调方法．

（2）“至少”的含义是不低于，有两种解答方法．

法一　（直接法）

按选取的外科专家的人数分类：

①选2名外科专家，共有C·C种选法；

②选3名外科专家，共有C·C种选法；

③选4名外科专家，共有C·C种选法．

根据分类计数原理，共有C·C＋C·C＋C·C＝185（种）抽调方法．

法二　（间接法）

不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C·C种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：

C－C·C－C＝185（种）抽调方法．

（3）“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．

①没有外科专家参加，有C种选法；

②有1名外科专家参加，有C·C种选法；

③有2名外科专家参加，有C·C种选法．

所以共有C＋C·C＋C·C＝115（种）抽调方法．

组合在几何中的应用

　平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？

【导学号：

29440013】

【精彩点拨】　解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数．

【自主解答】　法一：

以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准．

第1类：

共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC＝48个不同的三角形；

第2类：

共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC＝112个不同的三角形；

第3类：

共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C＝56个不同的三角形．

由分类计数原理知，不同的三角形共有

48＋112＋56＝216（个）．

法二（间接法）：

从12个点中任意取3个点，有C＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C＝4种．

故这12个点能构成三角形的个数为C－C＝216个．

1．解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．

2．图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．

[再练一题]

3．四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？

【解】　如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类计数原理，不同的取法有3C＋3＝33种．

[探究共研型]

排列、组合的综合应用

探究1　从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？

完成的“这件事”指的是什么？

【提示】　共有C＝＝6（个）不同结果．

完成的“这件事”是指：

从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相乘．

探究2　从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相除，有多少不同结果？

这是排列问题，还是组合问题？

完成的“这件事”指的是什么？

【提示】　共有A－2＝10（个）不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指：

从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相除．

探究3　完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？

有多少个不同的结果？

【提示】　由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行．第一类：

0在个位，则百位与十位共A种排法；第二类：

0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共CCC＝18（种）不同的结果，由分类原理，完成“这件事”共有A＋CCC＝30（种）不同的结果．

　有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：

（1）有女生但人数必须少于男生；

（2）某女生一定担任语文课代表；

（3）某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；

（4）某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．

【精彩点拨】　

（1）按选中女生的人数多少分类选取．

（2）采用先选后排的方法．（3）先安排该男生，再选出其他人担任4科课代表．（4）先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表．

【自主解答】　

（1）先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CC＋CC种，后排有A种，

共（CC＋CC）·A＝5400种．

（2）除去该女生后，先选后排，有C·A＝840种．

（3）先选后排，但先安排该男生，有C·C·A＝3360种．

（4）先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共C·C·A＝360种．

解决排列、组合综合问题要遵循两个原则

1．按事情发生的过程进行分步．

2．按元素的性质进行分类．解决时通常从以下三个途径考虑：

（1）以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

[再练一题]

4．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为________种.【导学号：

29440014】

【解析】　分两类：

第一类，甲、乙中只有一人参加，则有CCA＝2×10×24＝480种选法．

第二类，甲、乙都参加时，则有C（A－AA）＝10×（24－12）＝120种选法．

所以共有480＋120＝600种选法．

【答案】　600

[构建·体系]

1．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．

【解析】　从6名男医生中选出2名男医生共有C种不同选法，从5名女医生中选出1名女医生，共有C种不同选法，故组成一个医疗小组共有CC＝75种不同的选法．

【答案】　75

2．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．（用数字作答）【导学号：

29440015】

【解析】　由题意可知周六共有C种安排方式，周日共有C种不同安排方式，共有CC＝140种不同安排方式．

【答案】　140

3．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种（用数字作答）．

【解析】　有C·C·A＝36种满足题意的分配方案．其中C表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的方法数．

【答案】　36

4．在直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n（n＝0,1,2，…，5）与平行直线y＝n（n＝0,1,2，…，5）组成的图形中，矩形共有________个．

【解析】　在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C×C＝15×15＝225个．

【答案】　225

5．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在