专题十八 图形的相似文档格式.docx

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判定定理3:

三边　　　　的两个三角形相似. 

9.相似三角形的性质:

相似三角形对应高、对应角平分线、对应边上中线的比都等于　　　　;

周长的比等于　　　　;

面积的比等于　　　　　　　. 

10.一般地,取定一个点O,如果一个图形G上每一个点P对应于另一个图形G'

上的点P'

且满足:

（1）直线PP'

经过点　　　　. 

（2）=│k│,其中k是非零常数,当k>

0时,点P'

在射线OP上,当k<

在射线OP的反向延长线上.

那么称图形G与图形G'

是位似图形.利用位似可以把一个图形　　　　或　　　　. 

教材典题链中考

　　●例　[教材母题]如图18-1,△ABC为锐角三角形,AD是边BC上的高,正方形EFGH的一边EF在BC上,顶点G,H分别在AC,AB上.已知BC=30cm,AD=20cm.求这个正方形的边长.

图18-1

中考风向标:

相似图形是中考的必考内容之一,在单独考查时多以选择题和填空题的形式出现,若和其他知识点综合考查则以综合类解答题和证明题为主.由于相似图形和全等图形联系紧密,所以在复习中要时刻与全等图形比较,把判定全等图形的方法迁移到相似图形中.在具体题目中,要根据题目给出的边角特点,选择适当的判定方法.

变式　如图18-2,△ABC是一张锐角三角形的硬纸片,AD是边BC上的高,BC=

40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在边BC上,顶点G,H分别在边AC,AB上,AD与HG的交点为M.

（1）求证:

=;

（2）求这个矩形EFGH的周长.

图18-2

课后自测我当先

1.若=,则的值为（　　）

A.B.C.D.-

2.如图18-3,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC.已知AE=6,=,则EC的长是（　　）

A.4.5B.8C.10.5D.14

图18-3图18-4

3.[2017·

张家界]如图18-4,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,如果△ADE的周长是6,那么△ABC的周长是（　　）

A.6B.12C.18D.24

4.如图18-5,小正方形的边长均为1,则图18-6中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

　图18-5　　　　　　　图18-6

5.[2019·

淄博]如图18-7,在△ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△ADC的面积为a,则△ABD的面积为（　　）

A.2aB.aC.3aD.a

图18-7图18-8

6.[2019·

乐山]把边长分别为1和2的两个正方形按如图18-8的方式放置,则图中阴影部分的面积为（　　）

A.B.C.D.

7.若线段a,b,c,d成比例,其中a=5cm,b=7cm,c=4cm,则d=　　　　cm. 

8.[2018·

邵阳]如图18-9所示,E是▱ABCD的边BC延长线上的一点,连接AE,交CD于点F,连接BF.写出图中任意一对相似三角形:

　　　　　　. 

图18-9图18-10

9.如图18-10,小明在测量旗杆高度的实践活动中,发现地面上有一滩积水,他刚好能从积水中看到旗杆的顶端,测得积水与旗杆底部的距离CD=6米,他与积水的距离BC=1米,他的眼睛与地面的距离AB=1.5米,则旗杆的高度DE=　　　　米. 

10.如图18-11,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点坐标分别为O（0,0）,A（2,0）,B（2,1）,C（0,1）,以坐标原点O为位似中心,将矩形OABC放大为原图形的2倍,记所得矩形为OA1B1C1,点B的对应点为点B1,且点B1在OB的延长线上,则点B1的坐标为　　　　. 

图18-11

11.如图18-12,在△ABC中,AB=AC,AD为边BC上的中线,DE⊥AB于点E.

△BDE∽△CAD;

（2）若AB=13,BC=10,求线段DE的长.

图18-12

12.[2017·

株洲]如图18-13所示,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与BC相交于点G,连接CF.

△DAE≌△DCF;

（2）求证:

△ABG∽△CFG.

图18-13

13.如图18-14,在四边形ABCD中,AB=AD,AC与BD交于点E,∠ADB=∠ACB.

（2）若AB⊥AC,AE∶EC=1∶2,F是BC的中点,求证:

四边形ABFD是菱形.

图18-14

教师详解详析

【回眸教材析知识】

1.ad=bc　2.成比例线段　比例线段

3.黄金分割　黄金分割点　0.618　4.比例　成比例

5.放大　缩小

6.相等　成比例　7.相等　成比例

8.相等　成比例且夹角相等　成比例

9.相似比　相似比　相似比的平方　10.O　放大　缩小

【教材典题链中考】

例　解:

因为四边形EFGH是正方形,所以HG=HE,HG∥EF,所以△AHG∽△ABC,所以对应高的比等于相似比,即=.设HG=HE=xcm.

因为BC=30cm,AD=20cm,所以=,

解得x=12.故这个正方形的边长为12cm.

变式　解:

（1）证明:

∵四边形EFGH为矩形,∴EF∥GH,

∴△AHG∽△ABC.

又∵AD⊥BC,∴AM⊥HG,∴=.

（2）由

（1）,得=.设HE=xcm,则HG=2xcm.

∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠MHE=∠AED=90°

∴四边形HEDM是矩形,MD=HE,

∴AM=AD-MD=AD-HE=（30-x）cm.

∴=,解得x=12,则2x=24.

故矩形EFGH的周长为2×

（12+24）=72（cm）.

【课后自测我当先】

1.A　2.B　3.B　4.B　

5.C　[解析]在△BAC和△ADC中,∵∠C是公共角,∠B=∠CAD,∴△BAC∽△ADC.∵=2,∴=2=4.又∵△ADC的面积为a,∴△ABC的面积为4a,

∴△ABD的面积为3a.

6.A　[解析]如图.∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形,∴AD=DC=1,EC=2,AD∥CE,∴△ADH∽△ECH,∴=,∴=,解得DH=,

∴阴影部分的面积为×

×

1=.

7.

8.答案不唯一,如△ADF∽△ECF

9.9　[解析]由题意可知∠ABC=∠EDC=90°

∠ACB=∠ECD,∴△ABC∽△EDC,∴=.∵CD=6米,BC=1米,AB=1.5米,

∴=,解得DE=9.

10.（4,2）

11.解:

∵AB=AC,∴∠B=∠C.

又∵AD为边BC上的中线,∴AD⊥BC.

∵DE⊥AB,∴∠BED=∠CDA=90°

∴△BDE∽△CAD.

（2）∵BC=10,AD为边BC上的中线,∴BD=CD=5.

∵AC=AB=13,∴由勾股定理可知AD==12.

由

（1）△BDE∽△CAD可知=,得=,故DE=.

12.证明:

（1）∵四边形ABCD是正方形,△DEF是等腰直角三角形,

∴∠ADC=∠EDF=90°

AD=CD,DE=DF,

∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF,

∴∠ADE=∠CDF.

在△DAE和△DCF中,

∴△DAE≌△DCF.

（2）如图,延长BA交ED于点M.

∵△DAE≌△DCF,

∴∠EAD=∠FCD,

即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠FCG.

∵∠MAD=∠BCD=90°

∴∠EAM=∠FCG.

∵∠EAM=∠BAG,∴∠BAG=∠FCG.

又∵∠AGB=∠CGF,∴△ABG∽△CFG.

13.证明:

（1）∵AB=AD,∴∠ABE=∠ADB.

又∵∠ADB=∠ACB,∴∠ABE=∠ACB.

又∵∠BAE=∠CAB,∴△ABE∽△ACB,∴=,即=.

又∵AB=AD,∴=.

（2）设AE=x.∵AE∶EC=1∶2,∴EC=2x,AC=3x.

由

（1）,得AB2=AE·

AC,∴AB=x.

∵AB⊥AC,∴BC=2x,∴∠ACB=30°

.

∵F是BC的中点,∴BF=x,∴BF=AB=AD.

∵∠ADB=∠ACB=∠ABD,∠ACB=30°

∴∠ADB=∠CBD=30°

∴AD∥BF,

∴四边形ABFD是平行四边形.

又∵AD=AB,∴四边形ABFD是菱形.