竞赛培训专题5指数函数文档格式.docx

1、1,且 求m,n 左边= 原式为loga（m+n）=logamn 得m+n=mn即（m-1）（n-1）=1 因为m,nN，所以从而m=n=2 二、比较大小 例1.试比较与的大小 令121995=a0则 所以例2.已知函数f（x）=logax （a1,xR+）若x1,x2R+,试比较与的大小 f（x1）+f（x2）=loga（x1x2） x1,x2R+, （当且仅当x1=x2时，取“=”号）， 当a1时，有， 即 （当且仅当x1=x2时，取“=”号） 例3.已知y1=，y2=，当x为何值时 （1）y1=y2 （2）y1y2 （3）y1y2的充要条件是：2x2-3x+1x2+2x-5 解得x3 （

2、3）y12x2-3x+1x2+2x-5 解得2x三、证明 例1.对于自然数a,b,c （abc）和实数x,y,z,w若ax=by=cz=70w （1） （2） 求证：a+b=c 证明：由（1）得： 把（2）代入得：abc=70=257,ac 由于a,b,c均不会等于1，故a=2,b=5,c=7从而a+b=c 例2.已知A=6lgp+lgq，其中p,q为素数，且满足q-p=29，求证：3A4 由于p,q为素数，其差q-p=29为奇数，p=2,q=31 A=6lg2+lg31=lg（2631）=lg1984 1000198410000故31）且 （q为锐角），求证：1a1 又f（15）=sinq+

3、cosq =1 故a15 综合得：例4.已知01,x2+y=0，求证：证：因为00,ay0由平均值不等式 故 四、图象和性质 例1.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2b 在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y=log2x的图象，再作直线y=x和y= -x+3，由于y=2x和y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，方程log2x+x-3=0的根a就是直线y= -x+3与对数曲线y=log2x的交点A的横坐标，方程2x+x-3=0的根b就是直线y= -x+3与指数曲线y=2x的交点B的横坐标 设y= -x+3与y=x的交点为M

4、，则点M的横坐标为（1.5,1.5）， 所以a+b=2xM=3 log2a+2b=2yM=3 例6.设f（x）=min（3+，log2x）,其中min（p,q）表示p、q中的较小者，求f（x）的最大值 易知f（x）的定义域为（0,+） 因为y1=3+在（0,+）上是减函数，y2=log2x在（0,+）上是增函数，而当y1=y2，即 3+=log2x时，x=4，所以由y1=3+和y2=log2x的图象可知 故当x=4时，得f（x）的最大值是2 另解：f（x）3+=3- （1） f（x）=log2x （2） （1）2+（2）消去log2x，得3f（x）6，f（x）2 又f（4）=2,故f（x）的最

5、大值为2 例7.求函数的最小值 由1-3x0得，x0且a1,求证：方程ax+a-x=2a的根不在区间-1,1内 设t=ax,则原方程化为：t2-2at+1=0 （1） 由D=4a2-40得a1,即a令f（t）= t2-2at+1 , f（a）=a2-2a2+1=1-a20 所以f（t）的图象与横轴有的交点的横坐标在之外，故方程t2-2at+1=0在之外有两个实根，原方程有两实根且不在区间-1,1内 例3.解方程：lg2x-lgx-2=0 （其中x表示不大于实数x的最大整数） 由x的定义知，xx，故原方程可变为不等式：lg2x-lgx-20即-1lgx2 当-1lgx1，设u=x2+ax+5，原不等式可化为 （1）当01时，不等式化为 （2） 由f（4）=1知，（2）等价于0u4，即0x2+ax+5从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解即D=a2-4=0，a=2时，不等式04有唯一解x= -1 综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解 例5.已知a1，试求使方程有解的k的取值范围 原方程即 即 分别解关于的不等式、方程得： （k0时） 所以解得k -1或0k又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾，故k的取值范围为（-,-1）U（0,1）