高教版中职数学基础模块下册71《平面向量的概念及线性运算》word教案Word文档格式.docx

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向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.

教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.

向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a-b=a+（-b），它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.

实数乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作，它是一个向量，其方向与向量a相同，其模为的倍．由此得到．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a、b”与“”等条件.

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．（90分钟）

【教学过程】

教学

过程

教师

行为

学生

教学

意图

时间

*揭示课题

7.1平面向量的概念及线性运算

*创设情境兴趣导入

如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？

图7－1

介绍

播放

课件

引导

分析

了解

观看

思考

自我

从实例出发使学生自然的走向知识点

3

*动脑思考探索新知

【新知识】

在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．

我们经常用箭头来表示方向，带有方向的线段叫做有向线段．通常使用有向线段来表示向量．线段箭头的指向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；

手写时应在字母上面加箭头，记作．

图7－2

平面内的有向线段表示的向量称为平面向量．

向量的大小叫做向量的模．向量a,的模依次记作，．

模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．

模为1的向量叫做单位向量．

总结

归纳

仔细

讲解

关键

词语

理解

记忆

带领

式启

发学

生得

出结

果

10

*巩固知识典型例题

例1一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处朝北偏东45°

方向飞行200km，两架飞机的位移相同吗？

分别用有向线段表示两架飞机的位移．

解位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别为图7-3中的有向线段a与b．

图7-3

说明

强调

引领

含义

观察

主动

求解

通过例题进一步领会

13

*运用知识强化练习

说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量（小方格为1）．

提问

巡视

指导

口答

及时

知识

掌握

得情

况

18

观察图7−4中的向量与，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；

向量与所在的直线平行，两个向量的方向相反．

质疑

20

方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量．向量与向量b平行记作//b．

规定：

零向量与任何一个向量平行．

由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量．

【想一想】

图7−4中，哪些向量是共线向量？

23

图7−4中的平行向量与，方向相同，模相等；

平行向量与，方向相反，模相等．

我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．当向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a=b．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．

与非零向量的模相等，且方向相反的向量叫做向量的负向量，记作．

零向量的负向量仍为零向量．

显然，在图7－4中，=，=－．

28

例2在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．

（1）找出与向量相等的向量；

（2）找出向量的负向量；

（3）找出与向量平行的向量．

分析要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；

两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；

两个平行向量的方向相同或相反．

解由平行四边形的性质，得

（1）=；

（2）=,；

（3）//,//，//．

领会

通过例题进一步领

注意

是否

点

反复

+

33

1．如图，ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写出

（1）与相等的向量；

（2）与共线的向量．

2．如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出

（2）的负向量；

（3）与共线的向量．

启发

动手

可以

交给

发现

38

王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500m到达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°

角方向行走200m到达学校（C处）（如图7－6）．王涛同学这两次位移的总效果是从家（A处）到达了学校（C处）．

42

位移叫做位移与位移的和，记作=+．

一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A（如图7－6），依次作=a,=b，则向量叫做向量a与向量b的和，记作a＋b，即

a＋b=＋=（7．1）

求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．

观察图7－7可以看到：

依照三角形法则进行向量a与向量b的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做a与b的和向量．其和向量的起点是向量a的起点，终点是向量b的终点．

【做一做】

给出两个不共线的向量a和b，画出它们的和向量．

（1）a＋b与b＋a相等吗？

请画出图来说明．

（2）如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量？

50

如图7－9所示，ABCD为平行四边形，由于=，根据三角形法则得

＋=＋=

这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．

平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：

（1）a＋0=0＋a=a；

a＋（−a）=0；

（2）a＋b=b＋a；

（3）（a＋b）＋c=a＋（b＋c）．

55

例3一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5km/h，求该船的实际航行速度．

解如图7－10所示，表示船速，为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，是船的实际航行速度，显然

==13．

又，利用计算器求得．

即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线（水流方向）的夹角约．

*例4用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k，两条绳子与垂线的夹角为，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力与的大小．

分析由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是，所以．解决问题不考虑其它因素，只考虑受力的平衡，所以.

解利用平行四边形法则，可以得到

，

所以

．

根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时（如图7－12），两臂成什么角度时，双臂受力最小？

图7-12

62

*运用知识强化练习

练习7.1.2

1．如图，已知a，b，求a＋b．

2．填空（向量如图所示）：

（1）a＋b=_____________,

（2）b＋c=_____________,

（3）a＋b＋c=_____________．

3．计算：

（1）＋＋；

（2）＋＋．

65

在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．

参与

引导启发学生思考

66

与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即

a−b=a＋（−b）．

设a，b，则

．

即=（7．2）