自主招生高中物理辅导教程有关量子的初步知识.docx
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自主招生高中物理辅导教程有关量子的初步知识
自主招生高中物理辅导教程:
有关量子的初步知识
§3.1、初期量子理论
20世纪之初,物理学家为解释一些经典物理所不能解释的实验规律,提出了量子理论。
量子理论经过进一步发展,形成了量子力学,使量子力学成为近代物理学的两大支柱之一。
3.1.1、 普朗克量子论
一切物体都发射并吸收电磁波。
物体发射电磁波又称热辐射,温度越高,辐射的能量越多,辐射中短波成份比例越大。
完全吸收电磁辐射的物体发射电磁辐射的本领也最强,称这种理想的物体为黑体。
研究黑体辐射电磁波长的能量与黑体温度以及电磁波波长的关系,从实验上得出了著名的黑体辐射定律。
假设电磁辐射是组成黑体的谐振子所发出,按照经典理论,谐振子的能量可以连续地变化,电磁波的能量也是可以连续变化的,但是理论结果与实验定律相矛盾。
1900年,德国物理学家普朗克提出了量子理论:
黑体中的振子具有的能量是不连续的,从而,他们发射或吸收的电磁波的能量也是不连续的。
如果发射或吸收的电磁辐射的频率为v,则发射或吸收的辐射能量只能是hv的整倍数,h为一普适常量,称为普朗克常量,普朗克的量子理论成功地解释了黑体辐射定律,这种能量不连续变化的概念,是对经典物理概念的革命,普朗克的理论预示着物理观念上革命的开端。
3.1.2、 爱因斯坦光子理论
因为电磁波理论也不能解释光电效应,在普朗克量子论的基础上,爱因斯坦于1905年提出了光子概念。
他认为光的传播能量也是不连续的,而是一份一份的,每一份能量称为一个光子,即光是由光子组成的,频率为v光的光子能量等于hv,h为普朗
克常量。
光子理论圆满地解释了光电效应。
人们对光本性的认识前进了一步:
光具有波粒二象性。
在经典物理中,波是连续的,粒子是分立的,二者不相容。
所以,不能把光看作经典物理中的波,也不能把光看作经典物理中的粒子。
故此,有了爱因斯坦光电方程:
W为逸出功,γ为光子频率,m为光电子质量。
3、1、3 电子及其他粒子的波动性
我们已经了解到,玻尔把普朗克的量子论和爱因斯坦的光子理论,应用到原子系统上,于1913年提出了原子理论。
按照玻尔理论,原子中存在着分立的能级,电子从某一能级向另一能级跃迁时,发射或吸收一个光子。
这与经典物理的概念也迥然不同。
这就启发人们:
组成原子的粒子,如电子,必然不是经典意义下的粒子,所遵从的规律也不同于经典物理的规律。
在光具有波粒二象性的启发下,法国物理学家德布罗意提出一个问题:
“在光学中,比起波的研究方法来,如果说过于忽视粒子的研究方法的话,那么,在粒子的理论上,是不是发生了相反的错误,把粒子的图象想得太过分,而过分忽视了波的图象呢?
”接着,他在1924年提出了一个假说,认为波粒二象性不只是光子才有,一切微观粒子,包括电子、质子和中子,都有波粒二象性。
他指出:
具有质量m和速度v的运动粒子也具有波动性,这种波长等于普朗克恒量h与粒子mv动量的比,即λ=h/mv。
这个关系式称做德布罗意公式。
根据德布罗意公式,很容易算出运动粒子的波长。
后来又用原子射线和分子射线做类似的实验,同样得到了衍射图样。
质子和中子的衍射实验也做成功了。
这就证明了一切运动的微观粒子都具有波粒二象性,其波长与动量的关系都符合德布罗意公式。
粒子的波动性又称为德布罗意波或物质波。
我们不能把电子等微观粒子视为经典的粒子,也不能把物质波视为经典的波。
试验和论理的进一步研究发现,电子等微观粒子的波动性与声波或电磁波的特性并不完全相同,它们遵从的规律也不一样,这就导致了量子力学的诞生。
§3、2量子力学初步
3.2.1、物质的二象性
①光的二象性:
众所周知,光在许多情况下(干涉、偏振、衍射等)表现为波动性,但在有些情况下(如光电效应、黑体辐射等)又表现为粒子字。
因而对光完整的认识应是光具有波粒二象性。
一个光子的能量:
E=hvv是光的频率,h是普朗克常数
光子质量:
光子动量:
②德布罗意波
德布罗意把光的波粒二象性推广到实物粒子。
他认为,波粒二象性是一切微观粒子共有的特性。
第一个实物粒子在自由运动时所具有的能量为E、动量为p,这样的自由粒子必定对应一个振动频率为v、波长为λ的平面简谐波。
这两组特征量之间的关系仍是
自由的实物粒子所对应的平面简谐波常称为物质波或德布罗意波,它的客观真实性已为许多实验所证实。
物质波的物理意义究竟是什么?
波是振动状态在空间传播形成的,波在空间某处振动状态的强弱可用该处振幅的平方米来表征。
对于光波,若某处振幅平方较大,则该处的光较强,光子数较多,这也意味着光子在该处出现的可能性较大,物质波也是如此。
物质波若在某处振幅的平方较大,则实物粒子在该处出现的可能性较大,可能性的大小可定量地用数学上的概率大来表述,物质波各处振幅的平方便与粒子在该处出现的概率联系起来,这就是物质波的物理意义。
例1、试估算热中子的德布罗意波长。
(中子的质量)热中子是指在室温下(T=300K)与周围处于热平衡的中子,它的平均动能
它的方均根速率,相应的德布罗意波长
这一波长与X射线的波长同数量级,与晶体的晶面距离也有相同的数量级,所以也可以产生中子衍射。
3.2.2、海森伯测不准原理
设一束自由粒子朝z轴方向运动,每一个粒子的质量为m,速度为v,沿z轴方向的动量P=mv。
这一束自由粒子对应一个平面简谐波,在与z轴垂直的波阵面上沿任何一个方向(记为x方向)的动量取精确值。
波阵面上各处振幅相同,每一个粒子在各处出现的概率相同,这意味着粒子的x位置坐标可取任意值,或者说粒子的x位置坐标不确定范围为。
为了在波阵面的某个x位置“抓”到一个粒子,设想用镊子去夹粒子。
实验上可等效地这样去做:
在波阵面的前方平行地放置一块挡板,板上开一条与x轴垂直的狭缝,狭缝相当于一个并合不够严实的镊子。
如果狭缝的宽度为△x,那么对于通过狭缝的粒子可以判定它的x位置不确定范围为△x。
△x越小,通过狭缝粒子以x位置就越是确定。
然而问题在于物质波与光波一样。
通过狭缝即会发生衍射,出射波会在缝的上、下两侧散开,或者说通过狭缝的粒子既有可能继续沿x轴方向运动,也有可能朝x轴正方向或负方向偏转地向前运动。
偏向的粒子必对应地取得x方向的非零动量,即有,这表明出射粒子在x方向的动量不再一致地为,因此x方向动量有不确定性,不确定范围可记为。
缝越窄,△x越小,粒子的x位置越接近准确,但衍射效应越强,越大,粒子的x方向动量值越不准确。
反之,缝越宽,△x越大,粒子的x位置越不准确,但衍射效应越弱,越小,粒子的x方向动量值越准确。
总之,由于波动性,使粒子的x位置和x方向动量不可能同时精确测量,这就是测不准原理。
由近代量子理论可导出△x与之间的定量关系,这一关系经常可近似地表述为:
h
对y和z方向,相应地有:
有时作为估算,常将上述三式再近似取为:
在经典力学中,运动粒子任意时刻的位置和动量或者说速度都可以精确测定,粒子的运动轨道也就可以确定。
在量子理论中,运动粒子在任意时刻的位置和动量或者说速度不能同时精确测定,粒子的运动轨道也就无法确定。
微观世界中,粒子的运动轨道既然不可测,也就失去了存在的意义。
如在经典力学中,可以说氢原子中的电子绕核作圆轨道或椭圆轨道运动。
在量子力学中,只能说粒子在核周围运动,某时刻电子的位置可能在这里,也可能在那里。
描述这种可能性的概率有一个确定的分布。
即使在这一时刻于某一位置“捕捉”到了该电子,也不能预言下一时刻该电子会出现在什么位置,因为电子的运动没有可供预言的轨道。
经典力学中一个粒子可静止在某一确定的位置,量子力学则否定了这种可能性。
据测不准原理,如果一个粒子在x、y、z坐标完全确定,即△x=△y=△z=0,那么它的x、y、z方向动量均不可为零,否则,与上面给出的关系式显然会发生矛盾。
例2、实验测定原子核线度的数量级为。
试应用测不准原理估算电子如被束缚在原子核中时的动能。
从而判断原子核由质子和电子组成是否可能。
取电子在原子核中位置的不确定量,由测不准原理得
由于动量的数值不可能小于它的不确定量,故电子动量考虑到电子在此动量下有极高的速度,由相对论的能量动量公式
故
电子在原子核中的动能。
理论证明,电子具有这么大的动能足以把原子核击碎,所以,把电子禁锢在原子核内是不可能的,这就否定了原子核是由质子和电子组成的假设。
3.2.3 量子力学的基本规律——薛定谔方程
波函数是描写微观粒子的基本物理量,波函数所遵从的规律,就是量子力学的基本规律,它将决定粒子函数的特征,从而决定粒子的运动状态。
正像在经典力学学里,粒子的位置和动量描写粒子的运动状态,牛顿运动定律决定了粒子的位置和动量如何变化,因而牛顿运动定律是经典力学的基本规律。
奥地利物理学家薛定谔(1887~1961)在1926年找到了遵从的规律,称为薛定谔方程。
在应用数学形式描述电子的波粒二象性上,他从麦克斯韦电磁理论得到启发,认为电子的德布罗意波也可以应用类似于光波的方式加以描述。
这个方程既描述了电子的波动行为,又蕴涵着粒子性特征。
写出并求解薛定谔方程,超出本书的范围。
不过,我们可以讨论一下有关结论。
波函数必须满足一些物理条件:
作为描写粒子运动状态的应是时空坐标的单值函数,变化应是连续的,不能变为无限大,即应有界。
这样,薛定谔方程的解,不但成功地解释了玻尔原子理论所能解释的现象,而且能够解释大量玻尔理论所不能解释的现象。
玻尔的基本假设,在量子力学里是从理论上推导出来的必然结果。
原来,在薛定谔方程中,只有原子中电子具有某些不连续的能量值时,方程的解才满足上述物理条件。
由薛定谔方程解中得出的氢原子中电子能量的可能值,正好就是玻尔原子理论给出的值。
3.2.4 概率密度与电子云
我们将以原子的稳定态为例,讨论一下由波函数所决定的电子在原子中的概率密度,这波函数就是由薛定谔方程求解出来的。
因为是稳定态,所以和时间无关,说明在任何时候,电子出现在任一处的概率密度都相同。
例如,氢原子处在基态时,电子经常出现的概率最大的地方,是以原子核为中心的一个球壳,这个球壳的半径为米,这个数值与玻尔原子理论计算出来的基态轨道半径相同,可见,玻尔的原子轨道只不过电子出现概率最大的地方。
电子核外的运动情况,通常用电子云来形象地描述。
用小黑点的稠密与稀疏,来代表电子核外各处单位体积中出现的概率(即概率密度)的大小,这样就可以画出原子的电子云图。
图11-8是氢原子基态的电子云。
看一下以核为中心的一层层很薄的球壳中电子出现的概率,在靠近原子核的地方,虽然云雾浓度较大,小黑点稠密,但是靠近原子核的一个薄球壳中包含的小黑点的总数不会很多,即电子出现在这个球壳中的概率不会很大,因为这个球壳的体积较小。
在远
离原子核的地方,球壳的体积虽然较大,但是小黑点稀疏,因而出现在这个球壳中的概率不会很大。
经过计算知道,在半径为米的一薄的球壳中电子出现的概率最大,就是玻尔理论中氢原子基态的轨道半径。
3.2.5量子学的应用和发展
量子力学建立后,应用它计算氢原子的光谱,获得巨大成功,其理论计算与实验结果完全符合。
量子力学不仅可以正确地解释氢原子光谱,而且,还可以说明复杂原子的构造,解释复杂原子的光谱。
这确实表明,量子力学是微观粒子所遵从的规律。
在量子力学发展的早期,就认识到它的应用不限于电子,对其它粒子也一样适用。
1927年,美国物理学家康登应用量子力学解释了α衰变现象。
这又称为隧道效应。
在α粒子放射体中α粒子被约束在原子核内,其能量小于核对它的结束能量——势垒,按照经典理论,α粒子是不可能穿出原子核的。
但是,按照量子力学,α粒子有穿过势垒的概率。
这个概率即使很小,但不为零。
对大量的原子核来说,总会有一小部分原子核的α粒子,穿透势垒而发射出来。
理论计算为实验数据所证实。
量子力学在建立之初,就用于研究分子的结构。
美国物理学家和化学家泡利阐明了化学键的本性,就是以量子力学为依据的。
比如,对,CO等分子,