版高考数学理科一轮教师用书人教第10章 2 第2讲 排列与组合Word版含答案文档格式.docx

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C＝＝

性

质

A＝n！

，0！

＝1

C＝C，C＋C＝C

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）所有元素完全相同的两个排列为相同排列．（　　）

（2）一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．（　　）

（3）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．（　　）

（4）若组合式C＝C，则x＝m成立．（　　）

（5）A＝n（n－1）（n－2）…（n－m）．（　　）

答案：

（1）×

（2）×

　（3）√　（4）×

　（5）×

从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是（　　）

A．6　　　　　　　　　　B．8

C．12D．16

解析：

选C.由于lga－lgb＝lg，从3，5，7，11中取出两个不同的数分别赋值给a和b共有A＝12种，所以得到不同的值有12个．

（2017·

高考全国卷Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（　　）

A．12种B．18种

C．24种D．36种

选D.因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2，1，1，有＝6种，再分配给3个人，有A＝6种，所以不同的安排方式共有6×

6＝36（种）．

有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．

由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有CC＝75（种）．

75

有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种（用数字作答）．

由题意知，从剩余7人中选出4人担任其余4个学科的课代表，共有A＝840（种）．

840

排列应用题

[典例引领]

3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．

（1）选其中5人排成一排；

（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；

（3）全体站成一排，男、女各站在一起；

（4）全体站成一排，男生不能站在一起．

【解】　

（1）从7个元素中选出5个全排列，有A＝2520种排法．

（2）前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A＝5040种排法．

（3）相邻问题（捆绑法）：

男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；

女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；

全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝A·

A·

A＝288（种）．

（4）不相邻问题（插空法）：

先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A种排法，故N＝A·

A＝1440（种）．

在本例条件下，求不同的排队方案的方法种数：

（1）甲不在中间也不在两端；

（2）甲、乙两人必须排在两端．

解：

（1）先排甲有4种，其余有A种，

故共有4·

A＝2880种排法．

（2）先排甲、乙，再排其余5人，

共有A·

A＝240种排法．

求解有限制条件排列问题的主要方法

直接法

分类法

选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数

分步法

选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数

捆绑法

相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列

插空法

不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中

间接法

对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法

[提醒]　

（1）插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及相邻元素的排列数．

（2）用间接法求解时，事件的反面数情况要准确．　

[通关练习]

1．3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则同类书不相邻的放法种数为（　　）

A．36　　　　　　　　　　B．72

C．108D．144

选B.3本数学书的放法有A种，将3本语文书插入使得语文数学均不相邻的插法有2A种，故同类书不相邻的放法有2AA＝2×

6×

6＝72（种），故选B.

2．（2018·

兰州市高考实战模拟）某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（　　）

A．A种B．A种

C．AAA种D．AA种

选D.中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有A种站法；

其他18国领导人可以任意站，因此有A种站法．根据分步计数原理，共有AA种站法．故选D.

组合应用题

要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？

（1）至少有1名女生入选；

（2）男生甲和女生乙入选；

（3）男生甲、女生乙至少有一个人入选．

【解】　

（1）法一：

至少有1名女生入选包括以下几种情况：

1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．

由分类加法计数原理知总选法数为

CC＋CC＋CC＋CC＋C＝771（种）．

法二：

“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”，可用间接法求解．从12人中任选5人有C种选法，其中全是男代表的选法有C种．所以“至少有1名女生入选”的选法有C－C＝771（种）．

（2）男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可，共有C＝120种选法．

（3）间接法：

“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有C种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为C－C＝540（种）．

在本例条件下，求至多有2名女生入选的选法种数．

至多有2名女生入选包括以下几种情况：

0女5男，1女4男，2女3男，

C＋CC＋CC＝546（种）．

两类有附加条件的组合问题的解法

（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：

若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；

若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

（2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：

解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．　

甲、乙两人从4门课程中各选修2门，

求：

（1）甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？

（2）甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？

（1）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有CCC＝24（种）．

（2）甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为CC，又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C种，因此满足条件的不同选法种数为CC－C＝30（种）．

排列、组合的综合应用（高频考点）

排列与组合是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为中档题．高考对此问题的考查主要有以下三个命题角度：

（1）相邻、相间问题；

（2）分组、分配问题；

（3）特殊元素（位置）问题．

[典例引领]

角度一　相邻、相间问题

（2018·

福建漳州八校联考）有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（　　）

A．34种B．48种

C．96种D．144种

【解析】　特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有CAA＝96种，故选C.

【答案】　C

角度二　分组、分配问题

福建厦门海沧实验中学等联考）将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有（　　）

A．240种B．180种

C．150种D．540种

【解析】　5名学生可分成2，2，1和3，1，1两种形式，

当5名学生分成2，2，1时，共有CCA＝90种方法，

当5名学生分成3，1，1时，共有CA＝60种方法，

根据分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．

角度三　特殊元素（位置）问题

从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面（不一定相邻），这样的三位数有________个．

【解析】　分三类：

第一类，没有2，3，由其他三个数字组成三位数，有A＝6个；

第二类，只有2或3，需从1，4，5中选两个数字，可组成2CA＝36个；

第三类，2，3均有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成CA＝9个．故这样的三位数共有51个．

【答案】　51

解排列、组合综合应用问题的思路

1．高三某班课外演讲小组有4名男生，3名女生，从中选拔出3名男生，2名女生，然后让这5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方法种数有（　　）

A．864　　　　B．432C．288　　　　D．144

选A.选3男2女的选法有CC＝12种方法，5人在班内逐个进行演讲且两位女生不连续演讲，有AA＝72，所以共有12×

72＝864种．

2．某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（　　）

A．ACB.ACC．AAD．2A

选B.法一：

将4人平均分成两组有C种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A（种）．

所以不同的安排方法有CA（种）．

先从6个班级中选2个班级有C种不同方法，然后安排学生有CC种，故有CCC＝AC（种）．

3．（2017·

高考天津卷）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答）

一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有CCA＝960个，四个数字都是奇数的四位数有A＝120个，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1080（个）．

1080

对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑

（1）以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．

（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．

（3）先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．

排列、组合问题的求解方法与技巧

（1）特殊元素优先安排；

（2）合理分类与准确分步；

（3）排列、组合混合问题先选后排；

（4）相邻问题捆绑处理；

（5）不相邻问题插空处理；

（6）定序问题排除