幂函数导学案.docx

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幂函数导学案

§2.3幂函数

学习目标

1.通过具体实例了解幂函数的图象和性质；

2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.

学习过程

任务一、课前准备

（预习教材P77~P79，找出疑惑之处）

复习1：

求证在R上为奇函数且为增函数.

复习2：

1992年底世界人口达到54.8亿，若人口年平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿），写出：

（1）1993年底、1994年底、2000年底世界人口数；

（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式．

任务二、新课导学

探究任务一：

幂函数的概念

问题：

分析以下五个函数，它们有什么共同特征？

（1）边长为的正方形面积，是的函数；

（2）面积为的正方形边长，是的函数；

（3）边长为的立方体体积，是的函数；

（4）某人内骑车行进了1，则他骑车的平均速度，这里是的函数；

（5）购买每本1元的练习本本，则需支付元，这里是的函数.

新知

1、幂函数的概念：

一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.

试一试：

判断下列函数哪些是幂函数.

1；②；③；④.

探究任务二：

幂函数的图象与性质

问题：

作出下列函数的图象：

（1）；

（2）；（3）；（4）；（5）．

从图象分析出幂函数所具有的性质.

观察图象，总结填写下表：

常见幂函数的性质

例1、已知幂函数，求的值

例2、已知函数为何值时，是：

（1）正比例函数

（2）反比例函数（3）二次函数（4）幂函数

例3．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.

（1）；

（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．

2、幂函数的定义域和值域

所有幂函数的定义域和值域的求法分为五种情况

（1）时，的定义域为，值域为

（2）为正整数时，的定义域为，为偶数时，值域为,为奇数时，值域为

（3）为负整数时，的定义域为，为偶数时，值域为，为奇数时，值域为

（4）当为正分数时，化为，根据的奇偶性求解

（5）当为负分数时，化为，根据的的奇偶性求解

例4、

（1）函数的定义域是，值域是；

（2）函数的定义域是，值域是；

练1

（1）函数的定义域是，值域是；

（2）函数的定义域是，值域是；

练2、幂函数①，②，③，④，⑤，其中定义域为的是（）

A．①②B．②③C．②④D．④⑤

例5．设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数的所有α值为（　　）

A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3

3、幂函数的单调性和奇偶性

（1）幂函数的单调性：

在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数

（2）幂函数的奇偶性：

令（其中、互质，、）

当为奇数，则的奇偶性取决于是奇数还是偶数.当是奇数时，则是奇函数；当是偶数时，则是偶函数

当为偶数，则必是奇数，此时既不是奇函数，也不是偶函数

例6、若当时，幂函数为减函数，则实数的值为（）

A．B．C．或D．

例7、已知函数为偶函数，且

（1）求的值，并确定的解析式

（2）若在上为增函数，求实数的取值范围

例8、已知幂函数为偶函数，且在区间上市减函数

（1）求函数的解析式

（2）讨论的奇偶性

练3、下列说法正确的是（）

A．是奇函数B．是奇函数

C．是非奇非偶函数D．是非奇非偶函数

构造幂函数比较两个幂值得大小

比较两个幂值的大小，关键是构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同而底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数、指数函数的单调性或借助于函数的图像来比较

例9、比较下列各组数大小：

（1）

（2）（3）

练4、比较下列各组数大小：

（1）

（2）

（3），，

练5、若，则下列不等式成立的是（）

A．B．

C．D．

任务三、课后作业

第一题、选择题

1．在函数y＝2x3，y＝x2，y＝x2＋x，y＝x0中，幂函数有（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

解析：

选B.y＝x2与y＝x0是幂函数．

2．若幂函数在上是增函数，则（）.

A．>0B．<0

C．=0D．不能确定

3．函数f（x）＝（m2－m－1）xm2－2m－3是幂函数，且在x∈（0，＋∞）上是减函数，则实数m＝（　　）

A．2B．3

C．4D．5

4．使（3－2x－x2）－有意义的x的取值范围是（　　）

A．RB．x≠1且x≠3

C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞1

解析：

选C.（3－2x－x2）－＝，

∴要使上式有意义，需3－2x－x2＞0，

解得－3＜x＜1.

解析：

选A.m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2，再把m＝－1和m＝2分别代入m2－2m－3＜0，经检验得m＝2.

5.若，那么下列不等式成立的是（）.

A．

C．

6．函数的图象是（）.

A.B.C.D.

7．函数y＝（x＋4）2的递减区间是（　　）

A．（－∞，－4）B．（－4，＋∞）

C．（4，＋∞）D．（－∞，4）

解析：

选A.y＝（x＋4）2开口向上，关于x＝－4对称，在（－∞，－4）递减．

8．给出四个说法：

①当n＝0时，y＝xn的图象是一个点；

②幂函数的图象都经过点（0,0），（1,1）；

③幂函数的图象不可能出现在第四象限；

④幂函数y＝xn在第一象限为减函数，则n＜0.

其中正确的说法个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

解析：

选B.显然①错误；②中如y＝x－的图象就不过点（0,0）．根据幂函数的图象可知③、④正确，故选B.

第二题、填空题

9.已知幂函数的图象过点，则它的解析式为.

10．比较下列两组数的大小：

（1）；

（2）.

11．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．

解析：

∵0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，∴y＝xα在（0，＋∞）为减函数．

答案：

α＜0

第三题、解答题

12．求函数y＝（x－1）－的单调区间．

解：

y＝（x－1）－＝＝，定义域为x≠1.令t＝x－1，则y＝t－，t≠0为偶函数．

因为α＝－＜0，所以y＝t－在（0，＋∞）上单调递减，在（－∞，0）上单调递增．又t＝x－1单调递增，故y＝（x－1）－在（1，＋∞）上单调递减，在（－∞，1）上单调递增．

13．已知（m＋4）－＜（3－2m）－，求m的取值范围．

解：

∵y＝x－的定义域为（0，＋∞），且为减函数．

∴原不等式化为，

解得－＜m＜.

∴m的取值范围是（－，）．

14．已知幂函数y＝xm2＋2m－3（m∈Z）在（0，＋∞）上是减函数，求y的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．

解：

由幂函数的性质可知

m2＋2m－3＜0⇒（m－1）（m＋3）＜0⇒－3＜m＜1，

又∵m∈Z，∴m＝－2，－1,0.

当m＝0或m＝－2时，y＝x－3，

定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞）．

∵－3＜0，

∴y＝x－3在（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数，

又∵f（－x）＝（－x）－3＝－x－3＝－f（x），

∴y＝x－3是奇函数．

当m＝－1时，y＝x－4，定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞）．

∵f（－x）＝（－x）－4＝＝＝x－4＝f（x），

∴函数y＝x－4是偶函数．

∵－4＜0，∴y＝x－4在（0，＋∞）上是减函数，

又∵y＝x－4是偶函数，

∴y＝x－4在（－∞，0）上是增函数．

任务四、巩固训练

第一题、选择题

1．已知幂函数f（x）的图象经过点（2，），则f（4）的值为（　　）

A．16B.C.D．2

解析：

选C.设f（x）＝xn，则有2n＝，解得n＝－，

即f（x）＝x－，所以f（4）＝4－＝.

2．下列幂函数中，定义域为{x|x＞0}的是（　　）

A．y＝xB．y＝xC．y＝x－D．y＝x－

解析：

选D.A.y＝x＝，x∈R；B.y＝x＝，x≥0；C.y＝x－＝，x≠0；D.y＝x－＝，x＞0.

3．函数和图象满足（）

A．关于原点对称B．关于轴对称C．关于轴对称D．关于直线对称

4．函数在区间上的最大值是（）

A．B．C．D．

5．设T1＝，T2＝，T3＝，则下列关系式正确的是（　　）

A．T1

6.幂函数在第一象限内的图象依次是图中的曲线（）

A.B.

C.D.

7.下列函数在上为减函数的是（）

A.　B.　　C.　　　D.

答案：

Ｂ

8．幂函数f（x）＝xα满足x＞1时f（x）＞1，则α满足条件（　　）

A．α＞1B．0＜α＜1

C．α＞0D．α＞0且α≠1

解析：

选A.当x＞1时f（x）＞1，即f（x）＞f

（1），f（x）＝xα为增函数，且α＞1.

解析：

选D.y＝x＝，其定义域为R，值域为[0，＋∞），故定义域与值域不同．

9.当x∈（1，＋∞）时，函数）y＝的图象恒在直线y＝x的下方，则a的取值范围是（　A　）

　　A、a＜1B、0＜a＜1C、a＞0D、a＜0

10．若点在幂函数的图象上，则下列结论中不能成立的是（B）

A．B．Ｃ．D．

第二题、填空题

11．函数的定义域为________．

解析：

，∴x<1.

答案：

（－∞，1）

12．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若n>n，则n＝____－1,2____.

13．是偶函数，且在是减函数，则整数的值是5.

14．设x∈（0,1）时，y＝xp（p∈R）的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．

解析：

结合幂函数的图象性质可知p<1.

答案：

p<1

15．已知函数f（x）＝xα（0＜α＜1）,对于下列命题：

①若x＞1,则f（x）＞1；②若0＜x＜1,则0＜f（x）＜1;

③若f（x1）＞f（x2）,则x1＞x2；④若0＜x1＜x2,则.

其中正确的命题序号是_①②③_______.

第三题、解答题

16．已知幂函数f（x）＝（p∈Z）在上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数f（x）

17．函数f（x）＝（m2－m－5）xm－1是幂函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）是增函数，试确定m的值．

解：

根据幂函数的定义得：

m2－m－5＝1，

解得m＝3或m＝－2，

当m＝3时，f（x）＝x2在（0，＋∞）上是增函数；

当m＝－2时，f（x）＝x－3在（0，＋∞）上是减函数，不符合要求．故m＝3.

18．已知幂函数，当x∈（0，＋∞）时为减函数，则该幂函数的解析式是什么？

奇偶性如何？

单调性如何？

解：

　由于为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2，或m＝－1.

当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3，在（0，＋∞）上为减函数；

当m＝－1时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1（x≠0）在（0，＋∞）上为常函数，不合题意，舍去．

故所求幂函数为y＝x－3.这