二次函数知识点总结及典型例题和练习极好Word文件下载.docx

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【例1】已知函数y=x2-2x-3，

（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。

然后画出函数图象的草图；

（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：

（3）根据第

（1）题的图象草图，说出x取哪些值时，①y=0；

②y<

0；

③y>

知识点二：

二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：

（2）交点式：

当抛物线与x轴有交点时，即对应的一元二次方程

有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。

如果没有交点，则不能这样表示。

（3）顶点式：

当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我们最好设顶点式，这样最简洁。

【例1】抛物线与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且过（-1，16），求抛物线的解析式。

【例2】如图，抛物线与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则：

（1）abc0（＞或＜或=）

（2）a的取值范围是

【例3】下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴，且经过点（0，1）的是（）

A．y=（x−2）2+1B．y=（x+2）2+1

C．y=（x−2）2−3D．y=（x+2）2–3

知识点三：

二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。

如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；

若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；

如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。

【例1】已知二次函数的图像（0≤x≤3）如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,

下列说法正确的是（）

A．有最小值0，有最大值3B．有最小值－1,有最大值0

C．有最小值－1,有最大值3D．有最小值－1,无最大值

【例2】某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80元时，房间会全部住满．

当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每

天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）．

（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大?

最大利润是多少元?

知识点四、二次函数的性质

1、二次函数的性质

函数

二次函数

图像

a>

a<

y

0x

0x

性质

（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；

（2）对称轴是x=，

顶点坐标是（，）；

（3）在对称轴的左侧，即当x≤时，y随x的增大而减小；

在对称轴的右侧，即当x≥时，y随x的增大而增大，简记左减右增；

（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，

（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；

（3）在对称轴的左侧，即当x≤时，y随x的增大而增大；

在对称轴的右侧，即当x≥时，y随x的增大而减小，简记左增右减；

（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，

2、二次函数中，的含义：

表示开口方向：

>

0时，抛物线开口向上

<

0时，抛物线开口向下

与对称轴有关：

对称轴为x=

表示抛物线与y轴的交点坐标：

（0，）

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点横坐标。

因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。

当>

0时，图像与x轴有两个交点；

当=0时，图像与x轴有一个交点；

当<

0时，图像与x轴没有交点。

【例1】抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是.

【例2】二次函数有（）

A．最大值B．最小值

C．最大值D．最小值

【例3】由二次函数，可知（）

A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线

C．其最小值为1D．当时，y随x的增大而增大

【例4】已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）

A.B.C.且D.且

【例5】下列函数中,当x>

0时y值随x值增大而减小的是（）．

A．y=x2B．y=x－１C．y=xD．y=

【例6】若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（）

A．=lB．>

lC．≥lD．≤l

知识点五、二次函数图象的平移

①对于抛物线y=ax2+bx+c的平移

通常先将一般式转化成顶点式，再遵循左加右减，上加下减的的原则

化为顶点式有两种方法：

配方法，顶点坐标公式法。

在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。

②沿轴平移：

向上（下）平移（m＞0）个单位，变成（或）

③当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式

：

向左（右）平移（m＞0）个单位，变成（或）

【例1】将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）

A．B．C．D．

【例2】将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.

【例3】抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是（）

A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位

B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位

D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位

【补】抛物线y=2x2-3x-7在x轴上截得的线段的长度为______________

【公式】抛物线y=ax2+bx+c在x轴上截得的线段的长度为______________

知识点六：

抛物线中，a、b、c的作用

（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：

①时，对称轴为轴；

②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；

③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.口诀---左同，右异（a、b同号，对称轴在y轴左侧）

（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.

当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：

①，抛物线经过原点;

②,与轴交于正半轴；

③,与轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.

【例1】如图为抛物线的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（）

A．a＋b=－1　B．a－b=－1C．b<

2a　　　D．ac<

0

【例2】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）

A．a>

0B．b＜0C．c＜0D．a＋b＋c>

【例3】如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：

（1）；

（2）c>

1；

（3）2a－b<

（4）a+b+c<

0。

你认为其中错误的有（）A．2个B．3个C．4个D．1个

【例4】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：

①ac＜0；

②a+b=0；

③4ac－b2=4a；

④a+b+c＜0.其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4

【例5】如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：

①a+b+c=0；

②b＞2a；

③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；

④a-2b+c＞0．其中正确的命题是．（只要求填写正确命题的序号）

【例6】如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（）

A．m＝n，k＞hB．m＝n，k＜h

C．m＞n，k＝hD．m＜n，k＝h

知识点七：

中考二次函数压轴题中常用到的公式

1、两点间距离公式：

如图：

点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则AB间的距离，即线段AB的长度为（这实际上是根据勾股定理得出来的）

2、中点坐标公式：

如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，

，中点的坐标为．由，得，

同理，所以的中点坐标为．

3、两平行直线的解析式分别为：

y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1=k2，也就是说当我们知道一条直线的k值，就一定能知道与它平行的另一条直线的k值。

4、两垂直直线的解析式分别为：

y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1×

k2=-1，也就是说当我们知道一条直线的k值，就一定能知道与它垂直的另一条直线的k值。

（对于这一条，只要能灵活运用就行，不需要理解）

以上四条，我称它们为坐标系中的“四大金刚”

【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；

（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：

随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；

若不存在，请说明理由．

（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

【例2】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．

（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？

若能，求点E的坐标；

若不能，请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

【例3】如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边），与y轴交于C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过P作x轴的垂线l交抛物线于点Q。

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N。

试探究m为何值时，四边形