第17届物理竞赛复赛试题 答案 评分标准Word下载.docx

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二、（20分）如图复17-2所示，在真空中有一个折射率为（，为真空的折射率）、半径为的质地均匀的小球。

频率为的细激光束在真空中沿直线传播，直线与小球球心的距离为（），光束于小球体表面的点点经折射进入小球（小球成为光传播的介质），并于小球表面的点点又经折射进入真空．设激光束的频率在上述两次折射后保持不变．求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小．

三、（25分）1995年，美国费米国家实验室CDF实验组和DO实验组在质子反质子对撞机TEVATRON的实验中，观察到了顶夸克，测得它的静止质量，寿命，这是近十几年来粒子物理研究最重要的实验进展之一．

1．正、反顶夸克之间的强相互作用势能可写为，式中是正、反顶夸克之间的距离，是强相互作用耦合常数，是与单位制有关的常数，在国际单位制中．为估算正、反顶夸克能否构成一个处在束缚状态的系统，可把束缚状态设想为正反顶夸克在彼此间的吸引力作用下绕它们连线的中点做匀速圆周运动．如能构成束缚态，试用玻尔理论确定系统处于基态中正、反顶夸克之间的距离．已知处于束缚态的正、反夸克粒子满足量子化条件，即

式中为一个粒子的动量与其轨道半径的乘积，为量子数，为普朗克常量．

2．试求正、反顶夸克在上述设想的基态中做匀速圆周运动的周期．你认为正、反顶夸克的这种束缚态能存在吗?

四、（25分）宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动，飞行器的质量比小行星的质量小得很多，飞行器的速率为，小行星的轨道半径为飞行器轨道半径的6倍．有人企图借助飞行器与小行星的碰撞使飞行器飞出太阳系，于是他便设计了如下方案：

Ⅰ.当飞行器在其圆周轨道的适当位置时，突然点燃飞行器上的喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得所需的速度，沿圆周轨道的切线方向离开圆轨道；

Ⅱ.飞行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘，速度的方向和小行星在该处速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；

Ⅲ.小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰，不计燃烧的燃料质量．

1．试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系；

2．设在上述方案中，飞行器从发动机取得的能量为．如果不采取上述方案而是令飞行器在圆轨道上突然点燃喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得足够的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳系．采用这种办法时，飞行器从发动机取得的能量的最小值用表示，问为多少?

五、（25分）在真空中建立一坐标系，以水平向右为轴正方向，竖直向下为轴正方向，轴垂直纸面向里（图复17-5）．在的区域内有匀强磁场，，磁场的磁感强度的方向沿轴的正方向，其大小．今把一荷质比的带正电质点在，，处静止释放，将带电质点过原点的时刻定为时刻，求带电质点在磁场中任一时刻的位置坐标．并求它刚离开磁场时的位置和速度．取重力加速度。

六、（25分）普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯和包层组成，的折射率小于的折射率，光纤的端面和圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯和包层的分界面上发生多次全反射．现在利用普通光纤测量流体的折射率．实验方法如下：

让光纤的一端（出射端）浸在流体中．令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚光纤入射端面的中心，经端面折射进入光纤，在光纤中传播．由点出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为，如图复17-6-1所示．最后光从另一端面出射进入流体．在距出射端面处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏，在上出现一圆形光斑，测出其直径为，然后移动光屏至距光纤出射端面处，再测出圆形光斑的直径，如图复17-6-2所示．

1．若已知和的折射率分别为与，求被测流体的折射率的表达式．

2．若、和均为未知量，如何通过进一步的实验以测出的值?

参考答案及评分标准

一、参考解答

设玻璃管内空气柱的长度为，大气压强为，管内空气的压强为，水银密度为，重力加速度为，由图复解17-1-1可知

（1）

根据题给的数据，可知，得

（2）

若玻璃管的横截面积为，则管内空气的体积为

（3）

由

（2）、（3）式得

（4）

即管内空气的压强与其体积成正比，由克拉珀龙方程得

（5）

由（5）式可知，随着温度降低，管内空气的体积变小，根据（4）式可知管内空气的压强也变小，压强随体积的变化关系为图上过原点的直线，如图复解17-1-2所示．在管内气体的温度由降到的过程中，气体的体积由变到，体积缩小，外界对气体做正功，功的数值可用图中划有斜线的梯形面积来表示，即有

（6）

管内空气内能的变化

（7）

设为外界传给气体的热量，则由热力学第一定律，有

（8）

由（5）、（6）、（7）、（8）式代入得

（9）

代入有关数据得

表示管内空气放出热量，故空气放出的热量为

（10）

评分标准：

本题20分

（1）式1分，（4）式5分，（6）式7分，（7）式1分，（8）式2分，（9）式1分，（10）式3分。

二、参考解答

在由直线与小球球心所确定的平面中，激光光束两次折射的光路如图复解17-2所示，图中入射光线与出射光线的延长线交于，按照光的折射定律有

式中与分别是相应的入射角和折射角，由几何关系还可知

（2）

激光光束经两次折射，频率保持不变，故在两次折射前后，光束中一个光子的动量的大小和相等，即

（3）

式中为真空中的光速，为普朗克常量．因射入小球的光束中光子的动量沿方向，射出小球的光束中光子的动量沿方向，光子动量的方向由于光束的折射而偏转了一个角度，由图中几何关系可知

若取线段的长度正比于光子动量，的长度正比于光子动量，则线段的长度正比于光子动量的改变量，由几何关系得

为等腰三角形，其底边上的高与平行，故光子动量的改变量的方向沿垂直的方向，且由指向球心．

光子与小球作用的时间可认为是光束在小球内的传播时间，即

（6）

式中是光在小球内的传播速率。

按照牛顿第二定律，光子所受小球的平均作用力的大小为

按照牛顿第三定律，光子对小球的平均作用力大小，即

力的方向由点指向点．由

（1）、

（2）、（4）及（8）式，经过三角函数关系运算，最后可得

（1）式1分，（5）式8分，（6）式4分，（8）式3分，得到（9）式再给4分。

三、参考解答

1．相距为的电量为与的两点电荷之间的库仑力与电势能公式为

（1）

现在已知正反顶夸克之间的强相互作用势能为

根据直接类比可知，正反顶夸克之间的强相互作用力为

设正反顶夸克绕其连线的中点做匀速圆周运动的速率为，因二者相距，二者所受的向心力均为，二者的运动方程均为

由题给的量子化条件，粒子处于基态时，取量子数，得

由（3）、（4）两式解得

代入数值得

2.由（3）与（4）两式得

由和可算出正反顶夸克做匀速圆周运动的周期

由此可得（10）

因正反顶夸克的寿命只有它们组成的束缚系统的周期的1／5，故正反顶夸克的束缚态通常是不存在的．

本题25分

1.15分。

（2）式4分，（5）式9分，求得（6）式再给2分。

2.10分。

（8）式3分。

（9）式1分，正确求得（10）式并由此指出正反顶夸克不能形成束缚态给6分。

四、参考解答

1．设太阳的质量为，飞行器的质量为，飞行器绕太阳做圆周运动的轨道半径为．根据所设计的方案，可知飞行器是从其原来的圆轨道上某处出发，沿着半个椭圆轨道到达小行星轨道上的，该椭圆既与飞行器原来的圆轨道相切，又与小行星的圆轨道相切．要使飞行器沿此椭圆轨道运动，应点燃发动机使飞行器的速度在极短的时间内，由变为某一值．设飞行器沿椭圆轨道到达小行星轨道时的速度为，因大小为和的这两个速度的方向都与椭圆的长轴垂直，由开普勒第二定律可得

由能量关系，有

由牛顿万有引力定律，有

或

解

（1）、

（2）、（3）三式得

设小行星绕太阳运动的速度为，小行星的质量，由牛顿万有引力定律

得

可以看出（7）

由此可见，只要选择好飞行器在圆轨道上合适的位置离开圆轨道，使得它到达小行星轨道处时，小行星的前缘也正好运动到该处，则飞行器就能被小行星撞击．可以把小行星看做是相对静止的，飞行器以相对速度为射向小行星，由于小行星的质量比飞行器的质量大得多，碰撞后，飞行器以同样的速率弹回，即碰撞后，飞行器相对小行星的速度的大小为，方向与小行星的速度的方向相同，故飞行器相对太阳的速度为

或将（5）、（6）式代入得

如果飞行器能从小行星的轨道上直接飞出太阳系，它应具有的最小速度为，则有

可以看出

飞行器被小行星撞击后具有的速度足以保证它能飞出太阳系．

2.为使飞行器能进入椭圆轨道，发动机应使飞行器的速度由增加到，飞行器从发动机取得的能量

（11）

若飞行器从其圆周轨道上直接飞出太阳系，飞行器应具有的最小速度为，则有

由此得

（12）

飞行器的速度由增加到，应从发动机获取的能量为

（13）

所以

（14）

1.18分。

其中（5）式6分，求得（6）式，说明飞行器能被小行星碰撞给3分；

（8）式5分；

得到（10）式，说明飞行器被小行星碰撞后能飞出太阳系给4分。

2.7分。

其中（11）式3分，（13）式3分，求得（14）式再给1分。

五、参考解答

解法一：

带电质点静止释放时，受重力作用做自由落体运动，当它到达坐标原点时，速度为

（1）

方向竖直向下．带电质点进入磁场后，除受重力作用外，还受到洛伦兹力作用，质点速度的大小和方向都将变化，洛伦兹力的大小和方向亦随之变化．我们可以设想，在带电质点到达原点时，给质点附加上沿轴正方向和负方向两个大小都是的初速度，由于这两个方向相反的速度的合速度为零，因而不影响带电质点以后的运动．在时刻，带电质点因具有沿轴正方向的初速度而受洛伦兹力的作用。

其方向与重力的方向相反．适当选择的大小，使等于重力，即

只要带电质点保持（4）式决定的沿轴正方向运动，与重力的合力永远等于零．但此时，位于坐标原点的带电质点还具有竖直向下的速度和沿轴负方向的速度，二者的合成速度大小为

方向指向左下方，设它与轴的负方向的夹角为，如图复解17-5-1所示，则

因而带电质点从时刻起的运动可以看做是速率为，沿轴的正方向的匀速直线运动和在平面内速率为的匀速圆周运动的合成．圆周半径

带电质点进入磁场瞬间所对应的圆周运动的圆心位于垂直于质点此时速度的直线上，由图复解17-5-1可知，其坐标为

（8）

圆周运动的角速度

由图复解17-5-1可知，在带电质点离开磁场区域前的任何时刻，质点位置的坐标为

式中、、、、、已分别由（4）、（7）、（9）、（