必修4平面向量典型例题及练习Word格式.docx

必修4平面向量典型例题及练习Word格式.docx

《必修4平面向量典型例题及练习Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《必修4平面向量典型例题及练习Word格式.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

④有相同起点的两个非零向量不平行

题型二向量的表示

例3.一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点,然后又改变方向,向西偏北45°

走了200km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100km到达D点.

（1）作出向量,,;

（2）求

题型三相等向量与共线向量

例4如图，设是正六边形的中心，分别

写出图中与向量，，相等的向量，共线的向量。

题型四利用向量解决多点共线的问题

例5.如图，四边形ABCD中，，P,Q是AD，BC上的

点，且,求证：

综合练习：

1.下列命题中，正确的是（）

A.若|a|=|b|，则a=bB.若a=b,则a与b是平行向量

C.若|a|>

|b|,则a>

bD.若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量

2.下列说法中错误的是（）

A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0

C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的

3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是

4.已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,则c与b关系是.

5.已知a、b是两非零向量,且a与b不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必定.

6.判定下列命题的正误：

①零向量是惟一没有方向的向量。

（）

②平面内的单位向量只有一个。

③方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量。

（）

④向量a与b是共线向量，b∥C,则a与c是方向相同的向量。

（）

⑤相等的向量一定是共线向量。

7.下列四个命题中，正确命题的个数是

1共线向量是在同一条直线上的向量

2若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点

3与已知非零向量共线的单位向量是唯一的

④若四边形ABCD是平行四边形，则与，与分别共线.

2.2平面向量的线性运算

2.2.1向量的加法

2.2.2向量的减法

2.2.3向量的数乘

1.向量的加法：

2.向量加法的平行四边形法则：

3.向量的加法的运算率：

4.向量的减法：

5.向量减法的平行四边形法则：

6.向量数乘的概念：

7.向量的数乘的性质：

8.向量共线的条件：

9.向量的线性运算

10.向量证明三点共线：

三角形的中线与重心公式：

题型一向量的加减法

例1.下面给出的四个式子中，其中值不一定为的是（）

A.B.

C.D.

例2．如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,

则＝（）

A.B.C.D.

题型二向量的作图

例3已知在矩形ABCD中，宽为2，长为,a,b,c,试作出向量a+b+c，并求出其模的大小

例4.已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d

题型三用已知向量表示未知向量

例5.如图所示，OADB是以向量=，=为边的平行四边形，

又BM=BC，CN=CD．试用，表示，，．

变式：

设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：

①＝－a－b②＝a＋b③＝－a＋b④＋＋＝0.其中正确的命题个数为（）A.1B.2C.3D.4

题型四向量的加减法综合运用

例6.设两个非零向量、不是平行向量

（1）如果=+，=2+8，=3（），求证A、B、D三点共线；

（2）试确定实数的值，使+和+是两个平行向量．

例7.已知O是ABCD的对角线AC与BD的交点,若=a,=b,=c,试证明:

c+a-b=.

1.下列命题正确的有

①单位向量都相等②长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量

③若a，b满足|a|>

|b|且a与b同向，则a>

b

④对于任意向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|

2.以下四个命题中不正确的有

①若a为任意非零向量，则a∥0②|a+b|=|a|+|b|

③a=b，则|a|=|b|，反之不成立④任一非零向量的方向都是惟一的

3.已知，则的取值范围为

4.设（+）+（+）=,≠,则在下列结论中，

正确的有

①∥;

②+=;

③+=;

④｜+｜＜｜｜+｜｜

5.化简

6.如图，在四边形ABCD中,根据图示填空:

a+b=,b+c=,c-d=,a+b+c-d=.

2.3平面向量

2.3.1平面向量基本定理

1.平面向量的基本定理：

2.向量的夹角：

题型一基底的判定

例1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有（）

A.e1、e2一定平行

B.e1、e2的模相等

C.同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2（λ、μ∈R）

D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2（λ、u∈R）

题型二用基底表示向量

例2.已知a=-e1+3e2，b=4e1+2e2，其中e1，e2不共线，向量c=-3e1+12e2，用试用a，b作为基底来表示c

题型三向量的夹角

例3.已知两个非零向量a，b的夹角为80°

，求下列向量的夹角：

（1）a与-b

（2）2a与3b

练习：

1.已知向量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c=6e1-2e2的关系

A.不共线B.共线C.相等D.无法确定

2.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足（3x-4y）e1+（2x-3y）e2=6e1+3e2，则x-y的值等于（）

A.3B.-3C.0D.2

3.已知a、b不共线，且c=λ1a+λ2b（λ1，λ2∈R），若c与b共线，则λ1=.

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3平面向量的坐标运算

2.3.4平面向量的共线的坐标表示

1.平面向量的正交分解：

2.平面向量的坐标表示：

3.平面向量的坐标运算：

4.平面向量共线的表示：

5.三点共线：

题型一求向量的坐标

例1.已知点A（2，2）B（-2，2）C（4，6）D（-5，6）E（-2，-2）F（-5，-6）

在平面直角坐标系中，分别作出向量并求向量的坐标。

题型二平面向量的坐标运算

例2已知=（2，1），=（-3，4），求+，-，3+4的坐标.

例3已知平面上三点的坐标分别为A（-2，1），B（-1，3），C（3，4），求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.

例4已知三个力（3，4），（2，-5），（x，y）的合力++=，求的坐标.

1．若M（3，-2）N（-5，-1）且，求P点的坐标

2．若A（0，1），B（1，2），C（3，4），则-2=.

3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是（）

A．B．

C．D．

4．已知，，则等于（）

A．B．C．D．

5．已知平面向量，，且2，则等于（）

A．B．C．D．

6.已知，，若与平行，则等于（）．

A.1B.-1C.1或-1D.2

7.已知，，则的坐标为____________.

8.已知，，，，则以，为基底，求.

题型三向量共线的证明及判定

例5.已知A（-1，-1），B（1，3），C（1，5），D（2，7），向量与平行吗？

直线AB与平行于直线CD吗？

题型四向量共线求参数

例6已知，，且，求．

1.若向量=（-1，x）与=（-x，2）共线且方向相同，则x为________.

2.设，，，且，求角．

题型五三点共线

例2:

已知，，，求证、、三点共线．

例3:

设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2）.

（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；

（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.

1.若=（2，3），=（4，-1+y），且∥，则y=（）

A.6B.5C.7D.8

2.若A（x，-1），B（1，3），C（2，5）三点共线，则x的值为（）

A.-3B.-1C.1D.3

3.若=i+2j，=（3-x）i+（4-y）j（其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量）.与共线，则x、y的值可能分别为（）

A.1，2B.2，2C.3，2D.2，4

4.已知=（4，2），=（6，y），且∥，则y=.

5.已知=（1，2），=（x，1），若+2与2-平行，则x的值为

2.4平面向量的数量积

2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义

1.平面向量的数量级的概念：

2.平面向量数量积的几何意义：

3.向量数量积的性质：

题型一平面向量数量积的基本概念

①若|a|=|b|，则a=b或a=-b；

②|a·

b|=|a||b|；

③a·

b=0a=0或b=0；

④若a∥b且b∥c，则a∥c。

A．0B．1C．2D．3

题型二求向量的投影和数量积

例2.已知||=5，||=4，与的夹角θ=120o，求·

.

1.已知a=（1，-2），b=（3，4），则a在b方向上的投影是______

2.已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°

时，分别求·

题型三求向量的模

例3.已知||=6，||=4，与的夹角为60o求（+2）·

（-3）

1.已知||=2，||=1，与之间的夹角为，那么向量m=-4的模为（）

A.2B.2C.6D.12

2.已知||=1，||=，

（1）若∥，求·

；

（2）若、的夹角为６０°

，求|+|；

（3）若-与垂直，求与的夹角.

题型四向量垂直的判定

例4.已知||=3，||=4，且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直.

题型五求向量的夹角的余弦值

例5.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°

，求向量=2m+n与=2n-3m的夹角.

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

1.平面向量的数量积的坐标表示

2.平面向量的模的坐标表示

3.平面向量的夹角的坐标表示

（平行，垂直）

题型一向量数量积的坐标运算

例1.a=（5,-7）,b=（-6,-4），求a与b的数量积为_____

例2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（）