专题十八 图形的相似文档格式.docx
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判定定理3:
三边 的两个三角形相似.
9.相似三角形的性质:
相似三角形对应高、对应角平分线、对应边上中线的比都等于 ;
周长的比等于 ;
面积的比等于 .
10.一般地,取定一个点O,如果一个图形G上每一个点P对应于另一个图形G'
上的点P'
且满足:
(1)直线PP'
经过点 .
(2)=│k│,其中k是非零常数,当k>
0时,点P'
在射线OP上,当k<
在射线OP的反向延长线上.
那么称图形G与图形G'
是位似图形.利用位似可以把一个图形 或 .
教材典题链中考
●例 [教材母题]如图18-1,△ABC为锐角三角形,AD是边BC上的高,正方形EFGH的一边EF在BC上,顶点G,H分别在AC,AB上.已知BC=30cm,AD=20cm.求这个正方形的边长.
图18-1
中考风向标:
相似图形是中考的必考内容之一,在单独考查时多以选择题和填空题的形式出现,若和其他知识点综合考查则以综合类解答题和证明题为主.由于相似图形和全等图形联系紧密,所以在复习中要时刻与全等图形比较,把判定全等图形的方法迁移到相似图形中.在具体题目中,要根据题目给出的边角特点,选择适当的判定方法.
变式 如图18-2,△ABC是一张锐角三角形的硬纸片,AD是边BC上的高,BC=
40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在边BC上,顶点G,H分别在边AC,AB上,AD与HG的交点为M.
(1)求证:
=;
(2)求这个矩形EFGH的周长.
图18-2
课后自测我当先
1.若=,则的值为( )
A.B.C.D.-
2.如图18-3,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC.已知AE=6,=,则EC的长是( )
A.4.5B.8C.10.5D.14
图18-3图18-4
3.[2017·
张家界]如图18-4,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,如果△ADE的周长是6,那么△ABC的周长是( )
A.6B.12C.18D.24
4.如图18-5,小正方形的边长均为1,则图18-6中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
图18-5 图18-6
5.[2019·
淄博]如图18-7,在△ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△ADC的面积为a,则△ABD的面积为( )
A.2aB.aC.3aD.a
图18-7图18-8
6.[2019·
乐山]把边长分别为1和2的两个正方形按如图18-8的方式放置,则图中阴影部分的面积为( )
A.B.C.D.
7.若线段a,b,c,d成比例,其中a=5cm,b=7cm,c=4cm,则d= cm.
8.[2018·
邵阳]如图18-9所示,E是▱ABCD的边BC延长线上的一点,连接AE,交CD于点F,连接BF.写出图中任意一对相似三角形:
.
图18-9图18-10
9.如图18-10,小明在测量旗杆高度的实践活动中,发现地面上有一滩积水,他刚好能从积水中看到旗杆的顶端,测得积水与旗杆底部的距离CD=6米,他与积水的距离BC=1米,他的眼睛与地面的距离AB=1.5米,则旗杆的高度DE= 米.
10.如图18-11,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,0),B(2,1),C(0,1),以坐标原点O为位似中心,将矩形OABC放大为原图形的2倍,记所得矩形为OA1B1C1,点B的对应点为点B1,且点B1在OB的延长线上,则点B1的坐标为 .
图18-11
11.如图18-12,在△ABC中,AB=AC,AD为边BC上的中线,DE⊥AB于点E.
△BDE∽△CAD;
(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.
图18-12
12.[2017·
株洲]如图18-13所示,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与BC相交于点G,连接CF.
△DAE≌△DCF;
(2)求证:
△ABG∽△CFG.
图18-13
13.如图18-14,在四边形ABCD中,AB=AD,AC与BD交于点E,∠ADB=∠ACB.
(2)若AB⊥AC,AE∶EC=1∶2,F是BC的中点,求证:
四边形ABFD是菱形.
图18-14
教师详解详析
【回眸教材析知识】
1.ad=bc 2.成比例线段 比例线段
3.黄金分割 黄金分割点 0.618 4.比例 成比例
5.放大 缩小
6.相等 成比例 7.相等 成比例
8.相等 成比例且夹角相等 成比例
9.相似比 相似比 相似比的平方 10.O 放大 缩小
【教材典题链中考】
例 解:
因为四边形EFGH是正方形,所以HG=HE,HG∥EF,所以△AHG∽△ABC,所以对应高的比等于相似比,即=.设HG=HE=xcm.
因为BC=30cm,AD=20cm,所以=,
解得x=12.故这个正方形的边长为12cm.
变式 解:
(1)证明:
∵四边形EFGH为矩形,∴EF∥GH,
∴△AHG∽△ABC.
又∵AD⊥BC,∴AM⊥HG,∴=.
(2)由
(1),得=.设HE=xcm,则HG=2xcm.
∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠MHE=∠AED=90°
∴四边形HEDM是矩形,MD=HE,
∴AM=AD-MD=AD-HE=(30-x)cm.
∴=,解得x=12,则2x=24.
故矩形EFGH的周长为2×
(12+24)=72(cm).
【课后自测我当先】
1.A 2.B 3.B 4.B
5.C [解析]在△BAC和△ADC中,∵∠C是公共角,∠B=∠CAD,∴△BAC∽△ADC.∵=2,∴=2=4.又∵△ADC的面积为a,∴△ABC的面积为4a,
∴△ABD的面积为3a.
6.A [解析]如图.∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形,∴AD=DC=1,EC=2,AD∥CE,∴△ADH∽△ECH,∴=,∴=,解得DH=,
∴阴影部分的面积为×
×
1=.
7.
8.答案不唯一,如△ADF∽△ECF
9.9 [解析]由题意可知∠ABC=∠EDC=90°
∠ACB=∠ECD,∴△ABC∽△EDC,∴=.∵CD=6米,BC=1米,AB=1.5米,
∴=,解得DE=9.
10.(4,2)
11.解:
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
又∵AD为边BC上的中线,∴AD⊥BC.
∵DE⊥AB,∴∠BED=∠CDA=90°
∴△BDE∽△CAD.
(2)∵BC=10,AD为边BC上的中线,∴BD=CD=5.
∵AC=AB=13,∴由勾股定理可知AD==12.
由
(1)△BDE∽△CAD可知=,得=,故DE=.
12.证明:
(1)∵四边形ABCD是正方形,△DEF是等腰直角三角形,
∴∠ADC=∠EDF=90°
AD=CD,DE=DF,
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF,
∴∠ADE=∠CDF.
在△DAE和△DCF中,
∴△DAE≌△DCF.
(2)如图,延长BA交ED于点M.
∵△DAE≌△DCF,
∴∠EAD=∠FCD,
即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠FCG.
∵∠MAD=∠BCD=90°
∴∠EAM=∠FCG.
∵∠EAM=∠BAG,∴∠BAG=∠FCG.
又∵∠AGB=∠CGF,∴△ABG∽△CFG.
13.证明:
(1)∵AB=AD,∴∠ABE=∠ADB.
又∵∠ADB=∠ACB,∴∠ABE=∠ACB.
又∵∠BAE=∠CAB,∴△ABE∽△ACB,∴=,即=.
又∵AB=AD,∴=.
(2)设AE=x.∵AE∶EC=1∶2,∴EC=2x,AC=3x.
由
(1),得AB2=AE·
AC,∴AB=x.
∵AB⊥AC,∴BC=2x,∴∠ACB=30°
.
∵F是BC的中点,∴BF=x,∴BF=AB=AD.
∵∠ADB=∠ACB=∠ABD,∠ACB=30°
∴∠ADB=∠CBD=30°
∴AD∥BF,
∴四边形ABFD是平行四边形.
又∵AD=AB,∴四边形ABFD是菱形.