人教版数学一轮第6章 第1节 不等式的性质与一元二次不等式Word文件下载.docx

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b，c<

0⇒ac<

（6）乘法法则：

b>

0，c>

d>

bd；

（7）乘方法则：

0⇒an>

bn（n≥2，n∈N）；

（8）开方法则：

0⇒>

（n≥2，n∈N）；

3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

判别式

Δ＝b2－4ac

Δ>

Δ＝0

Δ<

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

（a>

0）的图象

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

0）的根

有两相异实根

x1，x2（x1<

x2）

有两相等实根

x1＝x2＝－

没有实数根

ax2＋bx＋c>

0）的解集

{x|x<

x1

或x>

x2}

{x|x≠x1}

R

ax2＋bx＋c<

{x|x1<

x<

∅

1．有关分数的性质

若a＞b＞0，m＞0，则

（1）＜；

＞（b－m＞0）；

（2）＞；

＜（b－m＞0）．

2．有关倒数的性质

a＞b，ab＞0⇒＜.

3．a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞.

4．简单的分式不等式

（1）≥0⇔

（2）＞0⇔

[基础自测]

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）a>

b⇔ac2>

bc2.（　　）

（2）a>

.（　　）

（3）若不等式ax2＋bx＋c<

0的解集为（x1，x2），则必有a>

0.（　　）

（4）若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>

0的解集为R.（　　）

[答案]　

（1）×

（2）√　（3）√　（4）×

2．（教材改编）下列四个结论，正确的是（　　）

①a>

d⇒a－c>

b－d；

②a>

0，c<

d<

③a>

；

④a>

.

A．①②　　B．②③　　C．①④　　D．①③

D　[利用不等式的同向可加性可知①正确；

对于②，根据不等式的性质可知ac<

bd，故②不正确；

因为函数y＝x是单调递增的，所以③正确；

对于④，由a>

0可知a2>

b2>

0，所以<

，所以④不正确．]

3．（教材改编）设a，b，c∈R，且a＞b，则（　　）

A．ac＞bcB.＜

C．a2＞b2D．a3＞b3

D　[取a＝1，b＝－2，c＝－1，排除A，B，C，故选D.]

4．（教材改编）不等式（x＋1）（x＋2）＜0的解集为（　　）

A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－1＜x＜2}

C．{x|x＜－2或x＞1}D．{x|x＜－1或x＞2}

A　[方程（x＋1）（x＋2）＝0的两根为x＝－2或x＝－1，则不等式（x＋1）（x＋2）＜0的解集为{x|－2＜x＜－1}，故选A.]

5．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．

（－∞，－4]∪[4，＋∞）　[由题意知Δ＝a2－42≥0，解得a≥4或a≤－4.]

不等式的性质及应用

1．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）

A.＞　　　　　B.＜

C.＞D.＜

B　[由c＜d＜0得＜＜0，则－＞－＞0，∴－＞－，∴＜，故选B.]

2．（2016·

北京高考）已知x，y∈R，且x>

y>

0，则（　　）

A.－>

0B．sinx－siny>

C.x－y<

0D．lnx＋lny>

C　[函数y＝x在（0，＋∞）上为减函数，∴当x>

0时，x<

y，即x－y<

0，故C正确；

函数y＝在（0，＋∞）上为减函数，由x>

0⇒<

⇒－<

0，故A错误；

函数y＝sinx在（0，＋∞）上不单调，当x>

0时，不能比较sinx与siny的大小，故B错误；

x>

0⇒xy>

0ln（xy）>

0lnx＋lny＞0，故D错误．]

3．若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2，则（　　）

A．a＞b＞cB．b＞a＞c

C．c＞a＞bD．b＞c＞a

A　[因为a＝20.6＞20＝1，又logπ1＜logπ3＜logππ，所以0＜b＜1，c＝log2sin＜log21＝0，于是a＞b＞c.故选A.]

4．已知角α，β满足－＜α－β＜，0＜α＋β＜π，则3α－β的范围是________．

（－π，2π）　[设3α－β＝m（α－β）＋n（α＋β），则

解得

从而3α－β＝2（α－β）＋（α＋β），

又－π＜2（α－β）＜π，0＜α＋β＜π，

∴－π＜2（α－β）＋（α＋β）＜2π.]

[规律方法]　利用不等式的性质判断正误及求代数式的范围的方法

（1）利用不等式的范围判断正误时，常用两种方法：

一是直接使用不等式的性质逐个验证；

二是利用特殊值法排除错误答案.

（2）比较大小常用的方法

①作差（商）法：

作差（商）⇒变形⇒判断，

②构造函数法：

利用函数的单调性比较大小，

③中间量法：

利用中间量法比较两式大小，一般选取0或1作为中间量.

（3）由a<

f（x，y）<

g（x，y）<

d求F（x，y）的取值范围，要利用待定系数法解决，即设F（x，y）＝mf（x，y）＋ng（x，y），用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F（x，y）的取值范围.

一元二次不等式的解法

►考法1　不含参数的一元二次不等式

【例1】　

（1）不等式2x2－x－3＞0的解集为________．

（2）不等式－x2－3x＋4>

0的解集为________．（用区间表示）

（1）　

（2）（－4,1）　[

（1）方程2x2－x－3＝0的两根为x1＝－1，x2＝，则不等式2x2－x－3＞0的解集为.

（2）由－x2－3x＋4>

0得x2＋3x－4<

0，解得－4<

1，所以不等式－x2－3x＋4>

0的解集为（－4,1）．]

►考法2　含参数的一元二次不等式

【例2】　

（1）解关于x的不等式：

x2－（a＋1）x＋a＜0.

[解]　原不等式可化为（x－a）（x－1）＜0，

当a＞1时，原不等式的解集为（1，a）；

当a＝1时，原不等式的解集为∅；

当a＜1时，原不等式的解集为（a,1）．

（2）解关于x的不等式：

ax2－（a＋1）x＋1＜0.

[解]　若a＝0，原不等式等价于－x＋1＜0，

解得x＞1.

若a＜0，原不等式等价于（x－1）＞0，

解得x＜或x＞1.

若a＞0，原不等式等价于（x－1）＜0.

①当a＝1时，＝1，（x－1）＜0无解；

②当a＞1时，＜1，解（x－1）＜0，得＜x＜1；

③当0＜a＜1时，＞1，解（x－1）＜0，得1＜x＜.

综上所述，当a＜0时，解集为；

当a＝0时，解集为{x|x＞1}；

当0＜a＜1时，解集为；

当a＝1时，解集为∅；

当a＞1时，解集为.

[规律方法]　1.解一元二次不等式的步骤：

（1）使一端为0且把二次项系数化为正数；

（2）先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法；

（3）写出不等式的解集.

2.解含参数的一元二次不等式的步骤：

（1）二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；

（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；

（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.

（1）已知不等式ax2－bx－1>

0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是（　　）

A．{x|2<

3}　　　　　　　B．{x|x≤2或x≥3}

C.D.

B　[∵不等式ax2－bx－1>

0的解集是，

∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<

0，

∴解得

则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.]

（2）解不等式x2＋ax＋1＜0（a∈R）．

[解]　Δ＝a2－4.

①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式无解．

②当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，

则原不等式的解集为.

综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式无解．

当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为

一元二次不等式恒成立问题

【例3】　已知函数f（x）＝mx2－mx－1.

（1）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；

（2）若对于x∈[1,3]，f（x）＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．

[解]　

（1）当m＝0时，f（x）＝－1＜0恒成立．

当m≠0时，则即－4＜m＜0.

综上，－4＜m≤0，故m的取值范围是（－4,0]．

（2）不等式f（x）＜5－m，即（x2－x＋1）m＜6，

∵x2－x＋1＞0，∴m＜对于x∈[1,3]恒成立，只需求的最小值，

记g（x）＝，x∈[1,3]，

记h（x）＝x2－x＋1＝2＋，

h（x）在x∈[1,3]上为增函数，则g（x）在[1,3]上为减函数，

∴[g（x）]min＝g（3）＝，∴m＜.

所以m的取值范围是.

[规律方法]　与二次函数有关的不等式恒成立的条件,

（1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的条件是

（2）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的条件是.

（1）若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（　　）

A．（－3,0）B．[－3,0）

C．[－3,0]D．（－3,0]

（2）若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________．

（1）D　

（2）　[

（1）当k＝0时，显然成立；

当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立．

则

解得－3＜k＜0.

综上，满足不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是（－3,0]．

（2）由题意得，函数f（x）＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f（x）＝x2＋mx－1开口向上，所以只需

即解得－＜m＜0.]

一元二次不等式的应用

【例4】　甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100·

元．

（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；

（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：

甲厂应该选取何种生产速度？

并求最大利润．

[解]　

（1）根据题意，

得200≥3000，

整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.

即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x的取值范围是[3,10]．

（2）设利润为y元，则

y＝·

100

＝9×

104

104，

故当x＝6时，ymax＝457500元．

即甲厂以6千克