中考数学专题复习新定义题型Word格式.docx

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=，则sin245°

+cos245°

②

sin60°

=，cos60°

=，则sin260°

+cos260°

．③

…

观察上述等式，猜想：

对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1

．④

（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；

（2）已知：

∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=，求cosA．

思路分析：

①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值；

④由前面①②③的结论，即可猜想出：

对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1；

（1）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°

．

利用锐角三角函数的定义得出sinA=，cosA=，则sin2A+cos2A=，再根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2，从而证明sin2A+cos2A=1；

（2）利用关系式sin2A+cos2A=1，结合已知条件cosA＞0且sinA=，进行求解．

解：

∵sin30°

=，

∴sin230°

=（）2+（）2=+=1；

∵sin45°

∴sin245°

∵sin60°

∴sin260°

=（）2+（）2=+=1．③

对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1．④

∵sinA=，cosA=，

∴sin2A+cos2A=（）2+（）2=，

∵∠ADB=90°

，

∴BD2+AD2=AB2，

∴sin2A+cos2A=1．

（2）∵sinA=，sin2A+cos2A=1，∠A为锐角，

∴cosA=．

点评：

本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．

对应训练

1．（2013•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：

（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：

（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？

如果是，请证明；

如果不是，请说明理由；

（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别及AB、AC相交于G、H（均不及△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值．

2.

（1）证明：

如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E．

∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点．

∴DE是中位线，

∴DE∥AC，且DE=AC．

∵DE∥AC，

∴△AOC∽△DOE，

∴=2，

∵AD=AO+OD，

∴=．

（2）答：

点O是△ABC的重心．

证明：

如答图2，作△ABC的中线CE，及AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．

由

（1）可知，=，

而=，

∴点Q及点O重合（是同一个点），

∴点O是△ABC的重心．

（3）解：

如答图3所示，连接DG．

设S△GOD=S，由

（1）知=，即OA=2OD，

∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S．

为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S△BGD=3xS．

∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S，

∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S．

设OH=k•OG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS，

∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S．

∴S四边形BCHG=S△ABC-S△AGH=（6x+6）S-（2k+2）S=（6x-2k+4）S．

∴== 

①

如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE．

∵OF∥BC，

∴，

∴OF=CD=BC；

∵GE∥BC，

∴GE=；

∴=，

∵OF∥GE，

∴k=，代入①式得：

==-x2+x+1=-（x-）2+，

∴当x=时，有最大值，最大值为．

考点二：

运算题型中的新定义

例2（2013•河北）定义新运算：

对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a-b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：

2⊕5=2×

（2-5）+1=2×

（-3）+1=-6+1=-5。

（1）求（-2）⊕3的值；

（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．

（1）按照定义新运算a⊕b=a（a-b）+1，求解即可；

（2）先按照定义新运算a⊕b=a（a-b）+1，得出3⊕x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，即可在数轴上表示．

（1）∵a⊕b=a（a-b）+1，

∴（-2）⊕3=-2（-2-3）+1=10+1=11；

（2）∵3⊕x＜13，

∴3（3-x）+1＜13，

9-3x+1＜13，

-3x＜3，

x＞-1．

在数轴上表示如下：

本题考查了有理数的混合运算及一元一次不等式的解法，属于基础题，理解新定义法则是解题的关键．

2．（2013•十堰）定义：

对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：

[5.7]=5，[5]=5，[-π]=-4．

（1）如果[a]=-2，那么a的取值范围是-2≤a＜-1

（2）如果[]=3，求满足条件的所有正整数x．

2．解：

（1）∵[a]=-2，

∴a的取值范围是-2≤a＜-1；

（2）根据题意得：

3≤[]＜4，

解得：

5≤x＜7，

则满足条件的所有正整数为5，6．

考点三：

探索题型中的新定义

例3（2013•钦州）定义：

直线l1及l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（　　）

A．2B．3C．4D．5

“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2．由于到直线l1的距离是1的点在及直线l1平行且及l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在及直线l2平行且及l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求．

如图，

∵到直线l1的距离是1的点在及直线l1平行且及l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，

到直线l2的距离是2的点在及直线l2平行且及l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，

∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个．

故选C．

本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在及已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．

3.（2013•台州）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．

（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；

（2）如图在Rt△ABC中，∠C=90°

，tanA=，求证：

△ABC是“好玩三角形”；

（3））如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB-BC和AD-DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．

①当β=45°

时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值；

②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．

（4）（本小题为选做题，作对另加2分，但全卷满分不超过150分）

依据（3）的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围及△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）

3．解：

（1）如图1，①作一条线段AB，

②作线段AB的中点O，

③作线段OC，使OC=AB，

④连接AC、BC，

∴△ABC是所求作的三角形．

（2）如图2，取AC的中点D，连接BD

∵∠C=90°

，tanA=，

∴设BC=x，则AC=2x，

∵D是AC的中点，

∴CD=AC=x

∴BD==2x，

∴AC=BD

∴△ABC是“好玩三角形”；

（3）①如图3，当β=45°

，点P在AB上时，

∴∠ABC=2β=90°

∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，

当P在BC上时，连接AC交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，

∵PC=CQ，

∴∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，

∴△AEF∽△CEP，

∴．

∵PE=CE，

Ⅰ当底边PQ及它的中线AE相等时，即AE=PQ时，

=2，

Ⅱ当腰AP及它的中线QM相等，即AP=QM时，

作QN⊥AP于N，如图4

∴MN=AN=MP．

∴QN=MN，

∴tan∠APQ==，

∴tan∠APE==，

∴=+。

②由①可知，当AE=PQ和AP=QM时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”，

∴＜tanβ＜2时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．

（4）由（3）可以知道0＜tanβ＜，

则在P、Q的运动过程中，使得△APQ成为“好玩三角形”的个数为2．

考点四：

开放题型中的新定义

例4（2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．

（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°

，∠C=75°

，BD平分∠ABC．求证：

BD是梯形ABCD的和谐线；

（2）如图2，在12×

16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；

（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°

，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．

（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；

（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在上任意一点构成的四边形ABDC就是和谐四边形；

连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，

（3）由AC是四边形ABCD的和