《复数》知识点总结Word格式文档下载.doc
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(3)复平面:
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,横轴为实轴,竖轴除去原点为虚轴.
(4)复数的模:
复数可以用复平面内的点表示,向量的模叫做复数的模,表示为:
(5)共轭复数:
两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做共轭复数.
2、复数的四则运算
(1)加减运算:
;
(2)乘法运算:
(3)除法运算:
(4)的幂运算:
,,,.
(5)
3、规律方法总结
(1)对于复数必须强调均为实数,方可得出实部为,虚部为
(2)复数是由它们的实部和虚部唯一确定的,两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数,既要从整体的角度去认识它,把复数看成一个整体,又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识
(3)对于两个复数,若不全是实数,则不能比较大小,在复数集里一般没有大小之分,但却有相等与不等之分.
(4)数系扩充后,数的概念由实数集扩充到复数集,实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了,如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等
1、基本概念计算类
例1.若且为纯虚数,则实数a的值为_________
解:
因为,=,
又为纯虚数,所以,3a-8=0,且6+4a0。
2、复数方程问题
例2.证明:
在复数范围内,方程(i为虚数单位)无解
证明:
原方程化简为设z=x+yi(x、y),代入上述方程得整理得
方程无实数解,所以原方程在复数范围内无解。
3、综合类
例3.设z是虚数,是实数,且-1<
<
2
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;
(2)设,求证:
M为纯虚数;
(3)求的最小值。
(1)设z=a+bi(a,b)
因为,是实数,
所以,,即|z|=1,因为=2a,-1<
2,
所以,z的实部的取值范围(-)
(2)=(这里利用了
(1)中)。
因为a(-),,所以M为纯虚数
(3)
因为,a(-),所以,a+1>
0,所以2×
2-3=1,
当a+1=,即a=0时上式取等号,所以,的最小值是1。
4、创新类
例4.对于任意两个复数)定义运算“⊙”为
⊙=,设非零复数在复平面内对应的点分别为,点O为坐标原点,若⊙=0,则在中,的大小为_________.
解法一:
(解析法)设,故得点,,且=0,即
从而有=故,也即
解法二:
(用复数的模)同法一的假设,知
=+-2()=+-2×
=+=+
由勾股定理的逆定理知
解法三:
(用向量数量积的知识)同法一的假设,知,则有
故
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