矩阵力学基础力学量和算符Word文件下载.docx
《矩阵力学基础力学量和算符Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵力学基础力学量和算符Word文件下载.docx（29页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
在本章中我们将看到:
所谓“确定”，是在能给出几率和求得平均值意义下说的。
一般说来，当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值均以一定的概率出现。
当给定描述这一运动状态的波函数后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。
利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。
例如处于基态的氢原子。
其电子的坐标和动量不同时具有确定的数值。
但电子坐标具有某一确定值的概率，或电子动量具有某一确定值的概率，却完全可由氢原子的基态波函数给出。
相应地，坐标的平均值和动量的平均值也完全确定。
既然一切力学量的平均值原则上均可由给出，而且这些平均值就是在所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下一般认为，波函数描写了粒子的运动状态。
在§
2.3讨论薛定愕方程时曾指出，力学量动量用算符来表示的对应关系是:
，动能是，定态薛定愕方程就是能量算符的本征方程。
现在问:
这种力学量用算符来表示的对应关系，是否仅是一种类比，其中是否还存在着更深刻的物理内涵?
另外，是否任何力学量，均可用算符表示?
而且除能量算符外，其他算符是否也有相应的本征方程?
如果一切力学量均可用算符表示的命题成立，其逆命题，即一切算符均对应力学量是否也成立?
比方说，开方就是个算符，它是否也对应力学量?
量子力学中能对应力学量的算符是否有某种限制?
本章将回答这些问题。
Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;
notforcommercialuse
为此，先讨论力学量的平均值。
对以波函数描述的状态，按照波函数的统计解释，表示在t时刻在中找到粒子的概率,因此坐标的平均值显然是
（3.1.I）
坐标的函数的平均值是
（
这里已经假定，波函数满足归一化条件（2.1.6）式。
现在讨论动量算符的平均值。
显然,的平均值不能简单地写成因为只表示在中的概率而不代表在中找到粒子的概率。
要计算，应该先找出在t时刻，在中找到粒子的概率按§
2.2的讨论，这相当于对作傅里叶变换，而由公式
给出，动量的平均值可表示为
这里已经用了若归一，则也归一的结论。
但是上面这种作法，却不但间接，而且麻烦。
应该找出一种直接从计算动量平均值的方法。
为此，我们先计算动量在方向的分量的平均值。
由（
（
利用公式
可将（
（
同理有
由此得出结论:
要在状态中求动量px、py、pz的平均值，只需以相应的微分算符、、，作用在上，然后乘以,再对全空间积分就可求得。
将（3.1.7）、（，得
记动量算符为
（3.1.11）
（3.1.12）
同理，不难证实，当n为正整数时解的平均值可写成
同理还可给出对、的平均值。
对于任何动量的解析函数，总可将按作泰勒展开并逐项积分，然后利用平均值公式（，从而有
（3.1.14）
比方，动能的平均值是
角动量的平均值是
（3.1.10）式表明:
动量的平均值依赖于波函数的梯度。
这正是波粒二象性的反映。
按德布罗意关系（，波长越短，动量越大。
显然，若越大，则越短;
因而动量的平均值越大。
综合上述我们得出，在求平均值的意义下，力学量可以用算符来代替。
在用坐标表象中的波函数计算动量平均值时，需要引进动量算符。
除动量算符外，能量算符和角动量算符分别为
体系的任何一个力学量的平均值总可以表示为
是与力学量相应的算符。
在本章中，算符在它的顶上用“”表示。
在对算符比较熟悉以后，为避免书写麻烦，我们将略去记号“”。
2.2中曾指出，同一量子态既可用坐标表象中的波函数表示，也可用动量表象中的波函数表示。
与在坐标表象中，动量用算符来表示相似，在动量表象中，坐标也必须用算符来表示。
可以证明，在动量表象中的坐标算符是
（
平均值是
相应地，在动量表象中的定态薛定愕方程是
（
请读者自己证明动量表象中的这些结论。
3.2算符的运算规则
若某一运算将函数二变为函数,记作
则表示这一运算的符号称为算符。
若算符满足
其中、是任意函数，C1、C2是常数，则称为线性算符。
动量算符、积分算符等均为线性算符。
为任意函数，则称为单位算符。
在数学上，若存在映照，将集合中的元素,映照到集合之中的元素，记作：
或。
若集合和均为数集，则称为函数;
若是一般的集合而是数集，则称为泛函；
若和均为一般集合，则称为算子或算符。
1.算符的运算规则
算符的一般运算规则如下:
（1）算符之和
算符和之和（十），定义为
必为任意函数。
显然，算符之和满足交换律和结合律
而且，线性算符之和仍为线性算符。
（2）算符之积
算符和之积，定义为
算符对任意函数的运算，等于先用对运算，得出，然后再用算符对进行运算得到的结果。
一般说来，算符之积与算符的前后次序有关，不满足交换律
（3.2.6）
比如，取；
，则
但
因此有
由于是任意函数，从（
从（
记和之差为
称为算符、的对易关系或对易子。
（，与的对易子。
若算符和的对易子为零，则称算符和对易。
这时、之积满足交换律：
。
例如，与就是相互对易的算符。
利用对易子的定义（，容易证明，存在下列恒等式：
（若为常数）
最后一式称为雅可比恒等式。
作为例子，我们讨论角动量算符，它的三个分量分别是
（3.2.11）
它们和坐标算符的对易子是
，，
，，（
（
上式中表示相应的分量，称为列维一斯维塔（Levi－Civita）记号，满足
（3.2.14）
任意两个相邻下脚标的对换。
改变正负号。
因此，若任意两个下脚标相同。
则为零。
比如有。
同理.可以证明角动童算符和动量算符的对易子是
（3.2.15）
角动量算符各个分量之间的对易子是
（，角动量算符的三个分量、、之间，彼此互不对易。
而坐标和动量的对易子（
其中
（3）算符的乘幂
算符的次幂定义为
例如，若，则，算符之乘幂显然满足
作为例子，考察。
由
显然有
由于坐标轴的选择本来就是任意的;
只须保持右旋坐标系，（）的顺序不变，定义哪个轴是轴，哪个轴是轴，不影响计算结果。
即角动量的平方算符与任何一个角动量的分量算符均对易。
事实上，（,（，正是表征了上述右旋坐标系的性质。
（4）算符的函数
若是的解析函数，则算符的函数一般可定义为
例如，算符的指数函数的定义是
（5）算符之逆
且能从上式中唯一地解出来，则定义算符的逆算符为
（3.2.25）
并非所有算符都有逆算符存在。
但若存在，则必有
（，是单位算符。
2.算符的矩阵表示
算符所满足的上述运算规则使我们想起了一种数学工具—矩阵，因为算符运算和矩阵运算完全一样。
为了解算符的矩阵表示，先讨论普通的矢量空间。
（1）矢量空间
以二维矢量空间为例。
选为二维矢量空间中的一组正交标准基，满足
记为二维矢量空间中的一个矢量
为二维矢量空间中一个转角为的转动算符，经作用后，矢量变为矢量，
（3.2.27）
或写成
（，就是将坐标系中的基矢转动角后变成新坐标系中的基矢，由图，
式中：
是新基矢在旧坐标系方向的基矢上的投影；
是新基态在旧坐标系方向的基矢上的投影。
将（，得
或写成矩阵形式
（3.2.31）
因此，算符可以用矩阵表示
相应地，新、旧坐标系中基矢的变化也可用矩阵表示为
是的转置矩阵。
由（，有
即
是正交矩阵。
由此得出结论：
在矢量空间中的一个转动，或者说一个算符，对应一个矩阵。
这个矩阵的列向量为
；
分别由新坐标系中的基矢，在旧坐标中的投影排列而成，是新基矢在旧基中的表示（
（2）希尔伯特（Hilbert）空间
现在将上述讨论推广到量子力学。
比较矢量在坐标系中的公式
和
可见，若将视为基矢，对的积分视为对基矢的求和，则可视为态基矢在基矢为的坐标系中的分量。
与的各个分量组成一个列矩阵相似，也对应一个列矩阵。
所不同的，仅在于是组分立的基矢，而是个的函数。
是个分立的矩阵元为实数的列矩阵，而是个连续的无限维的矩阵，而且它的矩阵元可以是复数。
严格说来，以前的所谓波函数，实际上是态矢量在以为基底的“坐标系”，或称表象中的分量或投影。
在这种意义下，任何一个使态矢量变为另一个态矢量的算符运算，与相似均对应一个矩阵。
这个矩阵和原来描述态矢量分量的矩阵的乘积，给出新的态矢量矩阵。
但是这里要注意，由于一般说来，是复数，因此描述的矢量是个复矢量，这个矢量所在的空间，是个复的函数空间。
它的基矢是个函数。
而且空间的维数既可以是有限的，也可以是无限的，对于连续谱的情况，甚至可以是不可数的。
这种函数空间，称为希尔伯特空间。
.
记为希尔伯特空间中的一组基，则任一态矢量在中可表示为
以算符作用于态矢量后得
即有
（，为
综合上述，我们得出结论：
（i）体系的一个量子态，在希尔伯特空间中用一个矢量表示，这个矢量称为态矢量。
（ii）在希尔伯特空间中给定了一组基矢后，态矢量可以用它在基矢中的投影，即用分量表示，从而表示为一个列矩阵，即波函数。
在量子力学中，给定了一组基矢，称为给定了一个表象。
给定表象后，量子态用波函数表示。
（iii）算符是在希尔伯特空间中从一个矢量到另一个矢量的运算。
给定表象，即给定一组基矢后，一个算符对应一个矩阵，表示为
其它的矩阵元由算符占作用后的新基矢在旧基矢上的投影给出。
（iv）一般说来，在量子力学中的希尔伯特空间，是复的函数空间。
相互正交的基矢的数目，既可以是有限的，也可以是无限的。
关于量子态和算符的矩阵表示，我们在下一章讨
升级会员 