高等数学考研知识点总结3Word文档下载推荐.docx
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(1)(为常数);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8);
(9);
(10);
(11);
(12);
(13);
(14);
(15)。
补:
(1)
(2)
(3)
2、主要计算方法
(1)第一换元积分法
常用“凑”微分公式:
(2)第二换元积分法
根式代换
,三角代换
倒代换
注:
其它代换,等
1)当被积函数中含有时令或
2)当被积函数中含有时令或
3)当被积函数中含有时令或
4)当被积函数的分母含有变量因子时,令.
(3)分部积分法
常用分部积分法:
1)中
为n次多项式,一般选取分别
2)中
为n次多项式,一般分别选取
取
3)中可选取,
分别取
也可分别取
(4)有理函数的积分:
化为部分分式(数一、二)
(5)三角有理函数的积分:
万能代换(数一、二)
(6)简单无理函数的积分:
作变量替换(数一、二)
三、典型题型与例题
题型一、基本概念与性质
例1、(893)下列等式中,正确的是
(A)(B)
(C)(D)
例2、设是连续函数,是的原函数,则
(A)当时奇函数时,必为偶函数
(B)当时偶函数时,必为奇函数
(C)当时周期函数时,必为周期函数
(D)当时单调增函数时,必为单调增函数
例3、设求
例4、若,求
题型二、凑微分法
要熟记一些常见形式的凑微分,如
以及整体凑微分等
例5、求不定积分评注:
本题利用了
例6、求
例7、求
例8、求
例9、[]
例10、
例11、(=)
例12、[]
题型三、有理函数的积分
有理函数可以化为整式与以下四种部分分式之和,
这四种部分分式及其不定积分如下:
(1)
(2)
(3);
(4)
其中,二项式无实根,即;
且可使用分部积分法导出递推公式来计算(),利用配方法及分部积分法可得的表达式。
通过多项式的除法总可分解有理函数为多项式与真分式之和,在应用待定系数法时,首先要把分解的形式写正确。
例13、求
例14、求
例15、求
例16、求
例17、求
题型四、三角有理函数的积分
三角有理式的积分是指以三角函数为变量的有理函数,由于其它三角函数皆可由表示,只需讨论的形式,此类积分总可作代换,使被积函数有理化,即。
以下几种情况可作其它变换更简单一些.
(3)
例18、求
例19、(962)求
例20、求
在涉及三角有理函数的不定积分中,时刻注意诸如
及两种变形等一些三角变形,此类题目较灵活需在平时积累。
有些三角函数的题目,不对被积函数作巧妙变换,难以求解。
题型五、简单无理函数的积分
简单无理函数积分,通常是指在被积函数中含有
形如的根式,此时一般都是
要通过变量替换将根式去掉,化为有理函数积分.具体方法是:
对第一个可令,即;
对第二个可令,即
而第三个根式经过配方后,都可化为在第二换元积
分法所介绍的中的一种.
例21、求
例22、求
例23、求(根式代换,)
例24、[分母有理化]
题型六、分部积分法
如下的三种形式常用分部积分法.
(1),其中为常数,为n次多项式,选取(或)
(2),
其中为常数,的选取可随意
(3),
选取,
有时也可取为有理分式。
例25、求
例26、求
例27、(062,10分)求
.
例28、(032)求
题型七、分段函数的不定积分
例29、设,求
题型八、综合题
例30、已知
(1)求
(2)若,求
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