等价关系离散数学Word文件下载.docx
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R={<
|x,yA∧x≡y（mod3）}
其中x≡y（mod3）是x与y模3.
不难验证R为A上的等价关系,因为:
xA,有:
x≡x（mod3）
x,yA,若x≡y（mod3）,则有:
y≡x（mod3）
x,y,zA,若x≡y（mod3）,y≡z（mod3）,则有:
x≡z.（mod3）
该关系的关系图如右图所示.
不难看到,上述关系图被分为三个互不连通的部分.每部分中的数两两都有关系.不同部分中的数则没有关系,每一部分中的所有的顶点构成一个等价类.
4.2等价关系与划分
2、定义4.19设R为非空集合A上的等价关系,xA,令
[x]R={y|yA∧xRy}
称[x]R为x关于R的等价类（EquivalentClass）,简称为x的等价类,简记为[x].
从以上定义可以知道,x的等价类是A中所有与x等价的元素构成的集合.
例4.17中的等价类是:
[1]=[4]=[7]={1,4,7}
[2]=[5]=[8]={2,5,8}
[3]=[6]={3,6}
关于等价类，有如下性质：
定理4.8设R为非空集合A上的等价关系,则
（1）xA,[x]是A的非空子集;
（2）x,yA,若<
R,则[x]=[y];
（3）x,yA,若<
R,则[x]与[y]不交;
（4）∪{[x]|xA}=A.
证
（1）由等价类的定义可知,xA,有:
[x]A.
由“等价关系的自反性”可知:
x[x],即:
[x]非空.
（2）任取z,则有
z[x]<
x,z>
R<
z,x>
R（因为R是对称的）
因此有
<
R∧<
z,y>
R（因为R是传递的）
<
y,z>
从而证明了z[y].综合上述,必有:
[x][y].
同理可证:
[x][y].这就得到了:
[x]=[y].
（3）假设:
[x]∩[y].
由假设可知:
z[x]∩[y],即:
z[x]∧z[y].
所以,<
R和<
R.
由“R的对称性”和“<
R”可知:
再由R的对称性可得:
这就与“已知条件:
R”相矛盾.
所以,命题成立,即:
[x]∩[y]=.
（4）先证:
∪{[x]|xA}A
证:
（4.1）任取y,
y∪{[x]|xA}
x（xA∧y[x]）
yA
从而有:
再证:
A∪{[x]|xA}.
（4.2）任取y,
yAy[y]∧yA
y∪{[x]|xA}
A∪{[x]|xA}成立.
综合上述得:
∪{[x]|xA}=A.
3、定义4.20设R为非空集合A上的等价关系,R所有等价类所组成集合称为A关于R的商集,记作A/R,即:
A/R＝{[x]R|（一切x∈A）}
例4.17中的商集为:
{{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}.
和等价关系及商集有密切联系的概念是集合的划分.
定义7.18设A为非空集合,若A的子集族（P（A））,是A的子集构成的集合）满足下面的条件:
（1）
（2）xy（x,y∧xyx∩y=）
（3）∪=A
则称是A的划分（Partition）,称中的元素为A的划分块.
例7.17设A={a,b,c,d},给定1,2,3,4,5和6,如下:
1={{a,b,c},{d}}
2={{a,b},{c},{d}}
3={{a},{a,b,c,d}}
4={{a,b},{c}}
5={,{a,b},{c,d}}
6={{a,{a}},{b,c,d}}
解答：
1是A的划分;
2是A的划分
不是A的划分,3中的子集中有公共元素a;
不是A的划分,∪4A
不是A的划分,5中含有空集;
不是A的划分,6根本不是A的子集族
商集是A的一个划分,并且不同的商集将对应于不同的划分.任给A的一个划分,定义A上的关系R如下:
|x,yA∧x与y在的同一划分块中}
不难证明:
R为A上的等价关系,且该等价关系所确定的商集就是,因此,A上的等价关系与A的划分是一一对应的.
即给定集合A上的一个等价关系R，由R可以唯一产生集合A的一个划分＝A/R，反之，对集合A的任一划分＝{A1,A2,…,Ak}，可唯一对应集合A上的一等价关系R＝（A1×
A1）∪（A2×
A2）∪…∪（Ak×
Ak）。
例4.20给出A={1,2,3}上所有的等价关系.
解如下图,先做出A的所有划分.
这些划分与A上的等价关系之间的一一对应是:
1对应全域关系EA,5对应恒等关系IA,2,3和4分别对应于等价关系R2,R3和R4,其中:
R2={<
2,3>
<
3,2>
}UIA
R3={<
1,3>
3,1>
R4={<
1,2>
2,1>
了解偏序关系的基本概念及例子；
给定A上的偏序关系≤，画出偏序集的哈斯图，反之给定偏序集<
A,≤>
的哈斯图，求A和≤的集合表达式；
确定偏序集的<
的任意非空子集B的最大元，最小元，极大元，极小元，上界，下界，上确界，下确界。
掌握偏序关系的有关基本概念；
理解和判断偏序关系的八种特殊元素。
偏序关系的各种性质的判断和证明；
如何正确的理解和判断偏序关系的八种特殊元素。
课题导入
下面介绍另一种重要的关系——偏序关系.
定义4.22设R为非空集合A上的关系.如果R是自反的、反对称的和传递的,则称R为A上的偏序关系,记作.
设为偏序关系,如果<
则记作xy,读作“小于或等于”.
注意:
这里的“小于或等于”不是指数的大小,而是在偏序关系中的顺序性.
x“小于或等于”y的含义是:
依照这个序,x排在y的前边或者x就是y.
不同偏序的定义有不同的序解释.
例如整除关系是偏序关系,36的含义是3整除6;
大于或等于关系也是偏序关系,针对这个关系写54是说大于或等于关系中5排在4的前边,也就是5比4大.
定义4.23设R为非空集合A上的偏序关系,定义
（1）x,yA,x<
yxy∧xy;
（2）x,yA,x与y可比xy∨yx.
其中:
x<
y读作x“小于”y.这里所说的“小于”是指在偏序中x排在y的前边.
有以上两个定义可知:
在具有偏序关系的集合A中任取两个元素x和y,可能有下述几种情况发生:
x<
y（或y<
x）,x=y,x与y不是可比的
例如:
A={1,2,3},是A上的整除关系,则有:
1<
2,1<
3,
1=1,2=2,3=3,
2和3不可比.
定义4.24设R为非空集合A上的偏序关系,如果R是反自反的、反对称的和传递的,则称R为A上的拟序关系，简称为拟序，记作<
定义4.25设R为非空集合A上的偏序关系,如果x,yA,x与y都是可比的,则称R为A上的全序关系（或线序关系）.
数集上的小于等于关系是全序关系,因为任何两个数总是可比大小的.
一般来说,整除关系不是全序关系.如:
集合{1,2,3}上的整除关系就不是全序关系,因为2和3不可整除.
定义7.22集合A和A上的偏序关系一起叫做偏序集,记作
<
A,>
.
整数集合Z和数的小于等于关系构成偏序集
Z,>
集合A的幂集P（A）和包含关系R构成偏序集
P（A）,R>
利用偏序关系的自反性、反对称性和传递性可简化偏序关系的关系图,该关系图称为哈斯图（HasseDiagram）.
为了说明哈斯图的画法,先定义偏序集中顶点之间的覆盖关系.
定义7.23设<
为偏序集,x,yA,如果x<
y且不存在zA,使得:
z<
y,则称y覆盖x.
{1,2,4,6}集合上的整除关系,有2覆盖1,4和6都覆盖2.但,4不覆盖1,因为有1<
2<
4,6也不覆盖4,因为4<
6不成立.
在画偏序集<
的哈斯图时,首先适当排列顶点的顺序,使得:
x,yA,
若x<
y,则将x画在y的下方.
对于A中的两个不同元素x和y,如果y覆盖x,就用一条线段连接x和y.
例4.22画出偏序集<
{1,2,3,4,5,6,7,8,9},R整除>
和<
P（{a,b,c}）,R>
的哈斯图.
解两个哈斯图如右图所示.
例4.23已知偏序集<
A,R>
的哈斯图如下图,试求出集合A和关系R的表达式.
A={a,b,c,d,e,f,g,h}
R={<
b,d>
b,e>
b,f>
c,d>
c,e>
c,f>
d,f>
e,f>
g,h>
}∪IA
下面考虑偏序集中的一些特殊元素.
定义4.28设<
为偏序集,BA,yB.
（1）若x（xB→yx）成立,则称y为B的最小元;
（2）若x（xB→xy）成立,则称y为B的最大元;
（3）若x（xB∧xy→x=y）成立,则称y为B的极小元;
（4）若x（xB∧yx→x=y）成立,则称y为B的极大元.
从以上定义可以看出:
最小元与极小元是不一样的.
最小元是B中最小的元素,它与B中其它元素都可比;
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