中考数学专题型复习07圆的有关计算与证明.docx

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中考数学专题型复习07圆的有关计算与证明

2022-2022年中考数学专题型复习07：

圆的有关计算与证明

解答题

如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D。

连结OD，作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F。

已知CE=12，BE=9

（1）求证：

△COD∽△CBE；

（2）求半圆O的半径的长

【答案】

（1）

解：

∵CD切半圆于点D，OD为⊙O的半径，

∴CD⊥OD,

∴∠CDO=90°,

∵BE⊥CD于点E,

∴∠E=90°.

∵∠CDO=∠E=90°,∠C=∠C,

∴△COD∽△CBE.

（2）

解：

∵在Rt△BEC中，CE=12,BE=9,

∴CE=15,

∵△COD∽△CBE,

∴,

即,

∴r=.

【解析】

（1）根据CD切半圆于点D，BE⊥CD于点E,得出∠CDO=∠E=90°,根据三角形两个角对应相等的两个三角形相似得出△COD∽△CBE.

（2）根据

（1）中△COD∽△CBE,得出，从而求出半径。

【考点精析】利用切线的性质定理和相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知切线的性质：

1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．

解答题

如图△ABC内接于圆O，I是△ABC的内心，AI的延长线交圆O于点D．

（1）求证：

BD=DI；

（2）若OI⊥AD，求的值．

【答案】

（1）证明：

∵点I是△ABC的内心

∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI

∵∠CBD=∠CAD

∴∠BAD=∠CBD

∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∠BAD=∠CAD=∠CBD，

∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，

∴∠BID=∠IBD

∴ID=BD；

（2）解：

连接OA、OD、BD和BI，

∵OA=OD，OI⊥AD

∴AI=ID，

∵I为△ABC内心，

∴∠BAD=∠BCD，

∴弧BD=弧CD，

∵弧CD=弧CD，

∴∠BCD=∠BAD，

∴∠DBI=∠BCD+∠CBI=∠CAD+∠CBI，

=（∠BAC+∠ACB），

∵∠DIB=∠DAB+∠ABI=（∠BAC+∠ABC），

∴∠DIB=∠DBI，

∴BD=ID=AI，，

故OD⊥BC，记垂足为E，则有BE=BC，

作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，

∴Rt△BDE≌Rt△AIG，

于是，AG=BE=BC，但AG=（AB+AC?

BC），

故AB+AC=2BC，

∴=2．

【解析】

（1）要证明ID=BD，利用内心的定义可以得到∠ABI=∠CBI，然后利用同弧所对的圆周角相等和三角形的外角等于不相邻的两个外角的和，即可证得∠BID=∠IBD，利用等边对等角即可证得；

（2）作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，证得：

Rt△BDE≌Rt△AIG，则AG=BE=BC，根据直角三角形的内心的性质可得：

AG=（AB+AC?

BC），再根据AB+AC=2BC即可求解．

【考点精析】利用三角形的内切圆与内心对题目进行判断即可得到答案，需要熟知三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心．

解答题

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD=45°．

（Ⅰ）若AB=4，求的长；

（Ⅱ）若=，AD=AP，求证：

PD是⊙O的切线．

【答案】解：

（Ⅰ）连接OC，OD，

∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，

∴∠COD=90°，

∵AB=4，

∴OC=AB=2，

∴的长=×π×2=π；

（Ⅱ）∵=，

∴∠BOC=∠AOD，

∵∠COD=90°，

∴∠AOD=45°，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°，

∴∠ODA=67.5°，

∵AD=AP，

∴∠ADP=∠APD，

∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，

∴∠ADP=CAD=22.5°，

∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，

∴PD是⊙O的切线．

【解析】（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根据弧长公式即可得到结论；（Ⅱ）由已知条件得到∠BOC=∠AOD，由圆周角定理得到∠AOD=45°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，求得∠ADP=CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到结论．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用圆内接四边形的性质和切线的判定定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握把圆分成n（n≥3）:

1、依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形2、经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；切线的判定方法：

经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

解答题

如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（Ⅰ）求证：

直线DM是⊙O的切线；

（Ⅱ）求证：

DE2=DF?

DA．

【答案】解：

（Ⅰ）如图所示，连接OD，∵点E是△ABC的内心，

∴∠BAD=∠CAD，

∴=，

∴OD⊥BC，

又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，

∴∠BDM=∠DBC，

∴BC∥DM，

∴OD⊥DM，

∴直线DM是⊙O的切线；

（Ⅱ）如图所示，连接BE，

∵点E是△ABC的内心，

∴∠BAE=∠CAE=∠CBD，∠ABE=∠CBE，

∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE，

即∠BED=∠EBD，

∴DB=DE，

∵∠DBF=∠DAB，∠BDF=∠ADB，

∴△DBF∽△DAB，

∴=，即DB2=DF?

DA，

∴DE2=DF?

DA．

【解析】（Ⅰ）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（Ⅱ）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF?

DA，据此可得DE2=DF?

DA．

【考点精析】本题主要考查了垂径定理和圆周角定理的相关知识点，需要掌握垂径定理：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能正确解答此题．

解答题

（本题10分）如图，已知：

AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F,连结OC,AC.

（1）求证:

AC平分∠DAO.

（2）若∠DAO=105°，∠E=30°.

①求∠OCE的度数.

②若⊙O的半径为2，求线段EF的长.

【答案】

（1）

解：

∵直线与⊙O相切，

∴OC⊥CD；

又∵AD⊥CD,

∴AD//OC,

∴∠DAC=∠OCA;

又∵OC=OA,

∴∠OAC=∠OCA,

∴∠DAC=∠OAC;

∴AC平分∠DAO.

（2）

解：

①∵AD//OC，∠DAO=105°,

∴∠EOC=∠DAO=105°;

∵∠E=30°,

∴∠OCE=45°.

②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG,

∵OC=2,∠OCE=45°.

∴CG=OG=2,

∴FG=2;

∵在RT△OGE中，∠E=30°，

∴GE=2,

∴EF=GE-FG=2-2.

【解析】

（1）利用了切线的性质，平行线的判定和性质，等边对等角，角平分线的判定即可得证。

（2）①根据

（1）得出的AD//OC，从而得出同位角相等，再利用三角形的内角和定理即可求出答案；②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG,根据等边对等角得出CG=OG=FG=2,在根据勾股定理得出GE，从而求出EF=GE-FG.

【考点精析】认真审题，首先需要了解平行线的判定与性质（由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质），还要掌握三角形的内角和外角（三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）的相关知识才是答题的关键．

解答题

如图，为的直角边上一点，以为半径的与斜边相切于点，交于点．已知，．

（1）求的长；

（2）求图中阴影部分的面积．

【答案】

（1）

解：

在Rt△ABC中，AB===2.

∵BC⊥OC

∴BC是⊙O的切线

又∵AB是⊙O的切线

∴BD=BC=

∴AD=AB-BD=

（2）

解：

在Rt△ABC中，sinA===.

∴∠A=30°.

∵AB切⊙O于点D.

∴OD⊥AB.

∴∠AOD=90°-∠A=60°.

∵=tanA=tan30°.

∴=.

∴OD=1.

S阴影==.

【解析】

（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后根据切线的判定证出BC为切线，然后可根据切线长定理可求解.

（2）在Rt△ABC中，根据∠A的正弦求出∠A度数，然后根据切线的性质求出OD的长，和扇形圆心角的度数，再根据扇形的面积公式可求解.

【考点精析】认真审题，首先需要了解勾股定理的概念（直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2），还要掌握切线的性质定理（切线的性质：

1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径）的相关知识才是答题的关键．

解答题

如图，已知等腰直角△ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径

（1）求证：

△APE是等腰直角三角形；

（2）若⊙O的直径为2，求的值

【答案】

（1）

证明：

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠C=∠ABC=45°,

∴∠PEA=∠ABC=45°

又∵PE是⊙O的直径，

∴∠PAE=90°,

∴∠PEA=∠APE=45°,

∴△APE是等腰直角三角形.

（2）

解：

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=AB,

同理AP=AE,

又∵∠CAB=∠PAE=90°,

∴∠CAP=∠BAE,

∴△CPA≌△BAE,

∴CP=BE,

在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,

∴PB2+BE2=PE2,

∴CP2+PB2=PE2=4.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°，再由PE是⊙O的直径，得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,从而得证.

（2）根据题意可知，AC=AB,AP=AE,再证△CPA≌△BAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得证.

解答题

如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．

（1）求证：

DE是⊙O的切线；

（2）若AE：

EB=1：

2，BC=6，求AE的长．

【答案】

（1）证明：

连接OE、EC，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠