无穷小的发展及其认识Word格式.docx

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到十九世纪二十年代，无穷小概念才有了比较合理的解释。

为了更好地学习微积分理论，掌握现代化科学文化知识，正确认识无穷小量的历史发展根源及其内涵也是非常重要的。

本文主要通过无穷小的历史认识无穷小的地位和价值。

关键词：

无穷小量，微积分，发展，认识

Developmentandunderstandingofinfinitesimal

Abstract：

Calculusisthebasicpartofhighermathematics,itnotonlyoccupiesanimportantpositioninhighermathematics,anditisalsoaneffectivetooltomodernizationandhigh-techdevelopmentessential.Buttheinfinitelysmallisoneofthemostbasicconceptsofcalculus,calculustheory,infinitelysmallisamusttoclarifytheconceptof.However,people'

sawarenessoftheinfinitesimalhasexperiencedalongprocess.UntileighteenthCentury,thereisnoperfectinterpretationoftheconceptofinfinitesimal.Infinitesimaliswhat?

Infinitesimalwhatcannotbezero?

Howcanwedescribeitexactly?

Theseproblemscausedbythemathematicscommunityandphilosophicaldebatefor1.5century.Essentialinfinitelysmallproblem,ifnotsolved,theconceptoflimitcannotbeestablished,calculustheoryisnotperfect.InnineteenthCenturytwentytime,theideaofinfinitesimalisrelativelyrationalexplanation.Inordertobetterlearningcalculustheory,masterthemodernscientificandculturalknowledge,causesthehistoricaldevelopmentandconnotationofthecorrectunderstandingofinfinitesimalisalsoveryimportant.Inthispaper,thehistoricalunderstandingthroughinfinitesimalinfinitesimalstatusandvalue.

Keywords:

infinitesimalcalculus,development,understanding

一、引言

“无穷小”的出现是初等数学向高等数学转变的一件具有划时代意义的大事，从此出现了一个新的数学分支——微积分。

它是微积分学的基础理论，并且在数学的许多领域中也起着重要的作用。

可是，这一概念的出现并不是在微积分创立时就已成为微积分学的基础。

它的建立经历了一个漫长而艰苦的过程。

本文研究“无穷小量”的建立和发展的历史，认识其对数学发展的意义和作用即在数学中的应用。

根据有关史料，试就“无穷小”的建立及其对数学发展的意义和作用，提出一些粗浅的见解。

二、无穷小的发展及历史过程

（一）无穷小概念的产生

无穷小概念的产生无穷小是一个历史概念，它的历史可以追溯到文艺复兴时期的不可分量，不可分量概念的产生可以从古希腊的原子论和阿基米德解决一些问题的方法中得到某种根源性的解释。

而在公元前450年，希腊人芝诺用“两分法”分析物体的运动时，得出运动是不可能的悖论。

他说：

“若物体由A点运动到B点，首先必须经过AB的中点C；

然而，要经过C点，又必须经过AC的中点D，即AB的1/4分点……。

”这些分点如此无限次地找下去所得结论是:

运动是不可能的。

[1]这说明当时的希腊人虽然已经具备了用无穷小思想认识问题的能力，但由于他们还不能解决无穷小与很小很小之间的矛盾，所以当时的希腊几何证明中很少使用无穷小思想。

不管是在古希腊还是在中国，无穷小思想最初都是在哲学范围内提出的。

在2000多年前的中国，人们就已产生对数学无穷小的萌芽认识。

《庄子·

天下篇》中有言“至大无外，谓之大一，至小无内，谓之小一”，大到没有外面，自然是无穷大，小到没有里面，当是无穷小。

又言“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，描述了无穷小的变化过程。

魏晋时期数学家刘徽在《九章算术》“刘徽的割圆术”中提出“割之弥细，所失弥少。

割之又割，以至于不可割，则与圆周全体而无所失矣”的思想，第一次创造性地将无穷小思想运用到数学中，他用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆。

此时，正多边形的周长与圆的周长之差是无穷小。

17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近。

意大利数学家卡瓦利列在其《不可分量几何》中，将面和立体看、成不可分量“流动”所生成。

他认为，不可分量就是无穷小。

在开普勒以后，不可分量逐渐被叫做无穷小量。

随着社会不断进步，面临解决诸如瞬时速度，曲线的切线及不规则图形的面积计算等问题，都与无穷小相关，于是无穷小量方法就成为力学和几何学的一个重要工具。

在17世纪晚期，开始产生并形成了无穷小的演算。

英国物理学家牛顿在研究物理学时，用变量和的无穷小改变量作为求导数的手段。

当他在求瞬时速度时，用位移的改变量ΔS与时间的改变量ΔT的比ΔS／ΔT，当时间变化量ΔT变成零时的值表示[1]。

改变量ΔT是否为零？

能不能取为零值？

在当时引起了很大的争论。

同时，德国数学家莱布尼兹也在几何学研究方面用变量X和Y的无穷小的微分增量dy和dx来研究面积和体积的计算。

这时无穷小才开始被广泛地讨论和研究。

（二）牛顿和莱布尼茨对无穷小量的认识

1.牛顿与无穷小量

什么是无穷小？

牛顿在他的早期和晚期著作里有不同的解释。

牛顿微积分的基本特点是基于直观（面积、流量）的有效、普遍算法。

牛顿在处理微积分问题时，一方面追求解题方法的普遍性；

另一方面这种普遍的解题方法又是建立在有关物理学意义的“量”的基础上的。

他和前人一样，尽可能地利用变量的直观意义，而与欧拉的思想把微积分演算看成是一种完全形式的推演不同的是他把各种具体的问题概括为一般的普遍算法。

在早期第一阶段，他基本上是实无穷小（常常以“瞬”的形式表现出来，瞬是无穷小的量，不可分的量，也叫做微元）观点。

他认为无穷小就像构成物质的元素一样，也是最小的、不可分的。

求面积是利用无穷小面积的和得到的，求体积、位移也都利用的是它们各自的微元求和得到的。

例如：

1669年牛顿在第一篇流数法的论文《运用无限多项方程的分析》中，为解决已知曲边梯形的面积公式是[3]

要求它的曲线公式的问题，他用字母表示横坐标的无穷小增量，称之为的瞬，于是新的横坐标就是，全部面积是

按二项式定理展开之后，减去

并且在等式两边除以，最后舍掉含有的各项，结果就得到曲线公式

在整个运算过程中，牛顿用的，先把它表示成≠0的无穷小增量，然后又使它=0舍掉。

他把瞬或无穷小看成是实无穷小量，就是说他只是从变量变化的间断性，变量变化的结果这个角度，而不是从连续和间断、过程和结果辩证的统一的角度来考察无穷小的。

这个观点是从费尔马与巴罗等那里得来的，并且进行了初步理论上的概括。

牛顿使用符号与格雷戈里等使用符号是一致的。

同时牛顿还承认在他的方法中关于丢弃含各项的说明和费尔马、巴罗关于丢弃E和e的说明同样是不清楚的。

正如牛顿所讲的那样,他的方法只是“简略的说明,而不是正确的论证。

”[4]

而在他写于1671年直到1736年才发表的《流数法和无穷级数》中，他认为变量是由“点、线和面的连续运动产生的”。

所以他把变量叫做“流量”，并把变化率叫做“流数”。

把流量的变化总是和时间的流逝联系起来，就是说流量总是随着时间的变化而变化的。

当他将这种基本概念（瞬或无穷小）运用到流数法的基本方法中时，必然会产生逻辑矛盾。

实无穷小量一方面是常量，另一方面既可以是非0，又可以是0，这怎么可能呢?

为了摆脱这种逻辑上的矛盾，合理地解释流数法，牛顿从1671年《流数法》开始，从实无穷小量的观点转变为潜无穷小的观点。

这一著作的发表标志着牛顿的基本观点已经开始进入第二个阶段。

在这本著作中，牛顿已经开始从第一阶段的早期观点开始向晚期的观点过渡，这表现在他对瞬这个重要概念的解释上，主要的变化在于早期他是从静力学的观点、不可分量的形式来解释的，而现在是从动力学的观点、连续量的形式来解释的了。

但是在计算方法上则仍然按照实无穷小方法来计算。

而后一种观点最后发展成为所谓最初比和最终比方法，这个方法实质上可以认为是后来哥西提出的极限理论的雏形。

事实上牛顿在他的1669年的《分析学》中的思想更接近于卡瓦列里的不可分量或者静力学式的不可分法，而在较晚的1671年（1736年出版）《流数法和无穷级数》中则更倾向于伽力略的动力学思想，因而更多地使他的流数法依附于他的时空连续统的直观解释。

牛顿在1676年写的论文《曲线与求积》，标志着他的观点进人了第三个阶段，即后期阶段。

在这篇文章里，牛顿正式宣布他放弃早期对无穷小的观点，不再把数量看成是由不可分割的最小单元构成的，而是把它们看成是由几何元素经过连续运动生成的。

他说:

“在这里我认为数学量不是由最小单元构成的，而是由连续运动生成的。

直线并不是由最小单元构成的，而是由点运动而成的，面由直线运动而成，立体由面运动而成，角由边旋转而成，时间由连续运动而成等等。

”

与早期不同的是，这时牛顿不再把流数看成是两个实无穷小量的比，而是把它理解为初生量的最初比或消失量的最终比。

在《曲线求积术》中，他写道:

“流数很接近在等长而又非常小的时间元里所生的增量（之比）非常接近，说得确切些，它们是初生增量的最初比”。

就是说流数是初生量的最初比。

又说:

“如果流数被看成是消失量的最终比，那么等于是同一事”。

这里牛顿又把流数理解为消失量的最终比。

2.莱布尼茨与无穷小量

在建立微积分中和牛顿并列在一起的还有德国的博学巨人莱布尼茨（Leibniz，1646-1716），莱布尼茨是哲学家、法学家、历史学家、语言学家和先驱的地质学家，他在逻辑学、力学、光学、数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方面都做出了重要的贡献，他还是数理逻辑的创始人。

莱布尼茨的微积分主要于1672-1676年在巴黎期间完成。

在惠更斯的鼓励下，莱布尼茨于1672年开始深入研究数学，1674年开创了微积分的方法，1687年第一次