竞赛培训专题5指数函数文档格式.docx
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1,且
求m,n
左边=
原式为loga（m+n）=logamn
得m+n=mn即（m-1）（n-1）=1
因为m,nÎ
N，所以从而m=n=2
二、比较大小
例1.试比较与的大小
令121995=a>
0则
¸
所以>
例2.已知函数f（x）=logax（a>
1,xÎ
R+）若x1,x2Î
R+,试比较与的大小
f（x1）+f（x2）=loga（x1x2）
∵x1,x2Î
R+,∴（当且仅当x1=x2时，取“=”号），
当a>
1时，有，∴
即（当且仅当x1=x2时，取“=”号）
例3.已知y1=，y2=，当x为何值时
（1）y1=y2
（2）y1>
y2 （3）y1<
y2
由指数函数y=3x为增函数知
（1）y1=y2的充要条件是：
2x2-3x+1=x2+2x-5解得x1=2,x2=3
（2）y1>
y2的充要条件是：
2x2-3x+1>
x2+2x-5解得x<
2或x>
3
（3）y1<
2x2-3x+1<
x2+2x-5解得2<
x<
三、证明
例1.对于自然数a,b,c（a£
b£
c）和实数x,y,z,w若ax=by=cz=70w
（1）
（2）
求证：
a+b=c
证明：
由
（1）得：
∴
把
（2）代入得：
abc=70=2´
5´
7,a£
c
由于a,b,c均不会等于1，故a=2,b=5,c=7从而a+b=c
例2.已知A=6lgp+lgq，其中p,q为素数，且满足q-p=29，求证：
3<
A<
4
由于p,q为素数，其差q-p=29为奇数，∴p=2,q=31
A=6lg2+lg31=lg（26×
31）=lg1984
1000<
1984<
10000 故3<
例3.设f（x）=logax（a>
1）且（q为锐角），求证：
1<
a<
15
∵q是锐角，∴，从而a>
1
又f（15）==sinq+cosq
=1
故a<
15 综合得：
例4.已知0<
1,x2+y=0，求证：
证：
因为0<
1，所以ax>
0,ay>
0由平均值不等式
故
四、图象和性质
例1.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2b
在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y=log2x的图象，再作直线y=x和y=-x+3，由于y=2x和y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，方程log2x+x-3=0的根a就是直线y=-x+3与对数曲线y=log2x的交点A的横坐标，方程2x+x-3=0的根b就是直线y=-x+3与指数曲线y=2x的交点B的横坐标
设y=-x+3与y=x的交点为M，则点M的横坐标为（1.5,1.5），
所以a+b=2xM=3 log2a+2b=2yM=3
例6.设f（x）=min（3+，log2x）,其中min（p,q）表示p、q中的较小者，求f（x）的最大值
易知f（x）的定义域为（0,+¥
）
因为y1=3+在（0,+¥
）上是减函数，y2=log2x在（0,+¥
）上是增函数，而当y1=y2，即
3+=log2x时，x=4，所以由y1=3+和y2=log2x的图象可知
故当x=4时，得f（x）的最大值是2
另解：
f（x）£
3+=3-
（1） f（x）=log2x
（2）
（1）´
2+
（2）消去log2x，得3f（x）£
6，f（x）£
2又f（4）=2,故f（x）的最大值为2
例7.求函数的最小值
由1-3x>
0得，x<
0,所以函数的定义域为（-¥
0）
令3x=t,则tÎ
（0,1），于是
故当x=-1时，得y的最小值-2+2log23
五、方程和不等式
例1.解方程
（1）x+log2（2x-31）=5
（2）2lgx×
xlg2-3×
xlg2-21+lgx+4=0
（1）原方程即：
log22x+log2（2x-31）=5
log2[2x（2x-31）]=5 （2x）2-31×
2x=32解得：
2x=32,∴x=5
（2）原方程即：
（2lgx）2-5×
2lgx+4=0解得：
x1=100,x2=1
例2.设a>
0且a¹
1,求证：
方程ax+a-x=2a的根不在区间[-1,1]内
设t=ax,则原方程化为：
t2-2at+1=0
（1）由D=4a2-4³
0得a³
1,即a>
令f（t）=t2-2at+1,f（a）=a2-2a2+1=1-a2<
0
所以f（t）的图象与横轴有的交点的横坐标在之外，故方程t2-2at+1=0在之外有两个实根，原方程有两实根且不在区间[-1,1]内
例3.解方程：
lg2x-[lgx]-2=0（其中[x]表示不大于实数x的最大整数）
由[x]的定义知，[x]£
x，故原方程可变为不等式：
lg2x-lgx-2£
0即-1£
lgx£
2
当-1£
lgx<
0时，[lgx]=-1，于是原方程为lg2x=1
当0£
1时，[lgx]=0，原方程为lg2x=2，均不符合[lgx]=0
当1£
2时，[lgx]=1，原方程为lg2x=3，所以lgx=，
当lgx=2时，x=100
所以原方程的解为x1=
例4.当a为何值时，不等式
有且只有一解
易知：
a>
1，设u=x2+ax+5，原不等式可化为
（1）当0<
1时，原不等式为
（1）
由于当u³
0时，与均为单调增函数，所以它们的乘积
也是单增函数
因为f（4）=log3（2+1）×
log5（4+1）=1
所以
（1）等价于u³
4,即x2+ax+5³
4此不等式有无穷多解
（2）当a>
1时，不等式化为
（2）
由f（4）=1知，
（2）等价于0£
u£
4，即0£
x2+ax+5£
从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解即D=a2-4=0，a=2时，不等式0£
4有唯一解x=-1
综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解
例5.已知a>
1，试求使方程有解的k的取值范围
原方程即
即
分别解关于的不等式、方程得：
（k¹
0时）
所以解得k<
-1或0<
k<
又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾，故k的取值范围为（-¥
-1）U（0,1）
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