第20讲五年级数学牛吃草问题 许克雄 教案文档格式.docx

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2、谁是冠军？

　　电视上正在进行足球世界杯决赛的实况转播，参加决赛的国家有美国、德国、巴西、西班牙、英国、法国六个国家。

足球迷的李锋、韩克、张乐对谁会获得此次世界杯的冠军进行了一番讨论：

韩克认为，冠军不是美国就是德国；

张乐坚定的认为冠军决不是巴西；

李锋则认为，西班牙和法国都不可能取得冠军。

比赛结束后，三人发现他们中只有一个人的看法是对的。

那么哪个国家获得了冠军？

先假设韩克正确，冠军不是美国就是德国；

如果正确的话，不能否定张乐的看法，所以韩克的评论是错误的，因此冠军不是美国或者德国；

如果冠军是巴西的话，韩克的评论就是错误的，张乐的评论也就是错误的。

李论就是正确的。

假设法国是冠军，那么韩克就说对了，同时张乐也说对了，而这与“只有一个人的看法是对的”锋的评相英国不可能是冠军，巴西获得了冠军。

一、专题导入

1、英国物理学家牛顿曾经编了这样一道数学题：

牧场上有一片草，每天生长的一样快，这片草可供10头牛吃22天，或者供16头牛吃10天，如果供22头牛可吃几天？

这道题就是有名的牛吃草问题，也叫牛顿问题。

解决这一问题的关键是:

在牛吃草的同时，草每天也在不断均匀生长，所以草总量也在不断变化。

2、解决牛顿问题的一般步骤是：

（1）.求出草每天新生的草量

（2）.求出牧场原有的草量

（3）.求出题中的问题

二、专题精讲

题型一：

求时间

例1：

牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。

这片牧草可供27头牛吃6周，或者可供23头牛吃9周。

问：

可供21头牛吃几周?

分析：

1、这片草每天以同样的速度生长是分析问题的难点。

我们可以设1头牛1周吃草1份，27头牛6周吃276=162份，23头牛9周吃草239=207份，比较这两个量发现总草量是不一样的，那是为什么呢？

思考后得出，总草量的差实际上是由于草生长了不同的时间所导致的。

所以牧场每周生长的新草（207-162）（9-6）=15（份），那么原来草量为162-156=72（份）。

2、接下来也是一个难点，我们可以巧妙的处理一下21头牛，我们可以把它分为2部分，15头牛去吃新草，剩下的6头牛去吃旧草，什么时候将旧草吃完，整个牧场的草也就吃完了。

解：

设1头牛1天吃的草为1份

每天长出的草量为：

（23×

9-27×

6）÷

（9-6）=15（份）

草场原有的草量为：

27×

6－15×

6=72（份）

21头牛可以吃的周数：

72÷

（21－15）=12（周）

答：

这片草地可供21头牛吃12周。

题型二：

求牛数

例2：

牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？

分析：

设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为，原有草量为，可供（头）牛吃18周

题型三：

草量匀速减少

例3：

由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？

设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：

，原有草量为：

；

10天吃完需要牛的头数是：

（头）．

题型四：

牛羊同吃

例4：

（年希望杯六年级二试试题）有一片草场，草每天的生长速度相同。

若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完（4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量）。

那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完?

“4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1，那么14头牛30天吃了单位草量，而70只羊16天吃了单位草量，所以草场在每天内增加了草量，原来的草量为草量，所以如果安排17头牛和20只羊，即每天食草88草量，经过天，可将草吃完。

题型五：

牛数变化

例5：

有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：

原来有多少头牛吃草（草均匀生长）？

设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为，原有草量为：

．

现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这4头牛，那么原有草量需增加才能恰好供这些牛吃8天，所以这些牛的头数为（头）．

三、专题过关

1、牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则多少头牛96天可以把草吃完．

设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草量为，牧场原有草量为，要吃96天，需要（头）牛．

2、林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？

（假定野果生长的速度不变）

设一只猴子一周吃的野果为“”，则野果的生长速度是，原有的野果为，如果要4周吃光野果，则需有只猴子一起吃

3、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。

如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？

设1头牛1天吃的草为“1”。

牧场上的草每天自然减少

原来牧场有草

可供10头牛吃的天数是：

（天）。

4、一片牧草，每天生长的速度相同。

现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。

如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天？

设1头牛1天的吃草量为“1”，只羊的吃草量等于头牛的吃草量，只羊的吃草量等于头牛的吃草量，所以草的生长速度为，原有草量为，12头牛与88只羊一起吃可以吃（天）

5、牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？

设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了份；

15头牛吃10天共吃了份．第一种吃法比第二种吃法多吃了份草，这50份草是牧场的草天生长出来的，所以每天生长的草量为，那么原有草量为：

供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要（天）可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．

6、有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？

设1头牛1天的吃草量为“1”，那么天生长的草量为，所以每天生长的草量为；

原有草量为：

20天里，草场共提供草，可以让头牛吃20天．

7、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？

设1头牛1天的吃草量为“1”，天自然减少的草量为，原有草量为：

若有11头牛来吃草，每天草减少；

所以可供11头牛吃（天）．

8、：

一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃几天？

．如果4头牛吃30天，那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量，此时原有草量还剩，而牛的头数变为6，现在就相当于：

“原有草量30，每天生长草量1，那么6头牛吃几天可将它吃完？

”易得答案为：

（天）．

四、学法提炼

1、专题特点：

关于一块地的牛吃草问题，

2、解题方法：

同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：

⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；

⑵草的生长速度（对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数）（较多天数较少天数）；

⑶原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；

⑷吃的天数原来的草量（牛的头数草的生长速度）；

⑸牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度．

3、注意事项

牛吃草问题是草地的草在不断的增长，时间不同，草地里草的总量也不同。

一、专题知识导入

牛吃草问题如果涉及到草地的面积，或者草地的面积不同，需要想办法将不同面积（几块地）的牛吃草问题转化为面积相同（一块地）的牛吃草问题来解决。

转化的方法：

利用最小公倍数进行转化。

将几块地的面积数量扩大到它们的最小公倍数，根据面积扩大的倍数，把对应的牛的数量也扩大相同的倍数，这样吃完这块草地的时间保持不变。

这样几块面积不等的草地就变成了面积相等的草地。

也可以将面积都缩小为1，根据面积缩小的倍数，把对应的牛的数量也缩小相同的倍数，这样吃完这块草地的时间保持不变。

这样几块面积不等的草地就变成了面积为1的草地。

二、专题精讲

例1、东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天．在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？

设1头牛1天的吃草量为“1”，那么2000平方米的牧场上天生长的草量为，即每天生长的草量为．那么2000平方米的牧场上原有草量为：

则6000平方米的牧场每天生长的草量为；

．6天里，该牧场共提供牧草，可以让（头）牛吃6天．

例2.一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场．三块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快．农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；

如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草．问：

若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？

分析（法1）设1头牛1天吃草量为“1”，可以将不同的公顷数统一转化为单位量1公顷来解决．

把2公顷牧场分割成2块，每块1公顷，每块可供4头牛吃5天；

把4公顷牧场分割成4块，每块1公顷，每块可供2头牛吃15天．

那么1公顷牧场每天新生长的草量为，1公顷牧场原有草量为．那么6公顷牧场每天新生长的草量为，原有草量为．

8头牛里，若有6头牛去吃每天新生长的草，剩下2头牛需要（天）可将原有草吃完，即它可供8头牛吃45天．

（法2）题中3块牧场面积不同，要解决这个问题，可以将3块牧场的面积统一起来．

设1头牛1天吃草量为“1”．将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草，相当于12公顷的牧场可供48头牛吃5天；

将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草，相当于12公顷的牧场可供24头牛吃15天．所以12公顷的牧场每天新生长的草量为：

，12公顷牧场原有草量为．那么12公顷牧场可供16头牛吃（天），所以6公顷的牧场可供8头牛吃45天．

例3.4头牛28天可以吃完10公顷牧场上全部牧草，7头牛63天可以吃完30公顷牧场上全部牧草，那么60头牛多少天可以吃完40公顷牧场上全部牧草？

（每公顷牧场上原有草量相等，且每公顷牧场上每天生长草量相等）

题中是3块面积不同的草地，要解决这个问题，可以将3块草地的面积统一起来．

，设1头牛1天的吃草量为“1”，原条件可转化为：

120公顷牧场48头牛28天吃完；

120公顷牧场28头牛63天吃完．那么120公顷牧场每天新生长的草量为；

120公顷牧场原有草量为．则40公顷牧场每天新生长的草量为，40公顷牧场原有草量为．

在60头牛里先分出4头牛来吃新生长的草，剩余的56头牛来吃原有的草，可以吃：

例4.三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷．第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周；

第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周．问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周？

设1头牛1周吃草量为“1”．第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周，相当于1公顷牧场可供4头牛吃4周；

第二