理论力学第三章习题Word下载.docx

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设棒的长度为。

由于棒处于平衡状态，所以棒沿轴和轴的和外力为零。

沿过点且与轴平行的合力矩为0。

即：

①

②

③

由①②③式得：

④

又由于

即

⑤

将⑤代入④得：

3.6把分子看作相互间距离不变的质点组，试决定以下两种情况下分子的中心主转动惯量：

二原子分子。

它们的质量是，，距离是。

形状为等腰三角形的三原子分子，三角形的高是，底边的长度为。

底边上两个原子的质量为，顶点上的为。

3.6解（a）取二原子的连线为轴，而轴与轴通过质心。

为质心，则，，轴即为中心惯量主轴。

设、的坐标为，因为为质心（如题3.6.2图）

故

且

②

由①②得

所以中心惯量主轴：

（b）如题3.6.3图所示，

该原子由、、三个原子构成。

为三个原子分子的质心。

由对称性可知，图中、、轴即为中心惯量主轴。

设、、三原子的坐标分别为，因为为分子的质心。

所以

=①

由①②③得：

故该分子的中心主转动惯量

3.7如椭球方程为

试求此椭球绕其三个中心主轴转动时的中心主转动惯量。

设此椭球的质量为，并且密度是常数。

3.7解如题3.7.1图所示。

沿轴平行于平切椭球得切面为一椭圆，则该椭圆方程为：

可求该切面的面积

故积分

同理可求

故中心主转动惯量：

又由于椭球体积

将代入得：

3.9立方体绕其对角线转动时的回转半径为

试证明之。

式中为对角线的长度。

3.9解如题3.9.1图所示坐标系。

为正方体中心。

、、分别与正方体的边平行。

由对称性可知，、、轴就是正方体的中心惯量主轴。

设正方体的边长为。

设为平行于轴的一小方条的体积，则正方体绕轴的转动惯量

根据对称性得

易求正方体的对角线与、、轴的夹角都为。

故正方体绕对角线的转动惯量

绕对角线的回转半径

由①②③得

3.10一均质圆盘，半径为，放在粗糙水平桌上，绕通过其中心的竖直轴转动，开始时的角速度为。

已知圆盘与桌面的摩擦系数为，问经过多少时间后盘将静止？

3.10解如题3.10.1图。

轴过点垂直纸面向外。

均质圆盘的密度为。

设盘沿顺时针转动，则沿的方向有

为转盘绕轴的转动惯量：

（为盘的质量），

（为盘转动的角频率，负号因为规定顺时针转动）

=③

又因为

得

3.12矩形均质薄片，边长为与，重为，绕竖直轴以初角速转动。

此时薄片的每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直与薄片的平面，其量值与面积与速度平方成正比，比例系数为。

问经过多少时间后，薄片的角速减为初角速的一半？

3.12解如题3.12.1图，

第3.12.1图

坐标与薄片固连，则沿轴方向有：

①

且

现取如图阴影部分的小区域，该区域受到的阻力

对轴的力矩

所以

又薄片对轴的转动惯量

当时，

3.13一段半径为已知的均质圆弧，绕通过弧线垂直的轴线摆动。

求其作微振动时的周期。

3.13解如题3.13.1图所示，

坐标系的原点位于圆弧最顶点。

设圆弧平衡时，质心的坐标为。

如图所示圆弧偏离平衡位置一小角度，则满足微分方程

为圆弧相对于轴的转动惯量。

当很小时，，代入上式得：

圆弧上对应转角为的一小段圆弧的坐标为

质心的纵坐标

上式中为圆弧的线密度

又

其中，将②③代入①得

解④式得通解

微振动周期

3.20质量为半径为的均质圆柱体放在粗糙水平面上。

柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为的物体。

设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的。

求圆柱体质心的加速度，物体的加速度与绳中张力。

3.20解如题3.20.1图，

设圆柱体的转动角速度为，设它受到地面的摩擦力为，由动量定理和动量矩定理知：

对于滑块。

由动量定理知：

③

又无滑滚动条件：

两边对时间求导：

以为基点：

假设绳不可拉伸。

则。

故⑤

由①②③④⑤解得：

3.21一飞轮有一半径为的杆轴。

飞轮与杆轴对于转动轴的总转动惯量为。

在杆轴上绕有细而轻的绳子，绳子的另一端挂一质量为的重物。

如飞轮受到阻尼力矩的作用，求飞轮的角加速度。

若飞轮转过角后，绳子与杆轴脱离，并再转过角后，飞轮停止转动，求飞轮所受到的阻尼力矩的量值。

3.21解

（1）如题3.21.1图。

设轴过点垂直纸面向外。

绳子上的弹力为。

对于飞轮，根据动量矩定理，在轴方向：

为物块下落的加速度。

因为物块的加速度应与点加速度一样大小，故

由①②③解得：

（2）假若飞轮受到的阻尼力矩为的话，由

（1）问知，飞轮的角加速度。

现在来求绳子脱落以后飞轮的角加速度。

同样根据动量矩，在轴方向：

可以证明：

类似于位移、加速度、初速度和末速度之间的关系式。

角位移、角加速度、角初速度、角末速度之间也有类似的关系：

对于绳子脱落到停止转动的过程有：

④⑤式中指绳子脱落时飞轮的角加速度，由④⑤解得：

3.22一面粗糙另一面光滑的平板，质量为，将光滑的一面放在水平桌上，木板上放一质量为的球。

若板沿其长度方向突然有一速度，问此球经过多少时间后开始滚动而不滑动？

3.22解如题3.22.1图。

轴与速度方向一致，轴垂直纸面向外。

设球的半径为，则球绕任一直径的转动惯量。

由动量定理和动量矩定理可知：

由①②③④得：

设球与板的接触点为，则时刻点的速度为：

t时刻木板速度：

⑥

球由滑动变为滚动的条件是：

⑦

由⑤⑥⑦解得：