人教版红对勾届高考一轮数学理复习课时作业53Word文档格式.docx

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3．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（　A　）

C．3D．2

解法一：

设椭圆方程为＋＝1（a1＞b1＞0），离心率为e1，双曲线的方程为－＝1（a2＞0，b2＞0），离心率为e2，它们的焦距为2c，不妨设P为两曲线在第一象限的交点，F1，F2分别为左，右焦点，

则易知解得

在△F1PF2中，由余弦定理得（a1＋a2）2＋（a1－a2）2－2（a1＋a2）·

（a1－a2）cos60°

＝4c2，

整理得a＋3a＝4c2，

所以＋＝4，即＋＝4.

设a＝，b＝，

∴＋＝a·

b≤|a|·

|b|＝×

＝×

＝，故＋的最大值是，故选A.

解法二：

不妨设P在第一象限，

|PF1|＝m，|PF2|＝n.

在△PF1F2中，

由余弦定理得m2＋n2－mn＝4c2.

设椭圆的长轴长为2a1，离心率为e1，双曲线的实轴长为2a2，离心率为e2，它们的焦距为2c，则

＋＝＝＝.

∴2＝＝＝，

易知2－＋1的最小值为.

故max＝.故选A.

4．（2019·

贵阳模拟）已知双曲线x2－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：

y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x2－x1的最小值为（　A　）

A．2B．2

C．4D．3

∵直线l与圆相切，

∴原点到直线的距离d＝＝1，

∴m2＝1＋k2.

由得（1－k2）x2－2mkx－（m2＋1）＝0，

∴

∴k2＜1，∴－1＜k＜1，由于x1＋x2＝，

∴x2－x1＝＝＝，

∵0≤k2＜1，∴当k2＝0时，x2－x1取最小值2，故选A.

5．（2019·

河南郑州一模）如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点（2,4），圆C2：

x2＋y2－4x＋3＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则|PN|＋4|QM|的最小值为（　A　）

A．23B．42

C．12D．52

由题意可设抛物线C1的方程为y2＝2px（p＞0），因为抛物线C1过点（2,4），所以16＝2p×

2，得p＝4，所以y2＝8x.圆C2：

x2＋y2－4x＋3＝0，整理得（x－2）2＋y2＝1，可得圆心C2（2,0）恰好是抛物线y2＝8x的焦点，设P（x1，y1），Q（x2，y2），当直线l的斜率不存在时，l：

x＝2，所以P（2,4），Q（2，－4），所以|PN|＋4|QM|＝|PC2|＋|C2N|＋4|QC2|＋4|C2M|＝|PC2|＋4|QC2|＋5＝4＋4×

4＋5＝25.

当直线l的斜率存在且不为零时，可设l的方程为y＝k（x－2），联立可得k2（x－2）2＝8x，整理得k2x2－（4k2＋8）x＋4k2＝0，Δ＞0，则x1x2＝4，故x2＝，所以|PN|＋4|QM|＝|PC2|＋4|QC2|＋5＝x1＋＋4x2＋4×

＋5＝x1＋4x2＋15＝x1＋＋15≥2＋15＝8＋15＝23.因为23＜25，所以|PN|＋4|QM|的最小值为23.故选A.

6．（2018·

浙江卷）已知点P（0,1），椭圆＋y2＝m（m>

1）上两点A，B满足＝2，则当m＝　5　时，点B横坐标的绝对值最大．

本小题考查椭圆的标准方程，向量的坐标运算，二次函数的最值．

设B（t，u），由A＝2P，易得A（－2t,3－2u）．

∵点A，B都在椭圆上，∴

从而有＋3u2－12u＋9＝0，即＋u2＝4u－3.

即有4u－3＝m⇒u＝，∴＋＝m，

∴t2＝－m2＋m－＝－（m－5）2＋4.

∴当m＝5时，（t2）max＝4，即|t|max＝2，

即当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大．

7．（2019·

合肥模拟）若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则O·

F的最小值为　6　.

点P为椭圆＋＝1上的任意一点，设P（x，y）（－3≤x≤3，－2≤y≤2），依题意得左焦点F（－1,0），

∴O＝（x，y），F＝（x＋1，y），

∴O·

F＝x（x＋1）＋y2＝x2＋x＋

＝2＋.

∵－3≤x≤3，∴≤x＋≤，

∴≤2≤，

∴6≤2＋≤12，

即6≤O·

F≤12，故最小值为6.

8．（2019·

河北百校联盟联考）已知抛物线C：

x2＝8y的焦点为F，准线为l1，直线l2与抛物线C相切于点P，记点P到直线l1的距离为d1，点F到直线l2的距离为d2，则的最大值为　　.

依题意，得点F（0,2），因为y＝，所以y′＝，

设P（x0，y0），则直线l2：

y－y0＝（x－x0），即x－y－y0＝0，故点F到直线l2的距离d2＝＝＝·

，又点P到直线l1的距离d1＝|PF|＝y0＋2，所以＝×

≤×

＝，当且仅当＝，即y0＝0时，取等号，所以的最大值为.

9．（2018·

北京卷）已知抛物线C：

y2＝2px经过点P（1,2），过点Q（0,1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.

（1）求直线l的斜率的取值范围；

（2）设O为原点，＝λ，＝μ，求证：

＋为定值．

解：

（1）因为抛物线y2＝2px过点（1,2），所以2p＝4，即p＝2.

故抛物线C的方程为y2＝4x，

由题意知，直线l的斜率存在且不为0.

设直线l的方程为y＝kx＋1（k≠0）．

由得k2x2＋（2k－4）x＋1＝0.

依题意Δ＝（2k－4）2－4×

k2×

1＞0，

解得k＜0或0＜k＜1.

又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，－2）．

从而k≠－3.

所以直线l斜率的取值范围是

（－∞，－3）∪（－3,0）∪（0,1）．

（2）证明：

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由

（1）知x1＋x2＝－，x1x2＝.

直线PA的方程为y－2＝（x－1）．

令x＝0，得点M的纵坐标为

yM＝＋2＝＋2.

同理得点N的纵坐标为yN＝＋2.

由Q＝λQ，Q＝μQ得λ＝1－yM，μ＝1－yN.

所以＋＝＋＝＋＝·

＝·

＝2.

所以＋为定值．

10．（2016·

全国卷Ⅱ）已知椭圆E：

＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（1）当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；

（2）当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．

（1）设M（x1，y1），则由题意知y1＞0.

当t＝4时，E的方程为＋＝1，A（－2,0）．

由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.

由此直线AM的方程为y＝x＋2.

将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.

解得y＝0或y＝，所以y1＝.

因此△AMN的面积S△AMN＝2×

×

＝.

（2）由题意知，t＞3，k＞0，A（－，0）．将直线AM的方程y＝k（x＋）代入＋＝1得（3＋tk2）x2＋2·

tk2x＋t2k2－3t＝0.

由x1·

（－）＝得x1＝，

故|AM|＝|x1＋|＝.

由题设知，直线AN的方程为y＝－（x＋），故同理可得|AN|＝.

由2|AM＝|AN|得＝，

即（k3－2）t＝3k（2k－1）．

当k＝时上式不成立，

因此t＝.

t＞3等价于＝＜0，

即＜0.

由此得或

解得＜k＜2.

因此k的取值范围是（，2）．

11．已知椭圆C：

9x2＋y2＝m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

（1）证明：

直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（2）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？

若能，求此时l的斜率；

若不能，说明理由．

设直线l：

y＝kx＋b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）．

将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2得

（k2＋9）x2＋2kbx＋b2－m2＝0，

故xM＝＝，

yM＝kxM＋b＝.

于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·

k＝－9.

所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

（2）四边形OAPB能为平行四边形．

因为直线l过点，

所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3.

由

（1）得OM的方程为y＝－x.

设点P的横坐标为xp.

由

得x＝，即xp＝.

将点的坐标代入l的方程得b＝，因此xM＝.

四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xp＝2xM.

于是＝2×

，

解得k1＝4－，k2＝4＋.

因为ki＞0，ki≠3，i＝1,2，所以当l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形．

12．（2019·

潍坊模拟）已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）上动点P到两焦点F1，F2的距离之和为4，当点P运动到椭圆C的一个顶点时，直线PF1恰与以原点O为圆心，以椭圆C的离心率e为半径的圆相切．

（1）求椭圆C的方程．

（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，若PA，PB交直线x＝6于不同的两点M，N.问以线段MN为直径的圆是否过定点？

若是，请求出该定点的坐标；

若不是，请说明理由．

（1）由椭圆的定义可知2a＝4，a＝2，

若点P运动到椭圆的左、右顶点时，直线PF1与圆一定相交，故点P只能在椭圆的上、下顶点，不妨设点P为上顶点（0，b），F1为左焦点（－c,0），

则直线PF1：

bx－cy＋bc＝0，由题意得原点O到直线PF1的距离等于椭圆C的离心率e，所以＝，

所以c2＝3b2，又a2＝b2＋c2，

所以b＝1，

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

（2）由题意知直线PA，PB的斜率存在且都不为0.

设kPA＝k，点P（x0，y0），x0≠±

2，

又A（－2,0），B（2,0），

所以kPA·

kPB＝·

＝＝＝－，得kPB＝－，

直线PA的方程为y＝k（x＋2），

令x＝6，得y＝8k，故M（6,8k）；

直线PB的方程为y＝－（x－2），

令x＝6，得y＝－，故N（6，－）．

因为yM·

yN＝8k·

（－）＝－8<

0，所以以线段MN为直径的圆与x轴交于两点，设为G，H，并设MN与x轴的交点为K，在以线段