高等数学考研知识点总结3Word文档下载推荐.docx

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（1）（为常数）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）；

（10）；

（11）；

（12）；

（13）；

（14）；

（15）。

补：

（1）

（2）

（3）

2、主要计算方法

（1）第一换元积分法

常用“凑”微分公式：

（2）第二换元积分法

根式代换

,三角代换

倒代换

注：

其它代换，等

1）当被积函数中含有时令或

2）当被积函数中含有时令或

3）当被积函数中含有时令或

4）当被积函数的分母含有变量因子时，令.

（3）分部积分法

常用分部积分法：

1）中

为n次多项式,一般选取分别

2）中

为n次多项式,一般分别选取

取

3）中可选取,

分别取

也可分别取

（4）有理函数的积分:

化为部分分式（数一、二）

（5）三角有理函数的积分:

万能代换（数一、二）

（6）简单无理函数的积分:

作变量替换（数一、二）

三、典型题型与例题

题型一、基本概念与性质

例1、（893）下列等式中，正确的是

（A）（B）

（C）（D）

例2、设是连续函数，是的原函数，则

（A）当时奇函数时，必为偶函数

（B）当时偶函数时，必为奇函数

（C）当时周期函数时，必为周期函数

（D）当时单调增函数时，必为单调增函数

例3、设求

例4、若,求

题型二、凑微分法

要熟记一些常见形式的凑微分，如

以及整体凑微分等

例5、求不定积分评注：

本题利用了

例6、求

例7、求

例8、求

例9、[]

例10、

例11、（=）

例12、[]

题型三、有理函数的积分

有理函数可以化为整式与以下四种部分分式之和,

这四种部分分式及其不定积分如下:

（1）

（2）

（3）;

（4）

其中,二项式无实根,即;

且可使用分部积分法导出递推公式来计算（），利用配方法及分部积分法可得的表达式。

通过多项式的除法总可分解有理函数为多项式与真分式之和,在应用待定系数法时,首先要把分解的形式写正确。

例13、求

例14、求

例15、求

例16、求

例17、求

题型四、三角有理函数的积分

三角有理式的积分是指以三角函数为变量的有理函数,由于其它三角函数皆可由表示,只需讨论的形式,此类积分总可作代换,使被积函数有理化,即。

以下几种情况可作其它变换更简单一些.

（3）

例18、求

例19、（962）求

例20、求

在涉及三角有理函数的不定积分中,时刻注意诸如

及两种变形等一些三角变形，此类题目较灵活需在平时积累。

有些三角函数的题目,不对被积函数作巧妙变换，难以求解。

题型五、简单无理函数的积分

简单无理函数积分,通常是指在被积函数中含有

形如的根式，此时一般都是

要通过变量替换将根式去掉,化为有理函数积分.具体方法是:

对第一个可令,即;

对第二个可令,即

而第三个根式经过配方后,都可化为在第二换元积

分法所介绍的中的一种.

例21、求

例22、求

例23、求（根式代换,）

例24、[分母有理化]

题型六、分部积分法

如下的三种形式常用分部积分法.

（1）,其中为常数,为n次多项式，选取（或）

（2）,

其中为常数,的选取可随意

（3）,

选取，

有时也可取为有理分式。

例25、求

例26、求

例27、（062，10分）求

.

例28、（032）求

题型七、分段函数的不定积分

例29、设，求

题型八、综合题

例30、已知

（1）求

（2）若,求

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