创优单元测评卷高中人教A版数学必修1单元测试第一章 第二章B卷含答案解析.docx
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创优单元测评卷高中人教A版数学必修1单元测试第一章第二章B卷含答案解析
高中同步创优单元测评
B卷数学
班级:
________ 姓名:
________ 得分:
________
创优单元测评
(第一章 第二章)
名校好题·能力卷]
(时间:
120分钟 满分:
150分)
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.80-lg100的值为( )
A.2 B.-2 C.-1 D.
2.已知f(x)=x,若0A.f(a)C.f(a)3.下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)( )A.loga5.1C.1.70.3>0.93.1D.log32.94.函数f(x)=loga(4x-3)过定点( )A.(1,0)B.C.(1,1)D.5.在同一坐标系中,当06.已知函数f(x)=则f的值是( )A.-3B.3C.D.-7.用固定的速度向如图形状的瓶子中注水,则水面的高度h和时间t之间的关系可用图象大致表示为( )8.已知f(x6)=log2x,那么f(8)等于( )A.B.8C.18D.9.函数y=的定义域是( )A.0,2)B.0,1)∪(1,2)C.(1,2)D.0,1)10.函数f(x)=lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为( )A.0B.1C.2D.311.已知函数f(x)在0,+∞)上是增函数,g(x)=-f(|x|),若g(lgx)>g(1),则x的取值范围是( )A.B.(0,10)C.(10,+∞)D.∪(10,+∞)12.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=( )A.-3B.-1C.1D.3第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)13.若xlog23=1,则3x=________.14.若点(2,)在幂函数y=f(x)的图象上,则f(x)=________.15.已知函数y=loga(a,b为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则a+b的值为__________.16.下列说法中,正确的是________.(填序号)①任取x>0,均有3x>2x;②当a>0且a≠1时,有a3>a2;③y=()-x是增函数;④y=2|x|的最小值为1;⑤在同一坐标系中,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)计算下列各式的值:(1)(×)6+()-(-2012)0;(2)lg5×lg20+(lg2)2. 18.(本小题满分12分)设f(x)=a-,x∈R.(其中a为常数)(1)若f(x)为奇函数,求a的值;(2)若不等式f(x)+a>0恒成立,求实数a的取值范围. 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(2+x),g(x)=lg(2-x),设h(x)=f(x)+g(x).(1)求函数h(x)的定义域;(2)判断函数h(x)的奇偶性,并说明理由. 20.(本小题满分14分)已知函数f(x)=log2|x|.(1)求函数f(x)的定义域及f(-)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 21.某种产品的成本f1(x)与年产量x之间的函数关系的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1),该产品的销售单价f2(x)与年销售量之间的函数关系图象(如图2),若生产出的产品都能在当年销售完.(1)求f1(x),f2(x)的解析式;(2)当年产量多少吨时,所获利润最大,并求出最大值. 22.(本小题满分12分)设f(x)=(m>0,n>0).(1)当m=n=1时,证明:f(x)不是奇函数;(2)设f(x)是奇函数,求m与n的值;(3)在(2)的条件下,求不等式f(f(x))+f<0的解集. 详解答案创优单元测评(第一章 第二章)名校好题·能力卷]1.C 解析:80-lg100=1-2=-1.2.C 解析:∵0又∵f(x)=x在(0,+∞)单调递增,∴f(a)3.C 解析:选项A,B均与01有关,排除;选项C既不同底数又不同指数,故取“1”比较,1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,所以1.70.3>0.93.1正确.选项D中,log32.9>0,log0.52.2<0,D不正确.解题技巧:比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用,其基本方法是:将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值,其主要方法可分以下三种:(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性),利用单调性的定义求解;(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性),常用的中间量如0,1,-1等;(3)采用数形结合的方法,通过函数的图象解决.4.A 解析:令4x-3=1可得x=1,故函数f(x)=loga(4x-3)过定点(1,0).5.C 解析:当06.C 解析:f=log2=-1,f=f(-1)=3-1=.7.B 解析:由题图可知,当t越来越大时,h的增长速度越来越快,而A,D是匀速增长的,瓶子应为直筒状,C表示的瓶子应是口大于底,故选B.8.D 解析:令x6=8可知x=±.又∵x>0,∴x=,∴f(8)=log2=log22=.9.B 解析:由题意可知,要使函数有意义,只需解得0≤x<2且x≠1.∴函数y=的定义域为0,1)∪(1,2).10.C 解析:g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=lnx与g(x)=(x-2)2的图象(如图).由图可得两个函数的图象有2个交点.11.A 解析:因为g(lgx)>g(1),所以f(|lgx|)(1),又f(x)在0,+∞)单调递增,所以0≤|lgx|<1,解得12.A 解析:∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.又x≥0时,f(x)=2x+2x+b,∴20+b=0,b=-1.∴当x≥0时,f(x)=2x+2x-1.∴f(1)=21+2×1-1=3.∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-3.13.2 解析:∵xlog23=1,∴x=log32,∴3x=3log32=2.解题技巧:注意换底公式与对数恒等式的应用.14.x 解析:设f(x)=xα(α为常数),由题意可知f(2)=2α=,∴α=,∴f(x)=x.15. 解析:将图象和两坐标轴的交点代入得logab=2,loga=0,+b=1,a2=b,从图象看出,00,解得a=,b=,a+b=.16.①④⑤ 解析:对于①,可知任取x>0,3x>2x一定成立.对于②,当0对于③,y=()-x=x,因为0<<1,故y=()-x是减函数,故③不正确.对于④,因为|x|≥0,∴y=2|x|的最小值为1,正确.对于⑤,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称,是正确的.(2)原式=lg5×lg(5×4)+(lg2)2=lg5×(lg5+lg4)+(lg2)2=(lg5)2+lg5lg4+(lg2)2=(lg5)2+2lg5lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.18.解:(1)因为x∈R,所以f(0)=0得a=1.(2)f(x)=a-,因为f(x)+a>0恒成立,即2a>恒成立.因为2x+1>1,所以0<<2,所以2a≥2,即a≥1.故a的取值范围是1,+∞).19.解:(1)∵h(x)=f(x)+g(x)=lg(x+2)+lg(2-x),要使函数h(x)有意义,则有解得-2所以,h(x)的定义域是(-2,2).(2)由(1)知,h(x)的定义域是(-2,2),定义域关于原点对称,又∵h(-x)=f(-x)+g(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=g(x)+f(x)=h(x),∴h(-x)=h(x),∴h(x)为偶函数.20.解:(1)依题意得|x|>0,解得x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f(-)=log2|-|=log22=.(2)设x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x),所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(3)f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.证明如下:设x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=log2|x1|-log2|x2|=log2.因为0所以log2<0,即f(x1)21.解:(1)设f1(x)=ax2,将(1000,1000)代入可得1000=a×10002,所以a=0.001,所以f1(x)=0.001x2.设f2(x)=kx+b,将(0,3),(1000,2)代入可得k=-0.001,b=3,所以f2(x)=-0.001x+3.(2)设利润为f(x),则f(x)=xf2(x)-f1(x)=(-0.001x+3)x-0.001x2=-0.002x2+3x=-0.002(x2-1500x+7502)+1125,所以当x=750时,f(x)max=1125.解题技巧:解应用题的一般思路可表示如下:22.(1)证明:当m=n=1时,f(x)=.由于f(1)==-,f(-1)==,所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数.(2)解:f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即=-对定义域内任意实数x成立.化简整理得(2m-n)·22x+(2mn-4)·2x+(2m-n)=0,这是关于x的恒等式,所以解得或经检验符合题意.(3)解:由(2)可知,f(x)==,易判断f(x)是R上单调减函数.由f(f(x))+f<0,得f(f(x))-,2x<3,得x即f(x)>0的解集为(-∞,log23).
A.f(a)C.f(a)3.下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)( )A.loga5.1C.1.70.3>0.93.1D.log32.94.函数f(x)=loga(4x-3)过定点( )A.(1,0)B.C.(1,1)D.5.在同一坐标系中,当06.已知函数f(x)=则f的值是( )A.-3B.3C.D.-7.用固定的速度向如图形状的瓶子中注水,则水面的高度h和时间t之间的关系可用图象大致表示为( )8.已知f(x6)=log2x,那么f(8)等于( )A.B.8C.18D.9.函数y=的定义域是( )A.0,2)B.0,1)∪(1,2)C.(1,2)D.0,1)10.函数f(x)=lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为( )A.0B.1C.2D.311.已知函数f(x)在0,+∞)上是增函数,g(x)=-f(|x|),若g(lgx)>g(1),则x的取值范围是( )A.B.(0,10)C.(10,+∞)D.∪(10,+∞)12.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=( )A.-3B.-1C.1D.3第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)13.若xlog23=1,则3x=________.14.若点(2,)在幂函数y=f(x)的图象上,则f(x)=________.15.已知函数y=loga(a,b为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则a+b的值为__________.16.下列说法中,正确的是________.(填序号)①任取x>0,均有3x>2x;②当a>0且a≠1时,有a3>a2;③y=()-x是增函数;④y=2|x|的最小值为1;⑤在同一坐标系中,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)计算下列各式的值:(1)(×)6+()-(-2012)0;(2)lg5×lg20+(lg2)2. 18.(本小题满分12分)设f(x)=a-,x∈R.(其中a为常数)(1)若f(x)为奇函数,求a的值;(2)若不等式f(x)+a>0恒成立,求实数a的取值范围. 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(2+x),g(x)=lg(2-x),设h(x)=f(x)+g(x).(1)求函数h(x)的定义域;(2)判断函数h(x)的奇偶性,并说明理由. 20.(本小题满分14分)已知函数f(x)=log2|x|.(1)求函数f(x)的定义域及f(-)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 21.某种产品的成本f1(x)与年产量x之间的函数关系的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1),该产品的销售单价f2(x)与年销售量之间的函数关系图象(如图2),若生产出的产品都能在当年销售完.(1)求f1(x),f2(x)的解析式;(2)当年产量多少吨时,所获利润最大,并求出最大值. 22.(本小题满分12分)设f(x)=(m>0,n>0).(1)当m=n=1时,证明:f(x)不是奇函数;(2)设f(x)是奇函数,求m与n的值;(3)在(2)的条件下,求不等式f(f(x))+f<0的解集. 详解答案创优单元测评(第一章 第二章)名校好题·能力卷]1.C 解析:80-lg100=1-2=-1.2.C 解析:∵0又∵f(x)=x在(0,+∞)单调递增,∴f(a)3.C 解析:选项A,B均与01有关,排除;选项C既不同底数又不同指数,故取“1”比较,1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,所以1.70.3>0.93.1正确.选项D中,log32.9>0,log0.52.2<0,D不正确.解题技巧:比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用,其基本方法是:将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值,其主要方法可分以下三种:(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性),利用单调性的定义求解;(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性),常用的中间量如0,1,-1等;(3)采用数形结合的方法,通过函数的图象解决.4.A 解析:令4x-3=1可得x=1,故函数f(x)=loga(4x-3)过定点(1,0).5.C 解析:当06.C 解析:f=log2=-1,f=f(-1)=3-1=.7.B 解析:由题图可知,当t越来越大时,h的增长速度越来越快,而A,D是匀速增长的,瓶子应为直筒状,C表示的瓶子应是口大于底,故选B.8.D 解析:令x6=8可知x=±.又∵x>0,∴x=,∴f(8)=log2=log22=.9.B 解析:由题意可知,要使函数有意义,只需解得0≤x<2且x≠1.∴函数y=的定义域为0,1)∪(1,2).10.C 解析:g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=lnx与g(x)=(x-2)2的图象(如图).由图可得两个函数的图象有2个交点.11.A 解析:因为g(lgx)>g(1),所以f(|lgx|)(1),又f(x)在0,+∞)单调递增,所以0≤|lgx|<1,解得12.A 解析:∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.又x≥0时,f(x)=2x+2x+b,∴20+b=0,b=-1.∴当x≥0时,f(x)=2x+2x-1.∴f(1)=21+2×1-1=3.∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-3.13.2 解析:∵xlog23=1,∴x=log32,∴3x=3log32=2.解题技巧:注意换底公式与对数恒等式的应用.14.x 解析:设f(x)=xα(α为常数),由题意可知f(2)=2α=,∴α=,∴f(x)=x.15. 解析:将图象和两坐标轴的交点代入得logab=2,loga=0,+b=1,a2=b,从图象看出,00,解得a=,b=,a+b=.16.①④⑤ 解析:对于①,可知任取x>0,3x>2x一定成立.对于②,当0对于③,y=()-x=x,因为0<<1,故y=()-x是减函数,故③不正确.对于④,因为|x|≥0,∴y=2|x|的最小值为1,正确.对于⑤,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称,是正确的.(2)原式=lg5×lg(5×4)+(lg2)2=lg5×(lg5+lg4)+(lg2)2=(lg5)2+lg5lg4+(lg2)2=(lg5)2+2lg5lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.18.解:(1)因为x∈R,所以f(0)=0得a=1.(2)f(x)=a-,因为f(x)+a>0恒成立,即2a>恒成立.因为2x+1>1,所以0<<2,所以2a≥2,即a≥1.故a的取值范围是1,+∞).19.解:(1)∵h(x)=f(x)+g(x)=lg(x+2)+lg(2-x),要使函数h(x)有意义,则有解得-2所以,h(x)的定义域是(-2,2).(2)由(1)知,h(x)的定义域是(-2,2),定义域关于原点对称,又∵h(-x)=f(-x)+g(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=g(x)+f(x)=h(x),∴h(-x)=h(x),∴h(x)为偶函数.20.解:(1)依题意得|x|>0,解得x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f(-)=log2|-|=log22=.(2)设x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x),所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(3)f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.证明如下:设x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=log2|x1|-log2|x2|=log2.因为0所以log2<0,即f(x1)21.解:(1)设f1(x)=ax2,将(1000,1000)代入可得1000=a×10002,所以a=0.001,所以f1(x)=0.001x2.设f2(x)=kx+b,将(0,3),(1000,2)代入可得k=-0.001,b=3,所以f2(x)=-0.001x+3.(2)设利润为f(x),则f(x)=xf2(x)-f1(x)=(-0.001x+3)x-0.001x2=-0.002x2+3x=-0.002(x2-1500x+7502)+1125,所以当x=750时,f(x)max=1125.解题技巧:解应用题的一般思路可表示如下:22.(1)证明:当m=n=1时,f(x)=.由于f(1)==-,f(-1)==,所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数.(2)解:f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即=-对定义域内任意实数x成立.化简整理得(2m-n)·22x+(2mn-4)·2x+(2m-n)=0,这是关于x的恒等式,所以解得或经检验符合题意.(3)解:由(2)可知,f(x)==,易判断f(x)是R上单调减函数.由f(f(x))+f<0,得f(f(x))-,2x<3,得x即f(x)>0的解集为(-∞,log23).
C.f(a)3.下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)( )A.loga5.1C.1.70.3>0.93.1D.log32.94.函数f(x)=loga(4x-3)过定点( )A.(1,0)B.C.(1,1)D.5.在同一坐标系中,当06.已知函数f(x)=则f的值是( )A.-3B.3C.D.-7.用固定的速度向如图形状的瓶子中注水,则水面的高度h和时间t之间的关系可用图象大致表示为( )8.已知f(x6)=log2x,那么f(8)等于( )A.B.8C.18D.9.函数y=的定义域是( )A.0,2)B.0,1)∪(1,2)C.(1,2)D.0,1)10.函数f(x)=lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为( )A.0B.1C.2D.311.已知函数f(x)在0,+∞)上是增函数,g(x)=-f(|x|),若g(lgx)>g(1),则x的取值范围是( )A.B.(0,10)C.(10,+∞)D.∪(10,+∞)12.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=( )A.-3B.-1C.1D.3第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)13.若xlog23=1,则3x=________.14.若点(2,)在幂函数y=f(x)的图象上,则f(x)=________.15.已知函数y=loga(a,b为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则a+b的值为__________.16.下列说法中,正确的是________.(填序号)①任取x>0,均有3x>2x;②当a>0且a≠1时,有a3>a2;③y=()-x是增函数;④y=2|x|的最小值为1;⑤在同一坐标系中,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)计算下列各式的值:(1)(×)6+()-(-2012)0;(2)lg5×lg20+(lg2)2. 18.(本小题满分12分)设f(x)=a-,x∈R.(其中a为常数)(1)若f(x)为奇函数,求a的值;(2)若不等式f(x)+a>0恒成立,求实数a的取值范围. 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(2+x),g(x)=lg(2-x),设h(x)=f(x)+g(x).(1)求函数h(x)的定义域;(2)判断函数h(x)的奇偶性,并说明理由. 20.(本小题满分14分)已知函数f(x)=log2|x|.(1)求函数f(x)的定义域及f(-)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 21.某种产品的成本f1(x)与年产量x之间的函数关系的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1),该产品的销售单价f2(x)与年销售量之间的函数关系图象(如图2),若生产出的产品都能在当年销售完.(1)求f1(x),f2(x)的解析式;(2)当年产量多少吨时,所获利润最大,并求出最大值. 22.(本小题满分12分)设f(x)=(m>0,n>0).(1)当m=n=1时,证明:f(x)不是奇函数;(2)设f(x)是奇函数,求m与n的值;(3)在(2)的条件下,求不等式f(f(x))+f<0的解集. 详解答案创优单元测评(第一章 第二章)名校好题·能力卷]1.C 解析:80-lg100=1-2=-1.2.C 解析:∵0又∵f(x)=x在(0,+∞)单调递增,∴f(a)3.C 解析:选项A,B均与01有关,排除;选项C既不同底数又不同指数,故取“1”比较,1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,所以1.70.3>0.93.1正确.选项D中,log32.9>0,log0.52.2<0,D不正确.解题技巧:比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用,其基本方法是:将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值,其主要方法可分以下三种:(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性),利用单调性的定义求解;(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性),常用的中间量如0,1,-1等;(3)采用数形结合的方法,通过函数的图象解决.4.A 解析:令4x-3=1可得x=1,故函数f(x)=loga(4x-3)过定点(1,0).5.C 解析:当06.C 解析:f=log2=-1,f=f(-1)=3-1=.7.B 解析:由题图可知,当t越来越大时,h的增长速度越来越快,而A,D是匀速增长的,瓶子应为直筒状,C表示的瓶子应是口大于底,故选B.8.D 解析:令x6=8可知x=±.又∵x>0,∴x=,∴f(8)=log2=log22=.9.B 解析:由题意可知,要使函数有意义,只需解得0≤x<2且x≠1.∴函数y=的定义域为0,1)∪(1,2).10.C 解析:g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=lnx与g(x)=(x-2)2的图象(如图).由图可得两个函数的图象有2个交点.11.A 解析:因为g(lgx)>g(1),所以f(|lgx|)(1),又f(x)在0,+∞)单调递增,所以0≤|lgx|<1,解得12.A 解析:∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.又x≥0时,f(x)=2x+2x+b,∴20+b=0,b=-1.∴当x≥0时,f(x)=2x+2x-1.∴f(1)=21+2×1-1=3.∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-3.13.2 解析:∵xlog23=1,∴x=log32,∴3x=3log32=2.解题技巧:注意换底公式与对数恒等式的应用.14.x 解析:设f(x)=xα(α为常数),由题意可知f(2)=2α=,∴α=,∴f(x)=x.15. 解析:将图象和两坐标轴的交点代入得logab=2,loga=0,+b=1,a2=b,从图象看出,00,解得a=,b=,a+b=.16.①④⑤ 解析:对于①,可知任取x>0,3x>2x一定成立.对于②,当0对于③,y=()-x=x,因为0<<1,故y=()-x是减函数,故③不正确.对于④,因为|x|≥0,∴y=2|x|的最小值为1,正确.对于⑤,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称,是正确的.(2)原式=lg5×lg(5×4)+(lg2)2=lg5×(lg5+lg4)+(lg2)2=(lg5)2+lg5lg4+(lg2)2=(lg5)2+2lg5lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.18.解:(1)因为x∈R,所以f(0)=0得a=1.(2)f(x)=a-,因为f(x)+a>0恒成立,即2a>恒成立.因为2x+1>1,所以0<<2,所以2a≥2,即a≥1.故a的取值范围是1,+∞).19.解:(1)∵h(x)=f(x)+g(x)=lg(x+2)+lg(2-x),要使函数h(x)有意义,则有解得-2所以,h(x)的定义域是(-2,2).(2)由(1)知,h(x)的定义域是(-2,2),定义域关于原点对称,又∵h(-x)=f(-x)+g(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=g(x)+f(x)=h(x),∴h(-x)=h(x),∴h(x)为偶函数.20.解:(1)依题意得|x|>0,解得x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f(-)=log2|-|=log22=.(2)设x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x),所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(3)f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.证明如下:设x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=log2|x1|-log2|x2|=log2.因为0所以log2<0,即f(x1)21.解:(1)设f1(x)=ax2,将(1000,1000)代入可得1000=a×10002,所以a=0.001,所以f1(x)=0.001x2.设f2(x)=kx+b,将(0,3),(1000,2)代入可得k=-0.001,b=3,所以f2(x)=-0.001x+3.(2)设利润为f(x),则f(x)=xf2(x)-f1(x)=(-0.001x+3)x-0.001x2=-0.002x2+3x=-0.002(x2-1500x+7502)+1125,所以当x=750时,f(x)max=1125.解题技巧:解应用题的一般思路可表示如下:22.(1)证明:当m=n=1时,f(x)=.由于f(1)==-,f(-1)==,所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数.(2)解:f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即=-对定义域内任意实数x成立.化简整理得(2m-n)·22x+(2mn-4)·2x+(2m-n)=0,这是关于x的恒等式,所以解得或经检验符合题意.(3)解:由(2)可知,f(x)==,易判断f(x)是R上单调减函数.由f(f(x))+f<0,得f(f(x))-,2x<3,得x即f(x)>0的解集为(-∞,log23).
3.下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)( )
A.loga5.1C.1.70.3>0.93.1D.log32.94.函数f(x)=loga(4x-3)过定点( )A.(1,0)B.C.(1,1)D.5.在同一坐标系中,当06.已知函数f(x)=则f的值是( )A.-3B.3C.D.-7.用固定的速度向如图形状的瓶子中注水,则水面的高度h和时间t之间的关系可用图象大致表示为( )8.已知f(x6)=log2x,那么f(8)等于( )A.B.8C.18D.9.函数y=的定义域是( )A.0,2)B.0,1)∪(1,2)C.(1,2)D.0,1)10.函数f(x)=lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为( )A.0B.1C.2D.311.已知函数f(x)在0,+∞)上是增函数,g(x)=-f(|x|),若g(lgx)>g(1),则x的取值范围是( )A.B.(0,10)C.(10,+∞)D.∪(10,+∞)12.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=( )A.-3B.-1C.1D.3第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)13.若xlog23=1,则3x=________.14.若点(2,)在幂函数y=f(x)的图象上,则f(x)=________.15.已知函数y=loga(a,b为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则a+b的值为__________.16.下列说法中,正确的是________.(填序号)①任取x>0,均有3x>2x;②当a>0且a≠1时,有a3>a2;③y=()-x是增函数;④y=2|x|的最小值为1;⑤在同一坐标系中,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)计算下列各式的值:(1)(×)6+()-(-2012)0;(2)lg5×lg20+(lg2)2. 18.(本小题满分12分)设f(x)=a-,x∈R.(其中a为常数)(1)若f(x)为奇函数,求a的值;(2)若不等式f(x)+a>0恒成立,求实数a的取值范围. 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(2+x),g(x)=lg(2-x),设h(x)=f(x)+g(x).(1)求函数h(x)的定义域;(2)判断函数h(x)的奇偶性,并说明理由. 20.(本小题满分14分)已知函数f(x)=log2|x|.(1)求函数f(x)的定义域及f(-)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 21.某种产品的成本f1(x)与年产量x之间的函数关系的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1),该产品的销售单价f2(x)与年销售量之间的函数关系图象(如图2),若生产出的产品都能在当年销售完.(1)求f1(x),f2(x)的解析式;(2)当年产量多少吨时,所获利润最大,并求出最大值. 22.(本小题满分12分)设f(x)=(m>0,n>0).(1)当m=n=1时,证明:f(x)不是奇函数;(2)设f(x)是奇函数,求m与n的值;(3)在(2)的条件下,求不等式f(f(x))+f<0的解集. 详解答案创优单元测评(第一章 第二章)名校好题·能力卷]1.C 解析:80-lg100=1-2=-1.2.C 解析:∵0又∵f(x)=x在(0,+∞)单调递增,∴f(a)3.C 解析:选项A,B均与01有关,排除;选项C既不同底数又不同指数,故取“1”比较,1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,所以1.70.3>0.93.1正确.选项D中,log32.9>0,log0.52.2<0,D不正确.解题技巧:比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用,其基本方法是:将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值,其主要方法可分以下三种:(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性),利用单调性的定义求解;(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性),常用的中间量如0,1,-1等;(3)采用数形结合的方法,通过函数的图象解决.4.A 解析:令4x-3=1可得x=1,故函数f(x)=loga(4x-3)过定点(1,0).5.C 解析:当06.C 解析:f=log2=-1,f=f(-1)=3-1=.7.B 解析:由题图可知,当t越来越大时,h的增长速度越来越快,而A,D是匀速增长的,瓶子应为直筒状,C表示的瓶子应是口大于底,故选B.8.D 解析:令x6=8可知x=±.又∵x>0,∴x=,∴f(8)=log2=log22=.9.B 解析:由题意可知,要使函数有意义,只需解得0≤x<2且x≠1.∴函数y=的定义域为0,1)∪(1,2).10.C 解析:g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=lnx与g(x)=(x-2)2的图象(如图).由图可得两个函数的图象有2个交点.11.A 解析:因为g(lgx)>g(1),所以f(|lgx|)(1),又f(x)在0,+∞)单调递增,所以0≤|lgx|<1,解得12.A 解析:∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.又x≥0时,f(x)=2x+2x+b,∴20+b=0,b=-1.∴当x≥0时,f(x)=2x+2x-1.∴f(1)=21+2×1-1=3.∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-3.13.2 解析:∵xlog23=1,∴x=log32,∴3x=3log32=2.解题技巧:注意换底公式与对数恒等式的应用.14.x 解析:设f(x)=xα(α为常数),由题意可知f(2)=2α=,∴α=,∴f(x)=x.15. 解析:将图象和两坐标轴的交点代入得logab=2,loga=0,+b=1,a2=b,从图象看出,00,解得a=,b=,a+b=.16.①④⑤ 解析:对于①,可知任取x>0,3x>2x一定成立.对于②,当0对于③,y=()-x=x,因为0<<1,故y=()-x是减函数,故③不正确.对于④,因为|x|≥0,∴y=2|x|的最小值为1,正确.对于⑤,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称,是正确的.(2)原式=lg5×lg(5×4)+(lg2)2=lg5×(lg5+lg4)+(lg2)2=(lg5)2+lg5lg4+(lg2)2=(lg5)2+2lg5lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.18.解:(1)因为x∈R,所以f(0)=0得a=1.(2)f(x)=a-,因为f(x)+a>0恒成立,即2a>恒成立.因为2x+1>1,所以0<<2,所以2a≥2,即a≥1.故a的取值范围是1,+∞).19.解:(1)∵h(x)=f(x)+g(x)=lg(x+2)+lg(2-x),要使函数h(x)有意义,则有解得-2所以,h(x)的定义域是(-2,2).(2)由(1)知,h(x)的定义域是(-2,2),定义域关于原点对称,又∵h(-x)=f(-x)+g(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=g(x)+f(x)=h(x),∴h(-x)=h(x),∴h(x)为偶函数.20.解:(1)依题意得|x|>0,解得x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f(-)=log2|-|=log22=.(2)设x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x),所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(3)f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.证明如下:设x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=log2|x1|-log2|x2|=log2.因为0所以log2<0,即f(x1)21.解:(1)设f1(x)=ax2,将(1000,1000)代入可得1000=a×10002,所以a=0.001,所以f1(x)=0.001x2.设f2(x)=kx+b,将(0,3),(1000,2)代入可得k=-0.001,b=3,所以f2(x)=-0.001x+3.(2)设利润为f(x),则f(x)=xf2(x)-f1(x)=(-0.001x+3)x-0.001x2=-0.002x2+3x=-0.002(x2-1500x+7502)+1125,所以当x=750时,f(x)max=1125.解题技巧:解应用题的一般思路可表示如下:22.(1)证明:当m=n=1时,f(x)=.由于f(1)==-,f(-1)==,所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数.(2)解:f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即=-对定义域内任意实数x成立.化简整理得(2m-n)·22x+(2mn-4)·2x+(2m-n)=0,这是关于x的恒等式,所以解得或经检验符合题意.(3)解:由(2)可知,f(x)==,易判断f(x)是R上单调减函数.由f(f(x))+f<0,得f(f(x))-,2x<3,得x即f(x)>0的解集为(-∞,log23).
C.1.70.3>0.93.1D.log32.94.函数f(x)=loga(4x-3)过定点( )A.(1,0)B.C.(1,1)D.5.在同一坐标系中,当06.已知函数f(x)=则f的值是( )A.-3B.3C.D.-7.用固定的速度向如图形状的瓶子中注水,则水面的高度h和时间t之间的关系可用图象大致表示为( )8.已知f(x6)=log2x,那么f(8)等于( )A.B.8C.18D.9.函数y=的定义域是( )A.0,2)B.0,1)∪(1,2)C.(1,2)D.0,1)10.函数f(x)=lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为( )A.0B.1C.2D.311.已知函数f(x)在0,+∞)上是增函数,g(x)=-f(|x|),若g(lgx)>g(1),则x的取值范围是( )A.B.(0,10)C.(10,+∞)D.∪(10,+∞)12.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=( )A.-3B.-1C.1D.3第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)13.若xlog23=1,则3x=________.14.若点(2,)在幂函数y=f(x)的图象上,则f(x)=________.15.已知函数y=loga(a,b为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则a+b的值为__________.16.下列说法中,正确的是________.(填序号)①任取x>0,均有3x>2x;②当a>0且a≠1时,有a3>a2;③y=()-x是增函数;④y=2|x|的最小值为1;⑤在同一坐标系中,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)计算下列各式的值:(1)(×)6+()-(-2012)0;(2)lg5×lg20+(lg2)2. 18.(本小题满分12分)设f(x)=a-,x∈R.(其中a为常数)(1)若f(x)为奇函数,求a的值;(2)若不等式f(x)+a>0恒成立,求实数a的取值范围. 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(2+x),g(x)=lg(2-x),设h(x)=f(x)+g(x).(1)求函数h(x)的定义域;(2)判断函数h(x)的奇偶性,并说明理由. 20.(本小题满分14分)已知函数f(x)=log2|x|.(1)求函数f(x)的定义域及f(-)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 21.某种产品的成本f1(x)与年产量x之间的函数关系的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1),该产品的销售单价f2(x)与年销售量之间的函数关系图象(如图2),若生产出的产品都能在当年销售完.(1)求f1(x),f2(x)的解析式;(2)当年产量多少吨时,所获利润最大,并求出最大值. 22.(本小题满分12分)设f(x)=(m>0,n>0).(1)当m=n=1时,证明:f(x)不是奇函数;(2)设f(x)是奇函数,求m与n的值;(3)在(2)的条件下,求不等式f(f(x))+f<0的解集. 详解答案创优单元测评(第一章 第二章)名校好题·能力卷]1.C 解析:80-lg100=1-2=-1.2.C 解析:∵0又∵f(x)=x在(0,+∞)单调递增,∴f(a)3.C 解析:选项A,B均与01有关,排除;选项C既不同底数又不同指数,故取“1”比较,1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,所以1.70.3>0.93.1正确.选项D中,log32.9>0,log0.52.2<0,D不正确.解题技巧:比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用,其基本方法是:将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值,其主要方法可分以下三种:(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性),利用单调性的定义求解;(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性),常用的中间量如0,1,-1等;(3)采用数形结合的方法,通过函数的图象解决.4.A 解析:令4x-3=1可得x=1,故函数f(x)=loga(4x-3)过定点(1,0).5.C 解析:当06.C 解析:f=log2=-1,f=f(-1)=3-1=.7.B 解析:由题图可知,当t越来越大时,h的增长速度越来越快,而A,D是匀速增长的,瓶子应为直筒状,C表示的瓶子应是口大于底,故选B.8.D 解析:令x6=8可知x=±.又∵x>0,∴x=,∴f(8)=log2=log22=.9.B 解析:由题意可知,要使函数有意义,只需解得0≤x<2且x≠1.∴函数y=的定义域为0,1)∪(1,2).10.C 解析:g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=lnx与g(x)=(x-2)2的图象(如图).由图可得两个函数的图象有2个交点.11.A 解析:因为g(lgx)>g(1),所以f(|lgx|)(1),又f(x)在0,+∞)单调递增,所以0≤|lgx|<1,解得12.A 解析:∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.又x≥0时,f(x)=2x+2x+b,∴20+b=0,b=-1.∴当x≥0时,f(x)=2x+2x-1.∴f(1)=21+2×1-1=3.∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-3.13.2 解析:∵xlog23=1,∴x=log32,∴3x=3log32=2.解题技巧:注意换底公式与对数恒等式的应用.14.x 解析:设f(x)=xα(α为常数),由题意可知f(2)=2α=,∴α=,∴f(x)=x.15. 解析:将图象和两坐标轴的交点代入得logab=2,loga=0,+b=1,a2=b,从图象看出,00,解得a=,b=,a+b=.16.①④⑤ 解析:对于①,可知任取x>0,3x>2x一定成立.对于②,当0对于③,y=()-x=x,因为0<<1,故y=()-x是减函数,故③不正确.对于④,因为|x|≥0,∴y=2|x|的最小值为1,正确.对于⑤,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称,是正确的.(2)原式=lg5×lg(5×4)+(lg2)2=lg5×(lg5+lg4)+(lg2)2=(lg5)2+lg5lg4+(lg2)2=(lg5)2+2lg5lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.18.解:(1)因为x∈R,所以f(0)=0得a=1.(2)f(x)=a-,因为f(x)+a>0恒成立,即2a>恒成立.因为2x+1>1,所以0<<2,所以2a≥2,即a≥1.故a的取值范围是1,+∞).19.解:(1)∵h(x)=f(x)+g(x)=lg(x+2)+lg(2-x),要使函数h(x)有意义,则有解得-2所以,h(x)的定义域是(-2,2).(2)由(1)知,h(x)的定义域是(-2,2),定义域关于原点对称,又∵h(-x)=f(-x)+g(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=g(x)+f(x)=h(x),∴h(-x)=h(x),∴h(x)为偶函数.20.解:(1)依题意得|x|>0,解得x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f(-)=log2|-|=log22=.(2)设x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x),所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(3)f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.证明如下:设x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=log2|x1|-log2|x2|=log2.因为0所以log2<0,即f(x1)21.解:(1)设f1(x)=ax2,将(1000,1000)代入可得1000=a×10002,所以a=0.001,所以f1(x)=0.001x2.设f2(x)=kx+b,将(0,3),(1000,2)代入可得k=-0.001,b=3,所以f2(x)=-0.001x+3.(2)设利润为f(x),则f(x)=xf2(x)-f1(x)=(-0.001x+3)x-0.001x2=-0.002x2+3x=-0.002(x2-1500x+7502)+1125,所以当x=750时,f(x)max=1125.解题技巧:解应用题的一般思路可表示如下:22.(1)证明:当m=n=1时,f(x)=.由于f(1)==-,f(-1)==,所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数.(2)解:f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即=-对定义域内任意实数x成立.化简整理得(2m-n)·22x+(2mn-4)·2x+(2m-n)=0,这是关于x的恒等式,所以解得或经检验符合题意.(3)解:由(2)可知,f(x)==,易判断f(x)是R上单调减函数.由f(f(x))+f<0,得f(f(x))-,2x<3,得x即f(x)>0的解集为(-∞,log23).
4.函数f(x)=loga(4x-3)过定点( )
A.(1,0)B.C.(1,1)D.
5.在同一坐标系中,当06.已知函数f(x)=则f的值是( )A.-3B.3C.D.-7.用固定的速度向如图形状的瓶子中注水,则水面的高度h和时间t之间的关系可用图象大致表示为( )8.已知f(x6)=log2x,那么f(8)等于( )A.B.8C.18D.9.函数y=的定义域是( )A.0,2)B.0,1)∪(1,2)C.(1,2)D.0,1)10.函数f(x)=lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为( )A.0B.1C.2D.311.已知函数f(x)在0,+∞)上是增函数,g(x)=-f(|x|),若g(lgx)>g(1),则x的取值范围是( )A.B.(0,10)C.(10,+∞)D.∪(10,+∞)12.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=( )A.-3B.-1C.1D.3第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)13.若xlog23=1,则3x=________.14.若点(2,)在幂函数y=f(x)的图象上,则f(x)=________.15.已知函数y=loga(a,b为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则a+b的值为__________.16.下列说法中,正确的是________.(填序号)①任取x>0,均有3x>2x;②当a>0且a≠1时,有a3>a2;③y=()-x是增函数;④y=2|x|的最小值为1;⑤在同一坐标系中,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)计算下列各式的值:(1)(×)6+()-(-2012)0;(2)lg5×lg20+(lg2)2. 18.(本小题满分12分)设f(x)=a-,x∈R.(其中a为常数)(1)若f(x)为奇函数,求a的值;(2)若不等式f(x)+a>0恒成立,求实数a的取值范围. 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(2+x),g(x)=lg(2-x),设h(x)=f(x)+g(x).(1)求函数h(x)的定义域;(2)判断函数h(x)的奇偶性,并说明理由. 20.(本小题满分14分)已知函数f(x)=log2|x|.(1)求函数f(x)的定义域及f(-)的值;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 21.某种产品的成本f1(x)与年产量x之间的函数关系的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1),该产品的销售单价f2(x)与年销售量之间的函数关系图象(如图2),若生产出的产品都能在当年销售完.(1)求f1(x),f2(x)的解析式;(2)当年产量多少吨时,所获利润最大,并求出最大值. 22.(本小题满分12分)设f(x)=(m>0,n>0).(1)当m=n=1时,证明:f(x)不是奇函数;(2)设f(x)是奇函数,求m与n的值;(3)在(2)的条件下,求不等式f(f(x))+f<0的解集. 详解答案创优单元测评(第一章 第二章)名校好题·能力卷]1.C 解析:80-lg100=1-2=-1.2.C 解析:∵0又∵f(x)=x在(0,+∞)单调递增,∴f(a)3.C 解析:选项A,B均与01有关,排除;选项C既不同底数又不同指数,故取“1”比较,1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,所以1.70.3>0.93.1正确.选项D中,log32.9>0,log0.52.2<0,D不正确.解题技巧:比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用,其基本方法是:将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值,其主要方法可分以下三种:(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性),利用单调性的定义求解;(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性),常用的中间量如0,1,-1等;(3)采用数形结合的方法,通过函数的图象解决.4.A 解析:令4x-3=1可得x=1,故函数f(x)=loga(4x-3)过定点(1,0).5.C 解析:当06.C 解析:f=log2=-1,f=f(-1)=3-1=.7.B 解析:由题图可知,当t越来越大时,h的增长速度越来越快,而A,D是匀速增长的,瓶子应为直筒状,C表示的瓶子应是口大于底,故选B.8.D 解析:令x6=8可知x=±.又∵x>0,∴x=,∴f(8)=log2=log22=.9.B 解析:由题意可知,要使函数有意义,只需解得0≤x<2且x≠1.∴函数y=的定义域为0,1)∪(1,2).10.C 解析:g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=lnx与g(x)=(x-2)2的图象(如图).由图可得两个函数的图象有2个交点.11.A 解析:因为g(lgx)>g(1),所以f(|lgx|)(1),又f(x)在0,+∞)单调递增,所以0≤|lgx|<1,解得12.A 解析:∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.又x≥0时,f(x)=2x+2x+b,∴20+b=0,b=-1.∴当x≥0时,f(x)=2x+2x-1.∴f(1)=21+2×1-1=3.∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-3.13.2 解析:∵xlog23=1,∴x=log32,∴3x=3log32=2.解题技巧:注意换底公式与对数恒等式的应用.14.x 解析:设f(x)=xα(α为常数),由题意可知f(2)=2α=,∴α=,∴f(x)=x.15. 解析:将图象和两坐标轴的交点代入得logab=2,loga=0,+b=1,a2=b,从图象看出,00,解得a=,b=,a+b=.16.①④⑤ 解析:对于①,可知任取x>0,3x>2x一定成立.对于②,当0对于③,y=()-x=x,因为0<<1,故y=()-x是减函数,故③不正确.对于④,因为|x|≥0,∴y=2|x|的最小值为1,正确.对于⑤,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称,是正确的.(2)原式=lg5×lg(5×4)+(lg2)2=lg5×(lg5+lg4)+(lg2)2=(lg5)2+lg5lg4+(lg2)2=(lg5)2+2lg5lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.18.解:(1)因为x∈R,所以f(0)=0得a=1.(2)f(x)=a-,因为f(x)+a>0恒成立,即2a>恒成立.因为2x+1>1,所以0<<2,所以2a≥2,即a≥1.故a的取值范围是1,+∞).19.解:(1)∵h(x)=f(x)+g(x)=lg(x+2)+lg(2-x),要使函数h(x)有意义,则有解得-2所以,h(x)的定义域是(-2,2).(2)由(1)知,h(x)的定义域是(-2,2),定义域关于原点对称,又∵h(-x)=f(-x)+g(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=g(x)+f(x)=h(x),∴h(-x)=h(x),∴h(x)为偶函数.20.解:(1)依题意得|x|>0,解得x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f(-)=log2|-|=log22=.(2)设x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x),所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(3)f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.证明如下:设x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=log2|x1|-log2|x2|=log2.因为0所以log2<0,即f(x1)21.解:(1)设f1(x)=ax2,将(1000,1000)代入可得1000=a×10002,所以a=0.001,所以f1(x)=0.001x2.设f2(x)=kx+b,将(0,3),(1000,2)代入可得k=-0.001,b=3,所以f2(x)=-0.001x+3.(2)设利润为f(x),则f(x)=xf2(x)-f1(x)=(-0.001x+3)x-0.001x2=-0.002x2+3x=-0.002(x2-1500x+7502)+1125,所以当x=750时,f(x)max=1125.解题技巧:解应用题的一般思路可表示如下:22.(1)证明:当m=n=1时,f(x)=.由于f(1)==-,f(-1)==,所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数.(2)解:f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即=-对定义域内任意实数x成立.化简整理得(2m-n)·22x+(2mn-4)·2x+(2m-n)=0,这是关于x的恒等式,所以解得或经检验符合题意.(3)解:由(2)可知,f(x)==,易判断f(x)是R上单调减函数.由f(f(x))+f<0,得f(f(x))-,2x<3,得x即f(x)>0的解集为(-∞,log23).
6.已知函数f(x)=则f的值是( )
A.-3B.3C.D.-
7.用固定的速度向如图形状的瓶子中注水,则水面的高度h和时间t之间的关系可用图象大致表示为( )
8.已知f(x6)=log2x,那么f(8)等于( )
A.B.8C.18D.
9.函数y=的定义域是( )
A.0,2)B.0,1)∪(1,2)
C.(1,2)D.0,1)
10.函数f(x)=lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为( )
A.0B.1C.2D.3
11.已知函数f(x)在0,+∞)上是增函数,g(x)=-f(|x|),若g(lgx)>g
(1),则x的取值范围是( )
A.B.(0,10)
C.(10,+∞)D.∪(10,+∞)
12.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=( )
A.-3B.-1C.1D.3
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)
13.若xlog23=1,则3x=________.
14.若点(2,)在幂函数y=f(x)的图象上,则f(x)=________.
15.已知函数y=loga(a,b为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则a+b的值为__________.
16.下列说法中,正确的是________.(填序号)
①任取x>0,均有3x>2x;
②当a>0且a≠1时,有a3>a2;
③y=()-x是增函数;
④y=2|x|的最小值为1;
⑤在同一坐标系中,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
计算下列各式的值:
(1)(×)6+()-(-2012)0;
(2)lg5×lg20+(lg2)2.
18.(本小题满分12分)
设f(x)=a-,x∈R.(其中a为常数)
(1)若f(x)为奇函数,求a的值;
(2)若不等式f(x)+a>0恒成立,求实数a的取值范围.
19.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=lg(2+x),g(x)=lg(2-x),设h(x)=f(x)+g(x).
(1)求函数h(x)的定义域;
(2)判断函数h(x)的奇偶性,并说明理由.
20.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=log2|x|.
(1)求函数f(x)的定义域及f(-)的值;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.
21.某种产品的成本f1(x)与年产量x之间的函数关系的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1),该产品的销售单价f2(x)与年销售量之间的函数关系图象(如图2),若生产出的产品都能在当年销售完.
(1)求f1(x),f2(x)的解析式;
(2)当年产量多少吨时,所获利润最大,并求出最大值.
22.(本小题满分12分)
设f(x)=(m>0,n>0).
(1)当m=n=1时,证明:
f(x)不是奇函数;
(2)设f(x)是奇函数,求m与n的值;
(3)在
(2)的条件下,求不等式f(f(x))+f<0的解集.
详解答案
1.C 解析:
80-lg100=1-2=-1.
2.C 解析:
∵0又∵f(x)=x在(0,+∞)单调递增,∴f(a)3.C 解析:选项A,B均与01有关,排除;选项C既不同底数又不同指数,故取“1”比较,1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,所以1.70.3>0.93.1正确.选项D中,log32.9>0,log0.52.2<0,D不正确.解题技巧:比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用,其基本方法是:将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值,其主要方法可分以下三种:(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性),利用单调性的定义求解;(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性),常用的中间量如0,1,-1等;(3)采用数形结合的方法,通过函数的图象解决.4.A 解析:令4x-3=1可得x=1,故函数f(x)=loga(4x-3)过定点(1,0).5.C 解析:当06.C 解析:f=log2=-1,f=f(-1)=3-1=.7.B 解析:由题图可知,当t越来越大时,h的增长速度越来越快,而A,D是匀速增长的,瓶子应为直筒状,C表示的瓶子应是口大于底,故选B.8.D 解析:令x6=8可知x=±.又∵x>0,∴x=,∴f(8)=log2=log22=.9.B 解析:由题意可知,要使函数有意义,只需解得0≤x<2且x≠1.∴函数y=的定义域为0,1)∪(1,2).10.C 解析:g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=lnx与g(x)=(x-2)2的图象(如图).由图可得两个函数的图象有2个交点.11.A 解析:因为g(lgx)>g(1),所以f(|lgx|)(1),又f(x)在0,+∞)单调递增,所以0≤|lgx|<1,解得12.A 解析:∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.又x≥0时,f(x)=2x+2x+b,∴20+b=0,b=-1.∴当x≥0时,f(x)=2x+2x-1.∴f(1)=21+2×1-1=3.∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-3.13.2 解析:∵xlog23=1,∴x=log32,∴3x=3log32=2.解题技巧:注意换底公式与对数恒等式的应用.14.x 解析:设f(x)=xα(α为常数),由题意可知f(2)=2α=,∴α=,∴f(x)=x.15. 解析:将图象和两坐标轴的交点代入得logab=2,loga=0,+b=1,a2=b,从图象看出,00,解得a=,b=,a+b=.16.①④⑤ 解析:对于①,可知任取x>0,3x>2x一定成立.对于②,当0对于③,y=()-x=x,因为0<<1,故y=()-x是减函数,故③不正确.对于④,因为|x|≥0,∴y=2|x|的最小值为1,正确.对于⑤,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称,是正确的.(2)原式=lg5×lg(5×4)+(lg2)2=lg5×(lg5+lg4)+(lg2)2=(lg5)2+lg5lg4+(lg2)2=(lg5)2+2lg5lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.18.解:(1)因为x∈R,所以f(0)=0得a=1.(2)f(x)=a-,因为f(x)+a>0恒成立,即2a>恒成立.因为2x+1>1,所以0<<2,所以2a≥2,即a≥1.故a的取值范围是1,+∞).19.解:(1)∵h(x)=f(x)+g(x)=lg(x+2)+lg(2-x),要使函数h(x)有意义,则有解得-2所以,h(x)的定义域是(-2,2).(2)由(1)知,h(x)的定义域是(-2,2),定义域关于原点对称,又∵h(-x)=f(-x)+g(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=g(x)+f(x)=h(x),∴h(-x)=h(x),∴h(x)为偶函数.20.解:(1)依题意得|x|>0,解得x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f(-)=log2|-|=log22=.(2)设x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x),所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(3)f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.证明如下:设x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=log2|x1|-log2|x2|=log2.因为0所以log2<0,即f(x1)21.解:(1)设f1(x)=ax2,将(1000,1000)代入可得1000=a×10002,所以a=0.001,所以f1(x)=0.001x2.设f2(x)=kx+b,将(0,3),(1000,2)代入可得k=-0.001,b=3,所以f2(x)=-0.001x+3.(2)设利润为f(x),则f(x)=xf2(x)-f1(x)=(-0.001x+3)x-0.001x2=-0.002x2+3x=-0.002(x2-1500x+7502)+1125,所以当x=750时,f(x)max=1125.解题技巧:解应用题的一般思路可表示如下:22.(1)证明:当m=n=1时,f(x)=.由于f(1)==-,f(-1)==,所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数.(2)解:f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即=-对定义域内任意实数x成立.化简整理得(2m-n)·22x+(2mn-4)·2x+(2m-n)=0,这是关于x的恒等式,所以解得或经检验符合题意.(3)解:由(2)可知,f(x)==,易判断f(x)是R上单调减函数.由f(f(x))+f<0,得f(f(x))-,2x<3,得x即f(x)>0的解集为(-∞,log23).
又∵f(x)=x在(0,+∞)单调递增,
∴f(a)3.C 解析:选项A,B均与01有关,排除;选项C既不同底数又不同指数,故取“1”比较,1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,所以1.70.3>0.93.1正确.选项D中,log32.9>0,log0.52.2<0,D不正确.解题技巧:比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用,其基本方法是:将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值,其主要方法可分以下三种:(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性),利用单调性的定义求解;(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性),常用的中间量如0,1,-1等;(3)采用数形结合的方法,通过函数的图象解决.4.A 解析:令4x-3=1可得x=1,故函数f(x)=loga(4x-3)过定点(1,0).5.C 解析:当06.C 解析:f=log2=-1,f=f(-1)=3-1=.7.B 解析:由题图可知,当t越来越大时,h的增长速度越来越快,而A,D是匀速增长的,瓶子应为直筒状,C表示的瓶子应是口大于底,故选B.8.D 解析:令x6=8可知x=±.又∵x>0,∴x=,∴f(8)=log2=log22=.9.B 解析:由题意可知,要使函数有意义,只需解得0≤x<2且x≠1.∴函数y=的定义域为0,1)∪(1,2).10.C 解析:g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=lnx与g(x)=(x-2)2的图象(如图).由图可得两个函数的图象有2个交点.11.A 解析:因为g(lgx)>g(1),所以f(|lgx|)(1),又f(x)在0,+∞)单调递增,所以0≤|lgx|<1,解得12.A 解析:∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.又x≥0时,f(x)=2x+2x+b,∴20+b=0,b=-1.∴当x≥0时,f(x)=2x+2x-1.∴f(1)=21+2×1-1=3.∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-3.13.2 解析:∵xlog23=1,∴x=log32,∴3x=3log32=2.解题技巧:注意换底公式与对数恒等式的应用.14.x 解析:设f(x)=xα(α为常数),由题意可知f(2)=2α=,∴α=,∴f(x)=x.15. 解析:将图象和两坐标轴的交点代入得logab=2,loga=0,+b=1,a2=b,从图象看出,00,解得a=,b=,a+b=.16.①④⑤ 解析:对于①,可知任取x>0,3x>2x一定成立.对于②,当0对于③,y=()-x=x,因为0<<1,故y=()-x是减函数,故③不正确.对于④,因为|x|≥0,∴y=2|x|的最小值为1,正确.对于⑤,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称,是正确的.(2)原式=lg5×lg(5×4)+(lg2)2=lg5×(lg5+lg4)+(lg2)2=(lg5)2+lg5lg4+(lg2)2=(lg5)2+2lg5lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.18.解:(1)因为x∈R,所以f(0)=0得a=1.(2)f(x)=a-,因为f(x)+a>0恒成立,即2a>恒成立.因为2x+1>1,所以0<<2,所以2a≥2,即a≥1.故a的取值范围是1,+∞).19.解:(1)∵h(x)=f(x)+g(x)=lg(x+2)+lg(2-x),要使函数h(x)有意义,则有解得-2所以,h(x)的定义域是(-2,2).(2)由(1)知,h(x)的定义域是(-2,2),定义域关于原点对称,又∵h(-x)=f(-x)+g(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=g(x)+f(x)=h(x),∴h(-x)=h(x),∴h(x)为偶函数.20.解:(1)依题意得|x|>0,解得x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f(-)=log2|-|=log22=.(2)设x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x),所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(3)f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.证明如下:设x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=log2|x1|-log2|x2|=log2.因为0所以log2<0,即f(x1)21.解:(1)设f1(x)=ax2,将(1000,1000)代入可得1000=a×10002,所以a=0.001,所以f1(x)=0.001x2.设f2(x)=kx+b,将(0,3),(1000,2)代入可得k=-0.001,b=3,所以f2(x)=-0.001x+3.(2)设利润为f(x),则f(x)=xf2(x)-f1(x)=(-0.001x+3)x-0.001x2=-0.002x2+3x=-0.002(x2-1500x+7502)+1125,所以当x=750时,f(x)max=1125.解题技巧:解应用题的一般思路可表示如下:22.(1)证明:当m=n=1时,f(x)=.由于f(1)==-,f(-1)==,所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数.(2)解:f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即=-对定义域内任意实数x成立.化简整理得(2m-n)·22x+(2mn-4)·2x+(2m-n)=0,这是关于x的恒等式,所以解得或经检验符合题意.(3)解:由(2)可知,f(x)==,易判断f(x)是R上单调减函数.由f(f(x))+f<0,得f(f(x))-,2x<3,得x即f(x)>0的解集为(-∞,log23).
3.C 解析:
选项A,B均与01有关,排除;选项C既不同底数又不同指数,故取“1”比较,1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1,所以1.70.3>0.93.1正确.选项D中,log32.9>0,log0.52.2<0,D不正确.
解题技巧:
比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用,其基本方法是:
将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值,其主要方法可分以下三种:
(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性),利用单调性的定义求解;
(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性),常用的中间量如0,1,-1等;
(3)采用数形结合的方法,通过函数的图象解决.
4.A 解析:
令4x-3=1可得x=1,故函数f(x)=loga(4x-3)过定点(1,0).
5.C 解析:
当06.C 解析:f=log2=-1,f=f(-1)=3-1=.7.B 解析:由题图可知,当t越来越大时,h的增长速度越来越快,而A,D是匀速增长的,瓶子应为直筒状,C表示的瓶子应是口大于底,故选B.8.D 解析:令x6=8可知x=±.又∵x>0,∴x=,∴f(8)=log2=log22=.9.B 解析:由题意可知,要使函数有意义,只需解得0≤x<2且x≠1.∴函数y=的定义域为0,1)∪(1,2).10.C 解析:g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=lnx与g(x)=(x-2)2的图象(如图).由图可得两个函数的图象有2个交点.11.A 解析:因为g(lgx)>g(1),所以f(|lgx|)(1),又f(x)在0,+∞)单调递增,所以0≤|lgx|<1,解得12.A 解析:∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.又x≥0时,f(x)=2x+2x+b,∴20+b=0,b=-1.∴当x≥0时,f(x)=2x+2x-1.∴f(1)=21+2×1-1=3.∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-3.13.2 解析:∵xlog23=1,∴x=log32,∴3x=3log32=2.解题技巧:注意换底公式与对数恒等式的应用.14.x 解析:设f(x)=xα(α为常数),由题意可知f(2)=2α=,∴α=,∴f(x)=x.15. 解析:将图象和两坐标轴的交点代入得logab=2,loga=0,+b=1,a2=b,从图象看出,00,解得a=,b=,a+b=.16.①④⑤ 解析:对于①,可知任取x>0,3x>2x一定成立.对于②,当0对于③,y=()-x=x,因为0<<1,故y=()-x是减函数,故③不正确.对于④,因为|x|≥0,∴y=2|x|的最小值为1,正确.对于⑤,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称,是正确的.(2)原式=lg5×lg(5×4)+(lg2)2=lg5×(lg5+lg4)+(lg2)2=(lg5)2+lg5lg4+(lg2)2=(lg5)2+2lg5lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.18.解:(1)因为x∈R,所以f(0)=0得a=1.(2)f(x)=a-,因为f(x)+a>0恒成立,即2a>恒成立.因为2x+1>1,所以0<<2,所以2a≥2,即a≥1.故a的取值范围是1,+∞).19.解:(1)∵h(x)=f(x)+g(x)=lg(x+2)+lg(2-x),要使函数h(x)有意义,则有解得-2所以,h(x)的定义域是(-2,2).(2)由(1)知,h(x)的定义域是(-2,2),定义域关于原点对称,又∵h(-x)=f(-x)+g(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=g(x)+f(x)=h(x),∴h(-x)=h(x),∴h(x)为偶函数.20.解:(1)依题意得|x|>0,解得x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f(-)=log2|-|=log22=.(2)设x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x),所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(3)f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.证明如下:设x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=log2|x1|-log2|x2|=log2.因为0所以log2<0,即f(x1)21.解:(1)设f1(x)=ax2,将(1000,1000)代入可得1000=a×10002,所以a=0.001,所以f1(x)=0.001x2.设f2(x)=kx+b,将(0,3),(1000,2)代入可得k=-0.001,b=3,所以f2(x)=-0.001x+3.(2)设利润为f(x),则f(x)=xf2(x)-f1(x)=(-0.001x+3)x-0.001x2=-0.002x2+3x=-0.002(x2-1500x+7502)+1125,所以当x=750时,f(x)max=1125.解题技巧:解应用题的一般思路可表示如下:22.(1)证明:当m=n=1时,f(x)=.由于f(1)==-,f(-1)==,所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数.(2)解:f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即=-对定义域内任意实数x成立.化简整理得(2m-n)·22x+(2mn-4)·2x+(2m-n)=0,这是关于x的恒等式,所以解得或经检验符合题意.(3)解:由(2)可知,f(x)==,易判断f(x)是R上单调减函数.由f(f(x))+f<0,得f(f(x))-,2x<3,得x即f(x)>0的解集为(-∞,log23).
6.C 解析:
f=log2=-1,f=f(-1)=3-1=.
7.B 解析:
由题图可知,当t越来越大时,h的增长速度越来越快,而A,D是匀速增长的,瓶子应为直筒状,C表示的瓶子应是口大于底,故选B.
8.D 解析:
令x6=8可知x=±.又∵x>0,∴x=,
∴f(8)=log2=log22=.
9.B 解析:
由题意可知,要使函数有意义,只需
解得0≤x<2且x≠1.
∴函数y=的定义域为0,1)∪(1,2).
10.C 解析:
g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=lnx与g(x)=(x-2)2的图象(如图).由图可得两个函数的图象有2个交点.
11.A 解析:
因为g(lgx)>g
(1),所以f(|lgx|)(1),又f(x)在0,+∞)单调递增,所以0≤|lgx|<1,解得12.A 解析:∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.又x≥0时,f(x)=2x+2x+b,∴20+b=0,b=-1.∴当x≥0时,f(x)=2x+2x-1.∴f(1)=21+2×1-1=3.∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-3.13.2 解析:∵xlog23=1,∴x=log32,∴3x=3log32=2.解题技巧:注意换底公式与对数恒等式的应用.14.x 解析:设f(x)=xα(α为常数),由题意可知f(2)=2α=,∴α=,∴f(x)=x.15. 解析:将图象和两坐标轴的交点代入得logab=2,loga=0,+b=1,a2=b,从图象看出,00,解得a=,b=,a+b=.16.①④⑤ 解析:对于①,可知任取x>0,3x>2x一定成立.对于②,当0对于③,y=()-x=x,因为0<<1,故y=()-x是减函数,故③不正确.对于④,因为|x|≥0,∴y=2|x|的最小值为1,正确.对于⑤,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称,是正确的.(2)原式=lg5×lg(5×4)+(lg2)2=lg5×(lg5+lg4)+(lg2)2=(lg5)2+lg5lg4+(lg2)2=(lg5)2+2lg5lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.18.解:(1)因为x∈R,所以f(0)=0得a=1.(2)f(x)=a-,因为f(x)+a>0恒成立,即2a>恒成立.因为2x+1>1,所以0<<2,所以2a≥2,即a≥1.故a的取值范围是1,+∞).19.解:(1)∵h(x)=f(x)+g(x)=lg(x+2)+lg(2-x),要使函数h(x)有意义,则有解得-2所以,h(x)的定义域是(-2,2).(2)由(1)知,h(x)的定义域是(-2,2),定义域关于原点对称,又∵h(-x)=f(-x)+g(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=g(x)+f(x)=h(x),∴h(-x)=h(x),∴h(x)为偶函数.20.解:(1)依题意得|x|>0,解得x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f(-)=log2|-|=log22=.(2)设x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x),所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(3)f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.证明如下:设x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=log2|x1|-log2|x2|=log2.因为0所以log2<0,即f(x1)21.解:(1)设f1(x)=ax2,将(1000,1000)代入可得1000=a×10002,所以a=0.001,所以f1(x)=0.001x2.设f2(x)=kx+b,将(0,3),(1000,2)代入可得k=-0.001,b=3,所以f2(x)=-0.001x+3.(2)设利润为f(x),则f(x)=xf2(x)-f1(x)=(-0.001x+3)x-0.001x2=-0.002x2+3x=-0.002(x2-1500x+7502)+1125,所以当x=750时,f(x)max=1125.解题技巧:解应用题的一般思路可表示如下:22.(1)证明:当m=n=1时,f(x)=.由于f(1)==-,f(-1)==,所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数.(2)解:f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即=-对定义域内任意实数x成立.化简整理得(2m-n)·22x+(2mn-4)·2x+(2m-n)=0,这是关于x的恒等式,所以解得或经检验符合题意.(3)解:由(2)可知,f(x)==,易判断f(x)是R上单调减函数.由f(f(x))+f<0,得f(f(x))-,2x<3,得x即f(x)>0的解集为(-∞,log23).
(1),又f(x)在0,+∞)单调递增,所以0≤|lgx|<1,解得12.A 解析:∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.又x≥0时,f(x)=2x+2x+b,∴20+b=0,b=-1.∴当x≥0时,f(x)=2x+2x-1.∴f(1)=21+2×1-1=3.∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-3.13.2 解析:∵xlog23=1,∴x=log32,∴3x=3log32=2.解题技巧:注意换底公式与对数恒等式的应用.14.x 解析:设f(x)=xα(α为常数),由题意可知f(2)=2α=,∴α=,∴f(x)=x.15. 解析:将图象和两坐标轴的交点代入得logab=2,loga=0,+b=1,a2=b,从图象看出,00,解得a=,b=,a+b=.16.①④⑤ 解析:对于①,可知任取x>0,3x>2x一定成立.对于②,当0对于③,y=()-x=x,因为0<<1,故y=()-x是减函数,故③不正确.对于④,因为|x|≥0,∴y=2|x|的最小值为1,正确.对于⑤,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称,是正确的.(2)原式=lg5×lg(5×4)+(lg2)2=lg5×(lg5+lg4)+(lg2)2=(lg5)2+lg5lg4+(lg2)2=(lg5)2+2lg5lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.18.解:(1)因为x∈R,所以f(0)=0得a=1.(2)f(x)=a-,因为f(x)+a>0恒成立,即2a>恒成立.因为2x+1>1,所以0<<2,所以2a≥2,即a≥1.故a的取值范围是1,+∞).19.解:(1)∵h(x)=f(x)+g(x)=lg(x+2)+lg(2-x),要使函数h(x)有意义,则有解得-2所以,h(x)的定义域是(-2,2).(2)由(1)知,h(x)的定义域是(-2,2),定义域关于原点对称,又∵h(-x)=f(-x)+g(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=g(x)+f(x)=h(x),∴h(-x)=h(x),∴h(x)为偶函数.20.解:(1)依题意得|x|>0,解得x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f(-)=log2|-|=log22=.(2)设x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x),所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(3)f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.证明如下:设x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=log2|x1|-log2|x2|=log2.因为0所以log2<0,即f(x1)21.解:(1)设f1(x)=ax2,将(1000,1000)代入可得1000=a×10002,所以a=0.001,所以f1(x)=0.001x2.设f2(x)=kx+b,将(0,3),(1000,2)代入可得k=-0.001,b=3,所以f2(x)=-0.001x+3.(2)设利润为f(x),则f(x)=xf2(x)-f1(x)=(-0.001x+3)x-0.001x2=-0.002x2+3x=-0.002(x2-1500x+7502)+1125,所以当x=750时,f(x)max=1125.解题技巧:解应用题的一般思路可表示如下:22.(1)证明:当m=n=1时,f(x)=.由于f(1)==-,f(-1)==,所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数.(2)解:f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即=-对定义域内任意实数x成立.化简整理得(2m-n)·22x+(2mn-4)·2x+(2m-n)=0,这是关于x的恒等式,所以解得或经检验符合题意.(3)解:由(2)可知,f(x)==,易判断f(x)是R上单调减函数.由f(f(x))+f<0,得f(f(x))-,2x<3,得x即f(x)>0的解集为(-∞,log23).
12.A 解析:
∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.
又x≥0时,f(x)=2x+2x+b,∴20+b=0,b=-1.
∴当x≥0时,f(x)=2x+2x-1.
∴f
(1)=21+2×1-1=3.
∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-1)=-f
(1)=-3.
13.2 解析:
∵xlog23=1,∴x=log32,
∴3x=3log32=2.
注意换底公式与对数恒等式的应用.
14.x 解析:
设f(x)=xα(α为常数),由题意可知f
(2)=2α=,
∴α=,∴f(x)=x.
15. 解析:
将图象和两坐标轴的交点代入得logab=2,loga=0,+b=1,a2=b,从图象看出,00,解得a=,b=,a+b=.
16.①④⑤ 解析:
对于①,可知任取x>0,3x>2x一定成立.
对于②,当0对于③,y=()-x=x,因为0<<1,故y=()-x是减函数,故③不正确.对于④,因为|x|≥0,∴y=2|x|的最小值为1,正确.对于⑤,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称,是正确的.(2)原式=lg5×lg(5×4)+(lg2)2=lg5×(lg5+lg4)+(lg2)2=(lg5)2+lg5lg4+(lg2)2=(lg5)2+2lg5lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.18.解:(1)因为x∈R,所以f(0)=0得a=1.(2)f(x)=a-,因为f(x)+a>0恒成立,即2a>恒成立.因为2x+1>1,所以0<<2,所以2a≥2,即a≥1.故a的取值范围是1,+∞).19.解:(1)∵h(x)=f(x)+g(x)=lg(x+2)+lg(2-x),要使函数h(x)有意义,则有解得-2所以,h(x)的定义域是(-2,2).(2)由(1)知,h(x)的定义域是(-2,2),定义域关于原点对称,又∵h(-x)=f(-x)+g(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=g(x)+f(x)=h(x),∴h(-x)=h(x),∴h(x)为偶函数.20.解:(1)依题意得|x|>0,解得x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f(-)=log2|-|=log22=.(2)设x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x),所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(3)f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.证明如下:设x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=log2|x1|-log2|x2|=log2.因为0所以log2<0,即f(x1)21.解:(1)设f1(x)=ax2,将(1000,1000)代入可得1000=a×10002,所以a=0.001,所以f1(x)=0.001x2.设f2(x)=kx+b,将(0,3),(1000,2)代入可得k=-0.001,b=3,所以f2(x)=-0.001x+3.(2)设利润为f(x),则f(x)=xf2(x)-f1(x)=(-0.001x+3)x-0.001x2=-0.002x2+3x=-0.002(x2-1500x+7502)+1125,所以当x=750时,f(x)max=1125.解题技巧:解应用题的一般思路可表示如下:22.(1)证明:当m=n=1时,f(x)=.由于f(1)==-,f(-1)==,所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数.(2)解:f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即=-对定义域内任意实数x成立.化简整理得(2m-n)·22x+(2mn-4)·2x+(2m-n)=0,这是关于x的恒等式,所以解得或经检验符合题意.(3)解:由(2)可知,f(x)==,易判断f(x)是R上单调减函数.由f(f(x))+f<0,得f(f(x))-,2x<3,得x即f(x)>0的解集为(-∞,log23).
对于③,y=()-x=x,因为0<<1,故y=()-x是减函数,故③不正确.
对于④,因为|x|≥0,∴y=2|x|的最小值为1,正确.
对于⑤,y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称,是正确的.
(2)原式=lg5×lg(5×4)+(lg2)2
=lg5×(lg5+lg4)+(lg2)2
=(lg5)2+lg5lg4+(lg2)2
=(lg5)2+2lg5lg2+(lg2)2
=(lg5+lg2)2=1.
18.解:
(1)因为x∈R,所以f(0)=0得a=1.
(2)f(x)=a-,
因为f(x)+a>0恒成立,
即2a>恒成立.
因为2x+1>1,所以0<<2,
所以2a≥2,即a≥1.
故a的取值范围是1,+∞).
19.解:
(1)∵h(x)=f(x)+g(x)=lg(x+2)+lg(2-x),
要使函数h(x)有意义,则有解得-2所以,h(x)的定义域是(-2,2).(2)由(1)知,h(x)的定义域是(-2,2),定义域关于原点对称,又∵h(-x)=f(-x)+g(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)=g(x)+f(x)=h(x),∴h(-x)=h(x),∴h(x)为偶函数.20.解:(1)依题意得|x|>0,解得x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f(-)=log2|-|=log22=.(2)设x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x),所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(3)f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.证明如下:设x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=log2|x1|-log2|x2|=log2.因为0所以log2<0,即f(x1)21.解:(1)设f1(x)=ax2,将(1000,1000)代入可得1000=a×10002,所以a=0.001,所以f1(x)=0.001x2.设f2(x)=kx+b,将(0,3),(1000,2)代入可得k=-0.001,b=3,所以f2(x)=-0.001x+3.(2)设利润为f(x),则f(x)=xf2(x)-f1(x)=(-0.001x+3)x-0.001x2=-0.002x2+3x=-0.002(x2-1500x+7502)+1125,所以当x=750时,f(x)max=1125.解题技巧:解应用题的一般思路可表示如下:22.(1)证明:当m=n=1时,f(x)=.由于f(1)==-,f(-1)==,所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数.(2)解:f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即=-对定义域内任意实数x成立.化简整理得(2m-n)·22x+(2mn-4)·2x+(2m-n)=0,这是关于x的恒等式,所以解得或经检验符合题意.(3)解:由(2)可知,f(x)==,易判断f(x)是R上单调减函数.由f(f(x))+f<0,得f(f(x))-,2x<3,得x即f(x)>0的解集为(-∞,log23).
所以,h(x)的定义域是(-2,2).
(2)由
(1)知,h(x)的定义域是(-2,2),定义域关于原点对称,
又∵h(-x)=f(-x)+g(-x)=lg(2-x)+lg(2+x)
=g(x)+f(x)=h(x),
∴h(-x)=h(x),∴h(x)为偶函数.
20.解:
(1)依题意得|x|>0,解得x≠0,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
f(-)=log2|-|=log22=.
(2)设x∈(-∞,0)∪(0,+∞),则-x∈(-∞,0)∪(0,+∞).
f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x),
所以f(-x)=f(x),
所以函数f(x)是偶函数.
(3)f(x)在(0,+∞)上是单调增函数.证明如下:
设x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=log2|x1|-log2|x2|=log2.因为0所以log2<0,即f(x1)21.解:(1)设f1(x)=ax2,将(1000,1000)代入可得1000=a×10002,所以a=0.001,所以f1(x)=0.001x2.设f2(x)=kx+b,将(0,3),(1000,2)代入可得k=-0.001,b=3,所以f2(x)=-0.001x+3.(2)设利润为f(x),则f(x)=xf2(x)-f1(x)=(-0.001x+3)x-0.001x2=-0.002x2+3x=-0.002(x2-1500x+7502)+1125,所以当x=750时,f(x)max=1125.解题技巧:解应用题的一般思路可表示如下:22.(1)证明:当m=n=1时,f(x)=.由于f(1)==-,f(-1)==,所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数.(2)解:f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即=-对定义域内任意实数x成立.化简整理得(2m-n)·22x+(2mn-4)·2x+(2m-n)=0,这是关于x的恒等式,所以解得或经检验符合题意.(3)解:由(2)可知,f(x)==,易判断f(x)是R上单调减函数.由f(f(x))+f<0,得f(f(x))-,2x<3,得x即f(x)>0的解集为(-∞,log23).
则f(x1)-f(x2)=log2|x1|-log2|x2|=log2.
因为0所以log2<0,即f(x1)21.解:(1)设f1(x)=ax2,将(1000,1000)代入可得1000=a×10002,所以a=0.001,所以f1(x)=0.001x2.设f2(x)=kx+b,将(0,3),(1000,2)代入可得k=-0.001,b=3,所以f2(x)=-0.001x+3.(2)设利润为f(x),则f(x)=xf2(x)-f1(x)=(-0.001x+3)x-0.001x2=-0.002x2+3x=-0.002(x2-1500x+7502)+1125,所以当x=750时,f(x)max=1125.解题技巧:解应用题的一般思路可表示如下:22.(1)证明:当m=n=1时,f(x)=.由于f(1)==-,f(-1)==,所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数.(2)解:f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即=-对定义域内任意实数x成立.化简整理得(2m-n)·22x+(2mn-4)·2x+(2m-n)=0,这是关于x的恒等式,所以解得或经检验符合题意.(3)解:由(2)可知,f(x)==,易判断f(x)是R上单调减函数.由f(f(x))+f<0,得f(f(x))-,2x<3,得x即f(x)>0的解集为(-∞,log23).
所以log2<0,即f(x1)21.解:(1)设f1(x)=ax2,将(1000,1000)代入可得1000=a×10002,所以a=0.001,所以f1(x)=0.001x2.设f2(x)=kx+b,将(0,3),(1000,2)代入可得k=-0.001,b=3,所以f2(x)=-0.001x+3.(2)设利润为f(x),则f(x)=xf2(x)-f1(x)=(-0.001x+3)x-0.001x2=-0.002x2+3x=-0.002(x2-1500x+7502)+1125,所以当x=750时,f(x)max=1125.解题技巧:解应用题的一般思路可表示如下:22.(1)证明:当m=n=1时,f(x)=.由于f(1)==-,f(-1)==,所以f(-1)≠-f(1),f(x)不是奇函数.(2)解:f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即=-对定义域内任意实数x成立.化简整理得(2m-n)·22x+(2mn-4)·2x+(2m-n)=0,这是关于x的恒等式,所以解得或经检验符合题意.(3)解:由(2)可知,f(x)==,易判断f(x)是R上单调减函数.由f(f(x))+f<0,得f(f(x))-,2x<3,得x即f(x)>0的解集为(-∞,log23).
21.解:
(1)设f1(x)=ax2,将(1000,1000)代入可得1000=a×10002,
所以a=0.001,所以f1(x)=0.001x2.
设f2(x)=kx+b,将(0,3),(1000,2)代入可得k=-0.001,b=3,
所以f2(x)=-0.001x+3.
(2)设利润为f(x),则
f(x)=xf2(x)-f1(x)=(-0.001x+3)x-0.001x2=-0.002x2+3x=-0.002(x2-1500x+7502)+1125,
所以当x=750时,f(x)max=1125.
解应用题的一般思路可表示如下:
22.
(1)证明:
当m=n=1时,f(x)=.
由于f
(1)==-,f(-1)==,
所以f(-1)≠-f
(1),f(x)不是奇函数.
(2)解:
f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),
即=-对定义域内任意实数x成立.
化简整理得(2m-n)·22x+(2mn-4)·2x+(2m-n)=0,这是关于x的恒等式,
所以解得或
经检验符合题意.
(3)解:
由
(2)可知,f(x)==,
易判断f(x)是R上单调减函数.
由f(f(x))+f<0,得
f(f(x))-,2x<3,得x即f(x)>0的解集为(-∞,log23).
即f(x)>0的解集为(-∞,log23).
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