届苏教版 正弦定理和余弦定理 单元测试.docx

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届苏教版正弦定理和余弦定理单元测试

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考点16正弦定理和余弦定理

1、选择题

1.（2016·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T4）钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=　（　　）

A.5B.C.2D.1

【解题提示】利用三角形面积公式求得角B,然后结合条件,利用余弦定理,求得AC.

【解析】选B.因为S△ABC=acsinB=·sinB=,所以sinB=,

所以B=或.当B=时,经计算△ABC为等腰直角三角形,不符合题意,舍去.

（2）所以B=,使用余弦定理,b2=a2+c2-2accosB,解得b=.故选B.

二、填空题

2.（2016·湖北高考文科·T13）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B=　　　　.

【解析】依题意,由正弦定理知=,得出sinB=.由于0

所以B=或.

答案:

或

【误区警示】由于解题过程中无法判断B是锐角还是钝角,所以由sinB=得到两个结果:

B=或.本题的易错点是漏掉其中一个.

3.（2016·广东高考理科）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则=　　　　.

【解析】方法一:

由正弦定理bcosC+ccosB=2b,

即sinBcosC+sinCcosB=2sinB,

即sin（B+C）=2sinB,sin（π-A）=2sinB,

有sinA=2sinB,

再由正弦定理得a=2b,=2.

方法二:

如图,作AD⊥BC于点D,

则a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b,即=2.

答案:

2

【创新提示】熟用三角形射影定理可迅速得解.

4.（2016·福建高考文科·Ｔ14）14．在中，,则等于_________

【解题指南】直接应用余弦定理求解。

【解析】由余弦定理，得，即，解得．

答案：

1．

5.（2016·福建高考理科·Ｔ12）

在中，,则的面积等于_________

【解题指南】先利用余弦定理求出AB，再由面积公式求解。

【解析】由题，，

即，解得，所以．

【答案】

6.（2016·山东高考理科·Ｔ12）

在中，已知，当时，的面积为.

【解题指南】本题考查了平面向量的数量积及三角形的面积公式，先利用数量积的定义写出等式，再利用面积公式求出三角形面积.

【解析】由已知及平面向量数量积的定义可得，

所以，

所以

答案：

7.（2016·天津高考理科·Ｔ12）在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为_______.

【解析】因为，所以，解得，.

所以.

【答案】

三、解答题

8.（2016·湖南高考理科·Ｔ18）（本小题满分12分）

如图5，在平面四边形中，

（1）求的值；

（2）若求的长．

【解题提示】利用三角形的内角和定理、余弦定理和正弦定理求解。

【解析】

（1）如图5，在中，由余弦定理，得

由题设知，

（2）如图5，设则

因为所以

于是

在中，由正弦定理得，

故

9.（2016·浙江高考文科·Ｔ18）在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知

（1）求角C的大小；

（2）已知，的面积为6，求边长的值

【解析】

（1）因为，

所以

=

=

=

=2+2=2+

所以，。

（2）由正弦定理知，

所以；

由余弦定理知，，所以

=10，所以

所以当，的面积为6时，边长的值为.

10.（2016·浙江高考理科·Ｔ18）（本题满分14分）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知，，

（1）求角C的大小；

（2）若求ABC的面积.

【解析】

（1）由题意得，

所以

即

由，得，又，得

，所以，即

（2）由，得

由，得，从而，

所以

所以，的面积为

11.（2016·辽宁高考理科·Ｔ17）（2016·辽宁高考文科·Ｔ17）在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：

（1）a和c的值；

（2）的值.

【解析】

（1）由，得，所以；

又由及余弦定理得，所以

结合，解得

（Ⅱ）由得，

由得;

所以

12.（2016·山东高考文科·Ｔ17）

在中，角所对的边分别是.已知

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的面积.

【解题指南】

（1）本题先求出sinA，再利用A，B之间的关系求出sinB，然后用正弦定理求出b

.

（2）本题可利用余弦定理求出c，再利用三角形面积公式求出三角形面积.

【解析】：

（Ⅰ）由题意知：

，

，

由正弦定理得：

（Ⅱ）由余弦定理得：

又因为为钝角，所以，即，

所以

13.（2016·陕西高考文科·T16）（本小题满分12分）△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

（1）若a,b,c成等差数列,证明:

sinA+sinC=2sin（A+C）.

（2）若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cosB的值.

【解题指南】

（1）先利用等差数列得三边关系,再利用正弦定理将边转化为角的形式从而得证;

（2）利用等比数列得三边关系,再结合所给条件用余弦定理求cosB的值.

【解析】

（1）因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.

由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.

因为sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）,

sinA+sinC=2sin（A+C）.

（2）因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac,又c=2a,所以b=a.

由余弦定理得cosB===.

14.（2016·陕西高考理科·T16）（本小题满分12分）△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

（1）若a,b,c成等差数列,证明:

sinA+sinC=2sin（A+C）.

（2）若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.

【解题指南】

（1）先利用等差数列得三边关系,再利用正弦定理将边转化为角的形式从而得证.

（2）利用余弦定理及基本不等式解决最值问题,注意取最值的条件须注明.

【解析】

（1）因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.

由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.

因为sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）,

sinA+sinC=2sin.

（2）因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.

由余弦定理得cosB==≥=.

当且仅当a=c时等号成立.

所以cosB的最小值为.

15.（2016·天津高考文科·Ｔ16）（本小题满分13分）

在中，内角所对的边分别为，已知，

（1）求的值；

（2）求的值.

【解析】

（1）在△ABC中,由及sinB=sinC,可得b=c,

又由a-c=b,有a=2c.

所以cosA==.

（2）在△ABC中,由cosA=,

可得sinA=.

于是cos2A=2cos2A-1=-,sin2A=2sinA·cosA=.

所以cos=cos2Acos+sin2Asin

16.（2016·安徽高考文科·Ｔ16）设的内角所对边的长分别是，且，的面积为，求与的值.

【解题提示】根据三角函数的基本公式及正、余弦定理解答。

【解析】

（1）有三角形面积公式，得，

因为，所以，

（1）当时，由余弦定理得，所以。

（2）当时，由余弦定理得

17.（2016·安徽高考理科·Ｔ16）设的内角所对边的长分别是，且

（1）求的值；

（2）求的值.

【解题提示】根据三角函数的和角、倍角公式及正、余弦定理解答。

【解析】

（1）因为A=2B，所以，

由正、余弦定理得，因为b=3,c=1,所以。

（3）由余弦定理得=，因为，所以，故=

18.（2016·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T17）（本小题满分12分）四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.

（1）求C和BD.

（2）求四边形ABCD的面积.

【解题提示】

（1）画出图形,结合图形利用余弦定理求解.

（2）利用S□ABCD=S△ABD+S△BCD求解.

【解析】

（1）设x=BD,分别在△ABD,△BCD中,对角A,C用余弦定理,则cosA=,cosC=.因为A+C=π,所以cosA+cosC=0,

联立上式解得x=,cosC=,所以C=,BD=.

（2）因为A+C=π,C=,所以sinA=sinC=,

四边形ABCD的面积S□ABCD=S△ABD+S△BCD=AB·AD·sinA+CB·CD·sinC=（1+3）=2.所以,四边形ABCD面积为2.

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