七年级数学核心题目赏析 有理数及其运算篇文档格式.docx
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例3计算:
分析本题看似复杂,其实是纸老虎,只要你敢计算,马上就会发现其中的技巧,问题会变得很简便.
解原式==
例4计算:
2-22-23-24-……-218-219+220.
分析本题把每一项都算出来再相加,显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢?
我们可先从最简单的情况考虑.2-22+23=2+22(-1+2)=2+22=6.再考虑2-22-23+24=2-22+23(-1+2)=2-22+23=2+22(-1+2)=2+22=6.这怎么又等于6了呢?
是否可以把这种方法应用到原题呢?
显然是可以的.
解原式=2-22-23-24-……-218+219(-1+2)
=2-22-23-24-……-218+219
=2-22-23-24-……-217+218(-1+2)
=2-22-23-24-……-217+218
=……
=2-22+23
=6
【核心练习】
1、已知│ab-2│与│b-1│互为相反数,试求:
的值.
(提示:
此题可看作例1的升级版,求出a、b的值代入就成为了例1.)
2、代数式的所有可能的值有()个(2、3、4、无数个)
【参考答案】
1、2、3
字母表示数篇
用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时,单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程,我们可把要求的式子适当变形,采用整体代入法或特殊值法.
【典型例题】
例1已知:
3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_____
分析对于这类问题我们通常用“整体代入法”,先把条件化成最简,然后把要求的代数式化成能代入的形式,代入就行了.这类问题还有一个更简便的方法,可以用“特殊值法”,取y=0,由3x-6y-5=0,可得,把x、y的值代入2x-4y+6可得答案.这种方法只对填空和选择题可用,解答题用这种方法是不合适的.
解由3x-6y-5=0,得
所以2x-4y+6=2(x-2y)+6==
例2已知代数式,其中n为正整数,当x=1时,代数式的值是,当x=-1时,代数式的值是.
分析当x=1时,可直接代入得到答案.但当x=-1时,n和(n-1)奇偶性怎么确定呢?
因n和(n-1)是连续自然数,所以两数必一奇一偶.
解当x=1时,
==3
当x=-1时,
==1
例3152=225=100×
1(1+1)+25,252=625=100×
2(2+1)+25
352=1225=100×
3(3+1)+25,452=2025=100×
4(4+1)+25……
752=5625=,852=7225=
(1)找规律,把横线填完整;
(2)请用字母表示规律;
(3)请计算20052的值.
分析这类式子如横着不好找规律,可竖着找,规律会一目了然.100是不变的,加25是不变的,括号里的加1是不变的,只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变.
解
(1)752=100×
7(7+1)+25,852=100×
8(8+1)+25
(2)(10n+5)2=100×
n(n+1)+25
(3)20052=100×
200(200+1)+25=4020025
例4如图①是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图②,再分别连接图②中间小三角形三边的中点,得到图③.S表示三角形的个数.
(1)当n=4时,S=,
(2)请按此规律写出用n表示S的公式.
分析当n=4时,我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢?
单纯从结果有时我们很难看出规律,要学会从变化过程找规律.如本题,可用列表法来找,规律会马上显现出来的.
解
(1)S=13
(2)可列表找规律:
n
1
2
3
…
S
5
9
4(n-1)+1
S的变化过程
1+4=5
1+4+4=9
1+4+4+…+4=4(n-1)+1
所以S=4(n-1)+1.(当然也可写成4n-3.)
1、观察下面一列数,探究其中的规律:
—1,,,,,
①填空:
第11,12,13三个数分别是,,;
②第2008个数是什么?
③如果这列数无限排列下去,与哪个数越来越近?
.
2、观察下列各式:
1+1×
3=22,1+2×
4=32,1+3×
5=42,……请将你找出的规律用公式表示出来:
1、①,,;
②;
③0.
2、1+n×
(n+2)=(n+1)2
平面图形及其位置关系篇
平面图形是简单的几何问题.几何问题学起来很简单,但有时不好表述,也就是写不好过程.所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程.每个人写的可能都不一样,但只要表述清楚了就可以了,不过在写清楚的情况下要尽量简便.
例1平面内两两相交的6条直线,其交点个数最少为______个,最多为______个.
分析6条直线两两相交交点个数最少是1个,最多怎么求呢?
我们可让直线由少到多一步步找规律.列出表格会更清楚.
解找交点最多的规律:
直线条数
4
交点个数
6
交点个数变化过程
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+…+(n-1)
图形
图1
图2
图3
例2两条平行直线m、n上各有4个点和5个点,任选9点中的两个连一条直线,则一共可以连()条直线.
A.20B.36C.34D.22
分析与解让直线m上的4个点和直线n上的5个点分别连可确定20条直线,再加上直线m上的4个点和直线n上的5个点各确定的一条直线,共22条直线.故选D.
例3如图,OM是∠AOB的平分线.射线OC在∠BOM内,ON是∠BOC的平分线,已知∠AOC=80°
,那么∠MON的大小等于_______.
分析求∠MON有两种思路.可以利用和来求,即∠MON=∠MOC+∠CON.也可利用差来求,方法就多了,∠MON=∠MOB-∠BON=∠AON-∠AOM=∠AOB-∠AOM-∠BON.根据两条角平分线,想办法和已知的∠AOC靠拢.解这类问题要敢于尝试,不动笔是很难解出来的.
解因为OM是∠AOB的平分线,ON是∠BOC的平分线,
所以∠MOB=∠AOB,∠NOB=∠COB
所以∠MON=∠MOB-∠NOB=∠AOB-∠COB=(∠AOB-∠COB)=∠AOC=×
80°
=40°
例4如图,已知∠AOB=60°
,OC是∠AOB的平分线,OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC.
(1)求∠DOE的大小;
(2)当OC在∠AOB内绕O点旋转时,OD、OE仍是∠BOC和∠AOC的平分线,问此时∠DOE的大小是否和
(1)中的答案相同,通过此过程你能总结出怎样的结论.
分析此题看起来较复杂,OC还要在∠AOB内绕O点旋转,是一个动态问题.当你求出第
(1)小题时,会发现∠DOE是∠AOB的一半,也就是说要求的∠DOE,和OC在∠AOB内的位置无关.
解
(1)因为OC是∠AOB的平分线,OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC.
所以∠DOC=∠BOC,∠COE=∠COA
所以∠DOE=∠DOC+∠COE=∠BOC+∠COA=(∠BOC+∠COA)=∠AOB
因为∠AOB=60°
所以∠DOE=∠AOB=×
60°
=30°
(2)由
(1)知∠DOE=∠AOB,和OC在∠AOB内的位置无关.故此时∠DOE的大小和
(1)中的答案相同.
1、A、B、C、D、E、F是圆周上的六个点,连接其中任意两点可得到一条线段,这样的线段共可连出_______条.
2、在1小时与2小时之间,时钟的时针与分针成直角的时刻是1时分.
1、15条2、.
一元一次方程篇
一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解应用题。
解含分母的方程时要找出分母的最小公倍数,去掉分母,一定要添上括号,这样不容易出错.解含参数方程或绝对值方程时,要学会代入和分类讨论。
列方程解应用题,主要是列方程,要注意列出的方程必须能解、易解,也就是列方程时要选取合适的等量关系。
例1已知方程2x+3=2a与2x+a=2的解相同,求a的值.
分析因为两方程的解相同,可以先解出其中一个,把这个方程的解代入另一个方程,即可求解.认真观察可知,本题不需求出x,可把2x整体代入.
解由2x+3=2a,得2x=2a-3.
把2x=2a-3代入2x+a=2得
2a-3+a=2,
3a=5,
所以
例2解方程
分析这是一个非常好的题目,包括了去分母容易错的地方,去括号忘变号的情况.
解两边同时乘以6,得
6x-3(x-1)=12-2(x+1)
去分母,得
6x-3x+3=12-2x-2
6x-3x+2x=12-2-3
5x=7
x=
例3某商场经销一种商品,由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润增加了8个百分点,求经销这种商品原来的利润率.
分析这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系,因销售价=进价×
(1+利润率),故还需设出进价,利用销售价不变,辅助设元建立方程.
解:
设原进价为x元,销售价为y元,那么按原进价销售的利润率为
原进价降低后在销售时的利润率为,由题意得:
+8%=
解得y=1.17x
故这种商品原来的利润率为=17%.
例4解方程│x-1│+│x-5│=4
分析对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论,而对于含两个绝对值的方程,道理是一样的.我们可先找出两个绝对值的“零点”,再把“零点”放中数轴上对x进行讨论.
由题意可知,当│x-1│=0时,x=1;
当│x-5│=0时,x=5.1和5两个“零点”把x轴分成三部分,可分别讨论:
1)当x<
1时,原方程可化为–(x-1)-(x-5)=4,解得x=1.因x<
1,所以x=1应舍去.
2)当1≤x≤5时,原方程可化为(x-1)-(x-5)=4,解得4=4,所以x在1≤x≤5范围内可任意取值.
3)当x>
5时,原方程可化为(x-1)+(x-5)=4,解得x=5.因x>
5,故应舍去.
所以,1≤x≤5是比不过的。